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Un Chiffre binaire ne peut être que 0 ou 1 |
Nombre BinaireUn Nombre Binaire est constitué de Chiffres Binaires. |
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Dans le monde informatique, le « chiffre binaire » est souvent raccourci au mot « bit »
Plus d’un chiffre
Donc, il n’y a que deux façons de nous peut avoir un chiffre binaire (« 0 » et « 1 », ou « On » et « Off »)… mais qu’en est-il de 2 chiffres binaires ou plus?
Écrivons-les tous, en commençant par 1 chiffre (vous pouvez le tester vous-même en utilisant les commutateurs):
2 façons d’avoir un chiffre… |
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| … 4 façons d’avoir deux chiffres… |
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| … 8 façons d’avoir trois chiffres… |
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| … et 16 façons d’avoir quatre chiffres. |
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Here is that last list sideways:
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Et (sans les 0 premiers) nous avons les 16 premiers nombres binaires:
| Binaire: | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Décimal: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
Ceci est utile! Pour se souvenir de la séquence de nombres binaires, pensez simplement:
À chaque étape, nous répétons tout ce que nous avons jusqu’à présent, mais avec un 1 devant.
Découvrez maintenant comment utiliser le binaire pour compter au-delà de 1 000 sur vos doigts:
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Jouez également avec différentes batteries. |
Chiffres binaires… Ils Doublent!
Notez également que chaque fois que nous ajoutons un autre chiffre binaire, nous doublons les valeurs possibles.
Pourquoi doubler? Parce que nous prenons toutes les valeurs possibles précédentes et les faisons correspondre avec un « 0 » et un « 1 » comme ci-dessus.
- Donc un seul chiffre binaire a 2 valeurs possibles (0 et 1)
- Deux chiffres binaires ont 4 valeurs possibles (0, 1, 10, 11)
- Trois ont 8 valeurs possibles
- Quatre ont 16 valeurs possibles
- Cinq ont 32 valeurs possibles
- Six ont 64 valeurs possibles
- etc.
En utilisant des exposants, cela peut être montré comme:
| Number of Digits |
Formula | Settings |
|---|---|---|
| 1 | 21 | 2 |
| 2 | 22 | 4 |
| 3 | 23 | 8 |
| 4 | 24 | 16 |
| 5 | 25 | 32 |
| 6 | 26 | 64 |
| etc… | etc… | etc… |
So, a binary number with 50 digits could have 1,125,899,906,842,624 different values.
Ou pour le dire autrement, il pourrait afficher un nombre allant jusqu’à 1 125 899 906 842 623 (remarque: c’est un de moins que le nombre total de valeurs, car l’une des valeurs est 0).
Échiquier
Il existe une vieille légende indienne sur un roi qui a été défié à une partie d’échecs par un Sage en visite. Le roi a demandé « quel est le prix si vous gagnez? ».
Le Sage a dit qu’il aimerait simplement quelques grains de riz: un sur le premier carré, 2 sur le deuxième, 4 sur le troisième et ainsi de suite, doublant sur chaque carré. Le roi fut surpris par cette humble demande.
Eh bien, le Sage a gagné, alors combien de grains de riz devrait-il recevoir?
Sur le premier carré: 1 grain, sur le deuxième carré: 2 grains (pour un total de 3) et ainsi de suite comme ceci:
| Square | Grains | Total |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 7 |
| 4 | 8 | 15 |
| 10 | 512 | 1,027 |
| 20 | 524,288 | 1,048,575 |
| 30 | 53,6870,912 | 1,073,741,823 |
| 64 | ??? | ??? |
Au 30ème carré, vous pouvez voir qu’il y a déjà beaucoup de riz! Un milliard de grains de riz représente environ 25 tonnes (1 000 grains représente environ 25g… J’en ai pesé!)
Notez que le Total d’un carré est inférieur de 1 aux Grains du carré suivant (Exemple: le total du carré 3 est de 7 et le carré 4 a 8 grains). Donc, le total de tous les carrés est une formule: 2n−1, où n est le nombre du carré. Par exemple, pour la case 3, le total est de 23-1 = 8-1 = 7
Ainsi, pour remplir les 64 cases d’un échiquier, il faudrait:
264-1 = 18 446 744 073 709 551 615 grains (460 milliards de tonnes de riz),
beaucoup plus de riz que dans tout le royaume.
Ainsi, la puissance du doublement binaire n’est rien à prendre à la légère (460 milliards de tonnes, ce n’est pas léger !)
Les grains de riz sur chaque carré en utilisant la notation scientifique
Les valeurs sont arrondies, donc 53,6870,912 est indiqué comme juste 5×108
ce qui signifie un 5 suivi de 8 zéros
(D’ailleurs, dans la légende, le Sage se révèle être le Seigneur Krishna et dit au Roi qu’il n’a pas à payer la dette immédiatement, mais peut payer au fil du temps, il suffit de servir du riz aux pèlerins tous les jours jusqu’à ce que la dette soit remboursée.)
Hexadécimal
Enfin, examinons la relation spéciale entre Binaire et Hexadécimal.
Il y a 16 chiffres hexadécimaux, et nous savons déjà que 4 chiffres binaires ont 16 valeurs possibles. Eh bien, c’est exactement comment ils se rapportent les uns aux autres: