vänligen läs gränser (En introduktion) först

oändlighet är en mycket speciell ide. Vi vet att vi inte kan nå det, men vi kan fortfarande försöka räkna ut värdet av funktioner som har oändlighet i dem.

en dividerad med oändlighet

låt oss börja med ett intressant exempel.

varför vet vi inte?

det enklaste skälet är att oändligheten inte är ett tal, det är en ide.

Så 1 är lite som att säga 1skönhet eller 1tall.

kanske kan vi säga att 1 kg= 0, … men det är också ett problem, för om vi delar 1 i oändliga bitar och de hamnar 0 vardera, vad hände med 1?

i själva verket är 1 kg känt för att vara odefinierat.

men vi kan närma oss det!

så istället för att försöka räkna ut det för oändlighet( eftersom vi inte kan få ett förnuftigt svar), låt oss prova större och större värden på x:

x	1x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

Nu kan vi se att när x blir större tenderar 1x mot 0

vi står nu inför en intressant situation:

• Vi kan inte säga vad som händer när x kommer till oändligheten
• men vi kan se att 1x går mot 0

vi vill ge svaret ”0” men kan inte, så istället säger matematiker exakt vad som händer genom att använda det speciella ordet ”limit”

gränsen på 1x när x närmar sig oändligheten är 0

och skriver det så här:

med andra ord:

När x närmar sig oändligheten, närmar sig 1x 0

När du ser ”limit”, tänk ”närmar”

det är ett matematiskt sätt att säga ”vi pratar inte om när x= kub, men vi vet att x blir större, svaret kommer närmare och närmare 0”.

sammanfattning

så ibland kan oändlighet inte användas direkt, men vi kan använda en gräns.

vad som händer vid bisexuell är odefinierat …		1∞
… men vi vet att 1/x närmar sig 0 som x närmar sig oändlighet		limx kub (1x) = 0

gränser närmar sig oändligheten

vad är gränsen för denna funktion när x närmar sig oändligheten?

y = 2x

uppenbarligen som” x ” blir större, så gör ”2x”:

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
…	…

så som ”x” närmar sig oändligheten, närmar sig ”2x” också oändligheten. Vi skriver detta:

men låt dig inte luras av ”=”. Vi kan faktiskt inte komma till oändligheten, men i ”limit” – språket är gränsen oändlighet (vilket verkligen säger att funktionen är obegränsad).

Oändlighet och grad

Vi har sett två exempel, en gick till 0, den andra gick till oändligheten.faktum är att många oändliga gränser faktiskt är ganska lätta att träna, när vi räknar ut ”vilken väg Det går”, så här:

funktioner som 1/x tillvägagångssätt 0 som x närmar sig oändlighet. Detta gäller också för 1/x2 etc

en funktion som x kommer att närma sig oändlighet, liksom 2x eller x / 9 och så vidare. På samma sätt kommer Funktioner med x2 eller x3 etc också att närma sig oändligheten.

men var försiktig, en funktion som ”−x” kommer att närma sig ”−oändlighet”, så vi måste titta på tecknen på x.

faktum är att när vi tittar på graden av funktionen (Den högsta exponenten i funktionen) kan vi berätta vad som kommer att hända:

när graden av funktionen är:

• större än 0, gränsen är oändlighet (eller −oändlighet)
• mindre än 0, gränsen är 0

men om graden är 0 eller okänd måste vi arbeta lite hårdare för att hitta en gräns.

rationella funktioner

en rationell funktion är en som är förhållandet mellan två polynom:		f(x) = P(x)Q(x)
	till exempel här p(x) = x3 + 2x − 1 och Q(X) = 6×2:		x3 + 2x − 16×2

Efter vår uppfattning om graden av ekvationen är det första steget att hitta gränsen till …

jämför graden av P (x) till graden av Q(x):

… gränsen är 0.

… dela koefficienterna för termerna med den största exponenten, så här:

(Observera att de största exponenterna är lika, eftersom graden är lika)

… då är gränsen positiv oändlighet …

… eller kanske negativ oändlighet. Vi måste titta på skyltarna!

vi kan räkna ut tecknet (positivt eller negativt) genom att titta på tecknen på termerna med den största exponenten, precis som hur vi hittade koefficienterna ovan:

x3 + 2x − 16×2		till exempel kommer detta att gå till positiv oändlighet, eftersom båda … x3 (termen med den största exponenten i toppen) och 6×2 (termen med den största exponenten i botten) … är positiva.
−2×2 + x5x − 3	men detta kommer att leda till negativ oändlighet, eftersom -2 / 5 är negativ.

ett hårdare exempel: träna ”e”

denna formel kommer närmare värdet på e (Eulers nummer) när n ökar:

vid oändlighet:

vi vet inte!

So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100,000	2.71827

ja, det är på väg mot värdet 2.71828… vilket är E (Eulers nummer)

så igen har vi en udda situation:

• vi vet inte vad värdet är när n=oändlighet
• men vi kan se att det sätter sig mot 2.71828…

Så vi använder gränser för att skriva svaret så här:

det är ett matematiskt sätt att säga ”vi pratar inte om när n= kubi, men vi vet att n blir större, svaret kommer närmare och närmare värdet av e”.

utvärdera gränser

Jag har tagit en mild inställning till gränser hittills och visat tabeller och diagram för att illustrera punkterna.

men för att” utvärdera ” (med andra ord beräkna) kan värdet på en gräns ta lite mer ansträngning. Läs mer om att utvärdera gränser.