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Abschnitt 3-4 : Die Definition einer Funktion
Wir müssen nun zum zweiten Thema dieses Kapitels übergehen. Bevor wir das jedoch tun, brauchen wir eine schnelle Definition.
Definition der Relation
Eine Relation ist eine Menge geordneter Paare.
Dies scheint eine seltsame Definition zu sein, aber wir werden sie für die Definition einer Funktion benötigen (was das Hauptthema dieses Abschnitts ist). Bevor wir jedoch die Definition einer Funktion definieren, wollen wir sehen, ob wir genau verstehen können, was eine Beziehung ist.
Denken Sie an Beispiel 1 im Grafikabschnitt dieses Kapitels zurück. In diesem Beispiel haben wir eine Menge geordneter Paare konstruiert, mit denen wir den Graphen von \(y = {\left( {x – 1} \right)^2} – 4\) . Hier sind die bestellten Paare, die wir verwendet haben.
\
Alle folgenden sind dann Relationen, weil sie aus einer Menge geordneter Paare bestehen.
\
Es gibt natürlich noch viele weitere Relationen, die wir aus der obigen Liste der geordneten Paare bilden könnten, aber wir wollten nur einige mögliche Relationen auflisten, um einige Beispiele zu nennen. Beachten Sie auch, dass wir auch andere geordnete Paare aus der Gleichung erhalten und diese in eine der obigen Beziehungen einfügen können, wenn wir möchten.
An diesem Punkt fragen Sie sich wahrscheinlich, warum wir uns um Beziehungen kümmern, und das ist eine gute Frage. Einige Beziehungen sind sehr speziell und werden auf fast allen Ebenen der Mathematik verwendet. Die folgende Definition sagt uns, welche Beziehungen diese besonderen Beziehungen sind.
Definition einer Funktion
Eine Funktion ist eine Relation, bei der jedem Wert aus der Menge der ersten Komponenten der geordneten Paare genau ein Wert aus der Menge der zweiten Komponenten des geordneten Paares zugeordnet ist.
Okay, das ist ein Mund voll. Mal sehen, ob wir herausfinden können, was es bedeutet. Schauen wir uns das folgende Beispiel an, das uns hoffentlich dabei helfen wird, all dies herauszufinden.
Von diesen geordneten Paaren haben wir die folgenden Sätze von ersten Komponenten (dh die erste Zahl von jedem geordneten Paar) und zweiten Komponenten (dh die zweite Zahl von jedem geordneten Paar).
\
Für den Satz der zweiten Komponenten beachten Sie, dass das „-3“ in zwei geordneten Paaren auftrat, aber wir haben es nur einmal aufgelistet.
Um zu sehen, warum diese Beziehung eine Funktion ist, wählen Sie einfach einen beliebigen Wert aus der Menge der ersten Komponenten. Gehen Sie nun zurück zur Beziehung und suchen Sie jedes geordnete Paar, in dem diese Nummer die erste Komponente ist, und listen Sie alle zweiten Komponenten dieser geordneten Paare auf. Die Liste der zweiten Komponenten besteht aus genau einem Wert.
Lassen Sie uns zum Beispiel 2 aus der Menge der ersten Komponenten auswählen. Aus der Beziehung sehen wir, dass es genau ein geordnetes Paar mit 2 als erster Komponente gibt,\(\left( {2, – 3} \right)\). Daher wird die Liste der zweiten Komponenten (d.h. die Liste der Werte aus der Menge der zweiten Komponenten), die 2 zugeordnet ist, ist genau eine Zahl, -3.
Beachten Sie, dass es uns egal ist, dass -3 die zweite Komponente eines zweiten geordneten Pars in der Beziehung ist. Das ist vollkommen akzeptabel. Wir wollen einfach nicht, dass es mehr als ein bestelltes Paar mit 2 als erste Komponente gibt.
Wir haben uns für unser kurzes Beispiel hier einen einzelnen Wert aus der Menge der ersten Komponenten angesehen, aber das Ergebnis ist für alle anderen Optionen dasselbe. Unabhängig von der Wahl der ersten Komponenten wird genau eine zweite Komponente zugeordnet.
Daher ist diese Beziehung eine Funktion.
Um wirklich ein Gefühl dafür zu bekommen, was uns die Definition einer Funktion sagt, sollten wir uns wahrscheinlich auch ein Beispiel für eine Beziehung ansehen, die keine Funktion ist.
Machen Sie sich keine Sorgen, woher diese Beziehung stammt. Es ist nur eines, das wir für dieses Beispiel erfunden haben.
Hier ist die Liste der ersten und zweiten Komponenten
\
Aus der Menge der ersten Komponenten wählen wir 6. Wenn wir nun zur Relation gehen, sehen wir, dass es zwei geordnete Paare mit 6 als erste Komponente gibt: \(\left( {6,10} \right)\) und \(\left( {6, – 4} \right)\). Die Liste der zweiten Komponenten, die 6 zugeordnet sind, lautet dann: 10, -4.
Die Liste der zweiten Komponenten, die mit 6 verknüpft sind, hat zwei Werte und daher ist diese Beziehung keine Funktion.
Beachten Sie, dass die Tatsache, dass wir -7 oder 0 aus der Menge der ersten Komponenten ausgewählt haben, nur eine Zahl in der Liste der jeweils zugeordneten zweiten Komponenten enthält. Das spielt keine Rolle. Die Tatsache, dass wir sogar einen einzigen Wert in der Menge der ersten Komponenten mit mehr als einer zweiten Komponente gefunden haben, reicht aus, um zu sagen, dass diese Beziehung keine Funktion ist.
Als abschließenden Kommentar zu diesem Beispiel sei angemerkt, dass wir, wenn wir das erste und / oder das vierte geordnete Paar aus der Beziehung entfernen würden, eine Funktion hätten!
Hoffentlich haben Sie zumindest ein Gefühl dafür, was uns die Definition einer Funktion sagt.
Nun, da wir Sie gezwungen haben, die eigentliche Definition einer Funktion durchzugehen, geben wir eine weitere „funktionierende“ Definition einer Funktion, die für das, was wir hier tun, viel nützlicher ist.
Die eigentliche Definition arbeitet an einer Relation. Wie wir jedoch bei den vier Beziehungen gesehen haben, die wir vor der Definition einer Funktion angegeben haben, und der Beziehung, die wir in Beispiel 1 verwendet haben, erhalten wir die Beziehungen oft aus einer Gleichung.
Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle Relationen aus Gleichungen stammen! Die Beziehung aus dem zweiten Beispiel war zum Beispiel nur eine Menge geordneter Paare, die wir für das Beispiel aufgeschrieben hatten und die aus keiner Gleichung stammten. Dies kann auch für Beziehungen gelten, die Funktionen sind. Sie müssen nicht aus Gleichungen stammen.
Die Funktionen, die wir in diesem Kurs verwenden werden, stammen jedoch alle aus Gleichungen. Schreiben wir daher eine Definition einer Funktion auf, die diese Tatsache anerkennt.
Bevor wir die „funktionierende“ Definition einer Funktion angeben, müssen wir darauf hinweisen, dass dies NICHT die tatsächliche Definition einer Funktion ist, die oben angegeben wurde. Dies ist einfach eine gute „Arbeitsdefinition“ einer Funktion, die Dinge an die Arten von Funktionen bindet, mit denen wir in diesem Kurs arbeiten werden.
„Arbeitsdefinition“ der Funktion
Eine Funktion ist eine Gleichung, für die jedes \(x\), das in die Gleichung eingefügt werden kann, genau ein \(y\) aus der Gleichung ergibt.
Da ist es. Das ist die Definition von Funktionen, die wir verwenden werden und wird wahrscheinlich einfacher zu entschlüsseln sein, was es bedeutet.
Bevor wir dies etwas genauer untersuchen, beachten Sie, dass wir in der Definition den Ausdruck „\(x\) that can be plugged into“ verwendet haben. Dies impliziert tendenziell, dass nicht alle \(x\) in eine Gleichung eingefügt werden können, und dies ist tatsächlich korrekt. Wir werden zurückkommen und dies gegen Ende dieses Abschnitts ausführlicher diskutieren, aber an dieser Stelle denken Sie daran, dass wir nicht durch Null dividieren können und wenn wir reelle Zahlen aus der Gleichung wollen, können wir nicht die Quadratwurzel einer negativen Zahl nehmen. Mit diesen beiden Beispielen ist also klar, dass wir nicht immer in der Lage sein werden, jedes \ (x\) in eine Gleichung einzufügen.
Wenn wir uns mit Funktionen befassen, gehen wir immer davon aus, dass sowohl \(x\) als auch \(y\) reelle Zahlen sind. Mit anderen Worten, wir werden vergessen, dass wir etwas über komplexe Zahlen wissen, während wir uns mit diesem Abschnitt befassen.
Okay, da das aus dem Weg geräumt ist, kehren wir zur Definition einer Funktion zurück und schauen uns einige Beispiele für Gleichungen an, die Funktionen sind, und Gleichungen, die keine Funktionen sind.
- \(y = 5x + 1\)
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
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Die „funktionierende“ Definition der Funktion besagt, dass, wenn wir alle möglichen Werte von \(x \) und stecke sie in die Gleichung und löse für \(y\) wir erhalten genau einen Wert für jeden Wert von \(x\). In dieser Phase des Spiels kann es ziemlich schwierig sein, tatsächlich zu zeigen, dass eine Gleichung eine Funktion ist, also werden wir uns meistens durch sie reden. Andererseits ist es oft ziemlich einfach zu zeigen, dass eine Gleichung keine Funktion ist.
a \(y = 5x + 1\) Lösung anzeigen
Wir müssen also zeigen, dass wir, egal was \(x\) wir in die Gleichung einfügen und nach \(y\) lösen, nur einen einzigen Wert von \(y\) erhalten. Beachten Sie auch, dass der Wert von \(y\) wahrscheinlich für jeden Wert von \(x\) unterschiedlich ist, obwohl dies nicht der Fall sein muss.Beginnen wir damit, indem wir einige Werte von \(x\) und sehen, was passiert.
\
Also haben wir für jeden dieser Werte von \(x\) einen einzelnen Wert von \(y\) aus der Gleichung. Dies reicht jedoch nicht aus, um zu behaupten, dass dies eine Funktion ist. Um offiziell zu beweisen, dass dies eine Funktion ist, müssen wir zeigen, dass dies funktioniert, egal welchen Wert von \(x\) wir in die Gleichung einfügen.
Natürlich können wir nicht alle möglichen Werte von \(x\) in die Gleichung einfügen. Das ist physikalisch einfach nicht möglich. Gehen wir jedoch zurück und schauen uns die an, die wir angeschlossen haben. Für jedes \ (x\) haben wir beim Einstecken zuerst das \ (x\) mit 5 multipliziert und dann 1 hinzugefügt. Wenn wir nun eine Zahl mit 5 multiplizieren, erhalten wir einen einzelnen Wert aus der Multiplikation. Ebenso erhalten wir nur einen einzigen Wert, wenn wir 1 zu einer Zahl addieren. Daher erscheint es plausibel, dass wir basierend auf den Operationen, die mit dem Einstecken von \ (x\) in die Gleichung verbunden sind, nur einen einzigen Wert von \ (y \) aus der Gleichung erhalten.
Diese Gleichung ist also eine Funktion.
b \(y = {x^2} + 1\) Lösung anzeigen
Lassen Sie uns wieder ein paar Werte von \(x\) und nach \(y\) lösen, um zu sehen, was passiert.
\
Lassen Sie uns nun ein wenig darüber nachdenken, was wir mit den Auswertungen gemacht haben. Zuerst haben wir den Wert von \ (x\) quadriert, den wir eingesteckt haben. Wenn wir eine Zahl quadrieren, gibt es nur einen möglichen Wert. Wir addieren dann 1 dazu, aber auch dies ergibt einen einzelnen Wert.
Es scheint also, dass diese Gleichung auch eine Funktion ist.
Beachten Sie, dass es in Ordnung ist, den gleichen \(y\) -Wert für verschiedene \(x\) zu erhalten. Zum Beispiel
\
Wir können einfach nicht mehr als ein \(y\) aus der Gleichung herausholen, nachdem wir das \(x\) eingesteckt haben.
c \({y^2} = x + 1\) Lösung anzeigen
Wie wir es mit den beiden vorherigen Gleichungen getan haben, schließen wir ein paar Werte von \(x\) an, lösen nach \(y\) und sehen, was wir bekommen.
\
Denken Sie nun daran, dass wir nach \(y\) lösen, und das bedeutet, dass wir im ersten und letzten Fall oben tatsächlich zwei verschiedene \(y\) Werte aus dem \(x\) und diese Gleichung ist also KEINE Funktion.
Beachten Sie, dass wir Werte von \(x\) haben können, die ein einzelnes \(y\) ergeben, wie wir oben gesehen haben, aber das spielt keine Rolle. Wenn auch nur ein Wert von \ (x\) beim Lösen mehr als einen Wert von \ (y\) ergibt, ist die Gleichung keine Funktion.
Was dies wirklich bedeutet, ist, dass wir nicht weiter als die erste Auswertung gehen mussten, da dies mehrere Werte von \(y\) .
d \({x^2} + {y^2} = 4\) Lösung anzeigen
In diesem Fall verwenden wir die Lektion aus dem vorherigen Teil und prüfen, ob wir einen Wert von \(x\) finden können, der beim Lösen mehr als einen Wert von \(y\) ergibt. Da wir ein y2 im Problem haben, sollte dies nicht zu schwierig sein, da das Lösen schließlich die Verwendung der Quadratwurzeleigenschaft bedeutet, die mehr als einen Wert von \(y\) .
\
Diese Gleichung ist also keine Funktion. Denken Sie daran, dass dies aus dem vorherigen Abschnitt die Gleichung eines Kreises ist. Kreise sind niemals Funktionen.
Hoffentlich haben Ihnen diese Beispiele ein besseres Gefühl dafür gegeben, was eine Funktion eigentlich ist.
Wir müssen nun zu etwas übergehen, das wir Funktionsnotation nennen. Die Funktionsnotation wird in den meisten verbleibenden Kapiteln dieses Kurses stark verwendet, daher ist es wichtig, sie zu verstehen.
Beginnen wir mit der folgenden quadratischen Gleichung.
\
Wir können einen ähnlichen Prozess wie in den vorherigen Beispielen verwenden, um uns davon zu überzeugen, dass dies eine Funktion ist. Da dies eine Funktion ist, werden wir sie wie folgt bezeichnen,
\
Also haben wir das \(y\) durch die Notation \(f\left( x \right)\) ersetzt. Dies wird als „f von \ (x\)“ gelesen. Beachten Sie, dass das \ (f\), das wir hier verwendet haben, nichts Besonderes ist. Wir hätten einfach jeden der folgenden verwenden können,
\
Der Buchstabe, den wir verwenden, spielt keine Rolle. Wichtig ist der Teil „\(\left( x \right)\)“. Der Buchstabe in der Klammer muss mit der auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens verwendeten Variablen übereinstimmen.
Es ist sehr wichtig zu beachten, dass \(f\left( x \right)\) wirklich nichts anderes als eine wirklich ausgefallene Art ist, \(y\) zu schreiben. Wenn Sie dies berücksichtigen, wird der Umgang mit der Funktionsnotation möglicherweise etwas einfacher.
Dies ist auch KEINE Multiplikation von \(f\) mit \(x\)! Dies ist einer der häufigsten Fehler, die Menschen machen, wenn sie sich zum ersten Mal mit Funktionen befassen. Dies ist nur eine Notation zur Bezeichnung von Funktionen.
Als nächstes müssen wir über die Auswertung von Funktionen sprechen. Das Auswerten einer Funktion ist eigentlich nichts anderes als die Frage, welchen Wert sie für bestimmte Werte von \(x\) hat. Eine andere Sichtweise ist, dass wir fragen, was der \(y\) Wert für ein gegebenes \ (x\) ist.
Die Auswertung ist eigentlich ganz einfach. Nehmen wir die Funktion, die wir oben
\
und fragen, was ihr Wert für \(x = 4\) . In Bezug auf die Funktionsnotation werden wir dies mit der Notation \(f\left( 4 \right)\) „fragen“. Wenn also etwas anderes als die Variable in der Klammer ist, fragen wir wirklich, was der Wert der Funktion für diese bestimmte Menge ist.Wenn wir nun den Wert der Funktion sagen, fragen wir wirklich, was der Wert der Gleichung für diesen bestimmten Wert von \(x\) ist. Hier ist \(f\left( 4 \right)\).
\
Beachten Sie, dass die Auswertung einer Funktion genau so erfolgt, wie wir Gleichungen auswerten. Alles, was wir tun, ist Plug-in für \ (x\), was auf der Innenseite der Klammer auf der linken Seite ist. Hier ist eine weitere Bewertung für diese Funktion.
\
Also, wieder, was auch immer auf der Innenseite der Klammer auf der linken Seite ist für \(x\) in der Gleichung auf der rechten Seite eingesteckt. Schauen wir uns einige weitere Beispiele an.
- \(f\links( 3 \rechts)\) und \(g\links( 3 \rechts)\)
- \(f\links( { – 10} \rechts)\) und \(g\links( { – 10} \rechts)\)
- \(f\links( 0 \rechts)\)
- \(f\links( t \rechts)\)
- \(f\links( {t + 1} \right)\) und \(f\left( {x + 1} \right)\)
- \(f\left( {{x^3}} \right)\)
- \(g\left( {{x^2} – 5} \right)\)
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Okay, wir haben hier zwei Funktionsauswertungen und wir haben auch zwei Funktionen, also müssen wir entscheiden, welche Funktion für die Auswertungen zu verwenden. Der Schlüssel hier ist, den Buchstaben zu bemerken, der vor der Klammer steht. Für \(f\left( 3 \right)\) verwenden wir die Funktion \(f\left( x \right)\) und für \(g\left( 3 \right)\) verwenden wir \(g\left( x \right)\) . Mit anderen Worten, wir müssen nur sicherstellen, dass die Variablen übereinstimmen.
Hier sind die Auswertungen für diesen Teil.
\
b \(f\left( { – 10} \right)\) und \(g\left( { – 10} \right)\) Lösung anzeigen
Dieser Teil ist so ziemlich der gleiche wie der vorherige Teil mit einer Ausnahme, die wir berühren werden, wenn wir diesen Punkt erreichen. Hier sind die Bewertungen.
\
Stellen Sie sicher, dass Sie hier richtig mit den negativen Vorzeichen umgehen. Nun der zweite.
\
Wir haben nun den Unterschied erreicht. Denken Sie daran, dass wir, als wir anfingen, über die Definition von Funktionen zu sprechen, erklärten, dass wir uns nur mit reellen Zahlen befassen würden. Mit anderen Worten, wir stecken nur reelle Zahlen ein und wollen nur reelle Zahlen als Antworten zurück. Da wir also eine komplexe Zahl daraus erhalten würden, können wir -10 nicht in diese Funktion einfügen.
c \(f\left( 0 \right)\) Lösung anzeigen
Nicht viel zu diesem.
\
Vergessen Sie nicht, dass dies keine Multiplikation ist! Aus irgendeinem Grund betrachten die Schüler dies gerne als Multiplikation und erhalten eine Antwort von Null. Sei vorsichtig.
d \(f\left( t \right)\) Lösung anzeigen
Der Rest dieser Auswertungen wird jetzt etwas anders sein. Wie dieser zeigt, müssen wir nicht nur Zahlen in Klammern haben. Die Auswertung funktioniert jedoch genauso. Wir stecken in das \ (x\) auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens, was auch immer in der Klammer steht. In diesem Fall bedeutet das, dass wir \(t\) für alle \(x\) ’s einstecken.
Hier ist diese Bewertung.
\
Beachten Sie, dass dies in diesem Fall so ziemlich dasselbe ist wie unsere ursprüngliche Funktion, außer dass wir diesmal \(t\) als Variable verwenden.
e \(f\left( {t + 1} \right)\) und \(f\left( {x + 1} \right)\) Lösung anzeigen
Lassen Sie uns nun etwas komplizierter werden, oder zumindest scheinen sie komplizierter zu sein. Die Dinge sind jedoch nicht so schlimm, wie sie erscheinen mögen. Wir bewerten zuerst \(f\left( {t + 1} \right)\) . Dieser funktioniert genauso wie der vorherige Teil. Alle \(x\) auf der linken Seite werden durch \(t + 1\) ersetzt. Wir werden auch nach der Substitution einige Vereinfachungen vornehmen müssen.
\
Seien Sie vorsichtig mit Klammern in solchen Auswertungen. Es ist leicht, mit ihnen zu vermasseln.
Schauen wir uns nun \(f\left( {x + 1} \right)\) an. Mit Ausnahme von \(x\) ist dies identisch mit \(f\left( {t + 1} \right)\) und funktioniert daher genauso.
\
Freut euch nicht darüber, dass wir \(x\)’s hier in der Auswertung wiederverwendet haben. An vielen Stellen, an denen wir dies in späteren Abschnitten tun werden, wird es hier \ (x\) geben, und Sie müssen sich also daran gewöhnen, das zu sehen.
f \(f\left( {{x^3}} \right)\) Lösung anzeigen
Auch hier sollten Sie sich nicht über die \(x\) in Klammern freuen. Bewerten Sie es einfach so, als wäre es eine Zahl.
\
g \(g\left( {{x^2} – 5} \right)\) Lösung anzeigen
Noch eine Auswertung und diesmal verwenden wir die andere Funktion.
\
Funktionsbewertung ist etwas, das wir in späteren Abschnitten und Kapiteln viel tun werden, also stellen Sie sicher, dass Sie es tun können. Sie werden feststellen, dass einige spätere Abschnitte sehr schwer zu verstehen und / oder zu bearbeiten sind, wenn Sie nicht genau wissen, wie die Funktionsbewertung funktioniert.
Während wir beim Thema Funktionsbewertung sind, sollten wir nun über stückweise Funktionen sprechen. Wir haben tatsächlich bereits ein Beispiel für eine stückweise Funktion gesehen, auch wenn wir sie zu diesem Zeitpunkt nicht als Funktion (oder stückweise Funktion) bezeichnet haben. Erinnern Sie sich an die mathematische Definition des absoluten Wertes.
\
Dies ist eine Funktion, und wenn wir die Funktionsnotation verwenden, können wir sie wie folgt schreiben:
\
Dies ist auch ein Beispiel für eine stückweise Funktion. Eine stückweise Funktion ist nichts anderes als eine Funktion, die in Stücke zerbrochen ist und welches Stück Sie verwenden, hängt vom Wert von \(x\) ab. Im Absolutwertbeispiel verwenden wir also das obere Stück, wenn \ (x\) positiv oder Null ist, und das untere Stück, wenn \ (x\) negativ ist.
Werfen wir einen Blick auf die Auswertung einer komplizierteren stückweisen Funktion.
bewerten Sie jede der folgenden.
- \(g\left( { – 6} \right)\)
- \(g\left( { – 4} \right)\)
- \(g\left( 1 \right)\)
- \(g\left( {15} \right)\)
- \(g\left( {21} \right)\)
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Bevor wir hier mit den Auswertungen beginnen, sollten wir beachten, dass wir für die Funktion und die Variable andere Buchstaben verwenden als die, die wir bisher verwendet haben. Das ändert nichts daran, wie die Auswertung funktioniert. Lassen Sie sich nicht so sehr darauf ein, \(f\) für die Funktion und \ (x \) für die Variable zu sehen, dass Sie kein Problem haben können, das diese Buchstaben nicht hat.
Um nun jede dieser Auswertungen durchzuführen, müssen wir zunächst bestimmen, welche Ungleichung die Zahl erfüllt, und sie wird nur eine einzige Ungleichung erfüllen. Wenn wir bestimmen, welche Ungleichung die Zahl erfüllt, verwenden wir die dieser Ungleichung zugeordnete Gleichung.
Lassen Sie uns also einige Auswertungen vornehmen.
a \(g\left( { – 6} \right)\) Show Solution
In diesem Fall erfüllt -6 die obere Ungleichung und so verwenden wir die obere Gleichung für diese Auswertung.
\
b \(g\left( { – 4} \right)\) Show Solution
Jetzt müssen wir ein wenig vorsichtig mit diesem sein, da -4 in zwei der Ungleichungen auftaucht. Es erfüllt jedoch nur die Top-Ungleichung und so werden wir wieder die Top-Funktion für die Auswertung verwenden.
\
c \(g\left( 1 \right)\) Lösung anzeigen
In diesem Fall erfüllt die Zahl 1 die mittlere Ungleichung und so verwenden wir die mittlere Gleichung für die Auswertung. Diese Bewertung verursacht oft Probleme für Studenten, obwohl es tatsächlich eine der einfachsten Bewertungen ist, die wir jemals machen werden. Wir wissen, dass wir Funktionen / Gleichungen auswerten, indem wir die Zahl für die Variable eingeben. In diesem Fall gibt es keine Variablen. Das ist kein Problem. Da es keine Variablen gibt, bedeutet das nur, dass wir eigentlich nichts einstecken und wir bekommen Folgendes,
\
d \(g\left( {15} \right)\) Show Solution
Auch hier müssen wir wie im zweiten Teil etwas vorsichtig sein. In diesem Fall erfüllt die Zahl die mittlere Ungleichung, da diese diejenige mit dem Gleichheitszeichen ist. Dann, wie der vorherige Teil, den wir gerade bekommen,
\
Nicht aufgeregt über die Tatsache, dass die vorherigen zwei Auswertungen der gleiche Wert waren. Dies wird gelegentlich passieren.
e \(g\left( {21} \right)\) Lösung anzeigen
Für die abschließende Auswertung In diesem Beispiel erfüllt die Zahl die untere Ungleichung und so verwenden wir die untere Gleichung für die Auswertung.
\
Stückweise Funktionen treten in einer Algebra-Klasse nicht allzu oft auf, Sie treten jedoch an mehreren Stellen in späteren Klassen auf, und daher ist es wichtig, dass Sie sie verstehen, wenn Sie zu mehr Mathematikklassen übergehen.
Als letztes Thema müssen wir zurückkommen und auf die Tatsache eingehen, dass wir nicht immer jedes \(x\) in jede Funktion stecken können. Wir sprachen kurz darüber, als wir die Definition der Funktion gaben, und wir sahen ein Beispiel dafür, als wir Funktionen auswerteten. Wir müssen dies nun etwas genauer betrachten.
Zuerst müssen wir ein paar Definitionen aus dem Weg räumen.
Domäne und Bereich
Die Domäne einer Gleichung ist die Menge aller \(x\) , die wir in die Gleichung einfügen und eine reelle Zahl für \(y\) . Der Bereich einer Gleichung ist die Menge aller \(y\), die wir jemals aus der Gleichung herausholen können.
Beachten Sie, dass wir die Gleichung in den obigen Definitionen anstelle von Funktionen verwenden wollten. Dies sind wirklich Definitionen für Gleichungen. Da Funktionen jedoch auch Gleichungen sind, können wir die Definitionen auch für Funktionen verwenden.
Die Bestimmung des Bereichs einer Gleichung / Funktion kann für viele Funktionen ziemlich schwierig sein, und so werden wir nicht wirklich darauf eingehen. Wir sind hier viel mehr daran interessiert, die Domänen von Funktionen zu bestimmen. Aus der Definition ist die Domäne die Menge aller \(x\) , die wir in eine Funktion einfügen und eine reelle Zahl zurückerhalten können. An diesem Punkt bedeutet dies, dass wir die Division durch Null und die Quadratwurzeln negativer Zahlen vermeiden müssen.
Lassen Sie uns ein paar schnelle Beispiele für die Suche nach Domains machen.
- \(\displaystyle g\links( x \rechts) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\)
- \(f\links( x \rechts) = \sqrt {5 – 3x} \)
- \(\displaystyle h\links( x \rechts) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle R\links( x \rechts) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\)
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Die Domänen für diese Funktionen sind alle Werte von \(x\), für die wir keine Division durch Null oder die Quadratwurzel einer negativen Zahl haben. Wenn wir uns an diese beiden Ideen erinnern, wird es ziemlich einfach sein, die Domains zu finden.
a \(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\) Lösung anzeigen
In diesem Fall gibt es also keine Quadratwurzeln, so dass wir uns keine Sorgen um die Quadratwurzel einer negativen Zahl machen müssen. Es besteht jedoch die Möglichkeit, dass wir eine Division durch Null Fehler haben. Um zu bestimmen, ob wir wollen, müssen wir den Nenner gleich Null setzen und lösen.
\
Wir erhalten also eine Division durch Null, wenn wir \(x = – 5\) oder \(x = 2\) einstecken. Das bedeutet, dass wir diese beiden Zahlen vermeiden müssen. Alle anderen Werte von \(x\) funktionieren jedoch, da sie keine Division durch Null ergeben. Die Domäne ist dann
\
b \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \) Lösung anzeigen
In diesem Fall haben wir keine Division durch Null Probleme, da wir keine Brüche haben. Wir haben eine Quadratwurzel im Problem und müssen uns also darum kümmern, die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu nehmen.
Dieser wird ein wenig anders funktionieren als der vorherige Teil. In diesem Teil haben wir den / die zu vermeidenden Wert (e) von \(x\) bestimmt. In diesem Fall ist es genauso einfach, die Domain direkt zu erhalten. Um Quadratwurzeln negativer Zahlen zu vermeiden, müssen wir nur verlangen, dass
\
Dies ist eine ziemlich einfache lineare Ungleichung, die wir an dieser Stelle lösen können.
\
Die Domäne dieser Funktion ist dann,
\
c \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\) Lösung anzeigen
In diesem Fall haben wir einen Bruch, aber beachten Sie, dass der Nenner für keine reelle Zahl Null sein wird, da x2 garantiert positiv oder Null ist und das Hinzufügen von 4 dazu bedeutet, dass die nenner ist immer mindestens 4. Mit anderen Worten, der Nenner wird niemals Null sein. Alles, was wir dann tun müssen, ist uns um die Quadratwurzel im Zähler zu kümmern.
Um dies zu tun, benötigen wir,
\
Jetzt können wir tatsächlich einen beliebigen Wert von \(x\) in den Nenner stecken, aber da wir die Quadratwurzel im Zähler haben, müssen wir sicherstellen, dass alle \(x\) die obige Ungleichung erfüllen, um Probleme zu vermeiden. Daher ist die Domäne dieser Funktion
\
d \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) Show Solution
In diesem letzten Teil haben wir sowohl eine Quadratwurzel als auch eine Division durch Null, um die wir uns Sorgen machen müssen. Kümmern wir uns zuerst um die Quadratwurzel, da dies wahrscheinlich die größte Einschränkung für die Werte von \(x\) darstellt. Also, um die Quadratwurzel glücklich zu halten (dh keine Quadratwurzel negativer Zahlen), müssen wir das verlangen,
\
Also müssen wir zumindest das verlangen \(x \ge \frac{1}{2}\) um Probleme mit der Quadratwurzel zu vermeiden.
Nun wollen wir sehen, ob wir irgendwelche Probleme mit der Division durch Null haben. Um dies zu tun, setzen Sie einfach den Nenner auf Null und lösen Sie.
\
Beachten Sie nun, dass \(x = – 4\) die Ungleichung, die wir für die Quadratwurzel benötigen, nicht erfüllt und dass der Wert von \(x\) bereits von der Quadratwurzel ausgeschlossen wurde. Andererseits erfüllt \(x = 4\) die Ungleichung. Dies bedeutet, dass es in Ordnung ist, \ (x = 4\) in die Quadratwurzel einzufügen, da dies jedoch eine Division durch Null ergeben würde, müssen wir dies vermeiden.
Die Domäne für diese Funktion ist dann
\