- inlärningsmål
- exempel 1. Beräkning av volym från flödeshastighet: hjärtat pumpar mycket blod under en livstid
- strategi
- lösning
- diskussion
- exempel 2. Beräkning av Vätskehastighet: hastigheten ökar när ett rör smalnar
- strategi
- lösning för (a)
- lösning för (b)
- diskussion
- exempel 3. Beräkning av flödeshastighet och kärldiameter: förgrening i hjärt-kärlsystemet
- strategi
- lösning för (a)
- lösning för (b)
- diskussion
- avsnitt sammanfattning
- Conceptual Questions
- problem & övningar
- ordlista
- valda lösningar på problem& övningar
inlärningsmål
i slutet av detta avsnitt kommer du att kunna:
- beräkna flödeshastighet.
- definiera volymenheter.
- beskriv inkompressibla vätskor.
- förklara konsekvenserna av kontinuitetsekvationen.
flödeshastighet Q definieras som volymen av vätska som passerar någon plats genom ett område under en tidsperiod, vilket ses i Figur 1. I symboler kan detta skrivas som
där V är volymen och t är den förflutna tiden. SI-enheten för flödeshastighet är m3 / s, men ett antal andra enheter för Q är i vanligt bruk. Till exempel pumpar hjärtat hos en vilande vuxen blod med en hastighet av 5,00 liter per minut (L/min). Observera att en liter (L) är 1/1000 av en kubikmeter eller 1000 kubikcentimeter (10-3 m3 eller 103 cm3). I denna text ska vi använda de metriska enheter som är mest lämpliga för en given situation.
Figur 1. Flödeshastighet är volymen av vätska per tidsenhet som strömmar förbi en punkt genom området A. Här strömmar den skuggade cylindern av vätska förbi punkt P i ett enhetligt rör i tid t .cylinderns volym är Ad och medelhastigheten är \overline{v}=d/t\\ så att flödeshastigheten är Q=\text{Ad}/t=a\overline{v}\\.
exempel 1. Beräkning av volym från flödeshastighet: hjärtat pumpar mycket blod under en livstid
hur många kubikmeter blod pumpar hjärtat under en 75-årig livstid, förutsatt att den genomsnittliga flödeshastigheten är 5,00 L / min?
strategi
tid och flödeshastighet Q ges, och så kan volymen V beräknas utifrån definitionen av flödeshastighet.
lösning
lösning Q = V/T för volym ger
V = Qt.
ersätta kända värden ger
diskussion
denna mängd är cirka 200 000 ton blod. Som jämförelse motsvarar detta värde cirka 200 gånger volymen vatten som finns i en 6-lane 50-m varvpool.
flödeshastighet och hastighet är relaterade, men ganska olika, fysiska kvantiteter. För att göra skillnaden tydlig, tänk på flödeshastigheten för en flod. Ju större vattnets hastighet desto större flödeshastighet för floden. Men flödeshastigheten beror också på flodens storlek. En snabb Bergström bär till exempel mycket mindre vatten än Amazonfloden i Brasilien. Det exakta förhållandet mellan flödeshastighet Q och hastighet \ bar{v} \ \ är
där A är tvärsnittsarean och \bar{v}\\ är medelhastigheten. Denna ekvation verkar logisk nog. Förhållandet berättar att flödeshastigheten är direkt proportionell mot både storleken på medelhastigheten (nedan kallad hastigheten) och storleken på en flod, rör eller annan ledning. Ju större ledningen desto större är dess tvärsnittsarea. Figur 1 illustrerar hur detta förhållande erhålls. Den skuggade cylindern har en volym
V = Ad,
som flyter förbi punkten P i en tid t. att dela båda sidor av detta förhållande med t ger
\frac{V}{t}=\frac{Ad}{t}\\.
vi noterar att Q=V / t och medelhastigheten är \overline{v}=d/t\\. Således blir ekvationen Q=A \ overline{v}\\. Figur 2 visar en inkompressibel vätska som strömmar längs ett rör med minskande radie. Eftersom vätskan är inkompressibel måste samma mängd vätska strömma förbi någon punkt i röret under en given tid för att säkerställa kontinuitet i flödet. I detta fall, eftersom rörets tvärsnittsarea minskar, måste hastigheten nödvändigtvis öka. Denna logik kan utökas för att säga att flödeshastigheten måste vara densamma vid alla punkter längs röret. I synnerhet för punkterna 1 och 2,
\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&a_{2}V_{2} \End{cases}\\
detta kallas kontinuitetsekvationen och gäller för eventuell inkompressibel vätska. Konsekvenserna av kontinuitetsekvationen kan observeras när vatten strömmar från en slang till ett smalt sprutmunstycke: det framträder med stor hastighet—det är syftet med munstycket. Omvänt, när en flod tömmer sig i ena änden av en reservoar, sänks vattnet avsevärt, kanske tar fart igen när det lämnar den andra änden av behållaren. Med andra ord ökar hastigheten när tvärsnittsarean minskar och hastigheten minskar när tvärsnittsarean ökar.
Figur 2. När ett rör smalnar, upptar samma volym en större längd. För att samma volym ska passera punkterna 1 och 2 under en viss tid måste hastigheten vara större vid punkt 2. Processen är exakt reversibel. Om vätskan strömmar i motsatt riktning kommer dess hastighet att minska när röret breddas. (Observera att de relativa volymerna för de två cylindrarna och motsvarande hastighetsvektorpilar inte dras i skala.)
eftersom vätskor är väsentligen inkompressibla gäller ekvationen för kontinuitet för alla vätskor. Gaser är emellertid komprimerbara, och därför måste ekvationen appliceras med försiktighet på gaser om de utsätts för kompression eller expansion.
exempel 2. Beräkning av Vätskehastighet: hastigheten ökar när ett rör smalnar
ett munstycke med en radie på 0,250 cm är fäst vid en trädgårdsslang med en radie på 0,900 cm. Flödeshastigheten genom slang och munstycke är 0,500 L/s. beräkna hastigheten på vattnet (a) i slangen och (b) i munstycket.
strategi
Vi kan använda förhållandet mellan flödeshastighet och hastighet för att hitta båda hastigheterna. Vi kommer att använda subscript 1 för slangen och 2 för munstycket.
lösning för (a)
först löser vi Q=A\overline{v}\ \ för v1 och noterar att tvärsnittsarean är A = nr2, vilket ger
ersätta kända värden och göra lämpliga enhetsomvandlingar ger
lösning för (b)
vi kan upprepa denna beräkning för att hitta hastigheten i munstycket \bar{v}_{2}\\, men vi kommer att använda kontinuitetsekvationen för att ge en något annorlunda inblick. Använda ekvationen som anger
lösa för {\overline{v}}_{2}\\ och ersätta NR2 för tvärsnittsarean ger
ersätta kända värden,
\overline{v}_{2}=\frac{\left(0.900\text{ cm}\right)^{2}}{\left(0.250 \ text{ cm} \ Höger)^{2}}1,96\text{ m / s}=25,5 \text{ m/s}\\.
diskussion
en hastighet på 1,96 m/s är ungefär rätt för vatten som kommer från en munstyckslös slang. Munstycket producerar en betydligt snabbare ström bara genom att begränsa flödet till ett smalare rör.
lösningen till den sista delen av exemplet visar att hastigheten är omvänt proportionell mot kvadraten på rörets radie, vilket ger stora effekter när radien varierar. Vi kan blåsa ut ett ljus på ganska avstånd, till exempel genom att pursing våra läppar, medan blåser på ett ljus med munnen vidöppen är ganska ineffektivt. I många situationer, inklusive i hjärt-kärlsystemet, sker förgrening av flödet. Blodet pumpas från hjärtat till artärer som delas upp i mindre artärer (arterioler) som förgrenar sig till mycket fina kärl som kallas kapillärer. I denna situation upprätthålls kontinuitet i flödet men det är summan av flödeshastigheterna i var och en av grenarna i vilken del som helst längs röret som upprätthålls. Ekvationen för kontinuitet i en mer allmän form blir
{n} _ {1}{A} _ {1} {\overline {v}} _ {1} = {n} _ {2}{a} _ {2} {\overline{v}}_{2}\\,
där n1 och n2 är antalet grenar i var och en av sektionerna längs röret.
exempel 3. Beräkning av flödeshastighet och kärldiameter: förgrening i hjärt-kärlsystemet
aortan är det huvudsakliga blodkärlet genom vilket blod lämnar hjärtat för att cirkulera runt kroppen. (A) beräkna blodets genomsnittliga hastighet i aortan om flödeshastigheten är 5,0 L/min. Aortan har en radie på 10 mm. (b) blod strömmar också genom mindre blodkärl som kallas kapillärer. När blodflödeshastigheten i aortan är 5,0 L/min är blodets hastighet i kapillärerna Ca 0,33 mm / s. med tanke på att en kapillärs genomsnittliga diameter är 8,0 mikrogram, beräkna antalet kapillärer i blodcirkulationssystemet.
strategi
Vi kan använda Q=A\overline{v}\\ för att beräkna flödeshastigheten i aortan och sedan använda den allmänna formen av kontinuitetsekvationen för att beräkna antalet kapillärer som alla andra variabler är kända.
lösning för (a)
flödeshastigheten ges av Q=A\overline{v}\\ eller \overline{v}=\frac{Q}{{\pi r}^{2}}\\ för ett cylindriskt kärl. Genom att ersätta de kända värdena (konverterade till enheter av meter och sekunder) ges
lösning för (b)
Med {n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2}{a}_{2}{\overline{v}}_{1}\\, tilldela prenumerationen 1 till aortan och 2 till kapillärerna och lösa för n2 (antalet kapillärer) ger {n}_{2}=\frac{{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}}{{A}_{2}{\overline{V}}_{2}}\\. Att konvertera alla kvantiteter till enheter av meter och sekunder och ersätta ekvationen ovan ger
diskussion
Observera att flödeshastigheten i kapillärerna reduceras avsevärt i förhållande till hastigheten i aortan på grund av den signifikanta ökningen av den totala tvärsnittsarean vid kapillärerna. Denna låga hastighet är att tillåta tillräcklig tid för effektiv utbyte att inträffa även om det är lika viktigt för flödet att inte bli stillastående för att undvika risken för koagulering. Verkar detta stora antal kapillärer i kroppen rimligt? I aktiv muskel finner man cirka 200 kapillärer per mm3, eller cirka 200 kg 106 1 kg muskel. För 20 kg muskler uppgår detta till cirka 4 109 kapillärer.
avsnitt sammanfattning
- flödeshastighet Q definieras som volymen V som flyter förbi en tidpunkt t, eller Q=\frac{V}{t}\\ där V är volym och t är tid.
- si-volymenheten är M3.
- en annan vanlig enhet är liter (L), som är 10-3 m3.
- flödeshastighet och hastighet är relaterade med Q=A \ overline{v}\ \ där A är flödets tvärsnittsarea och\overline{v}\\ är dess genomsnittliga hastighet.
- för inkompressibla vätskor är flödeshastigheten vid olika punkter konstant. That is,
\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2}\\ n_{1}A_{1}\bar{v}_{1} && n_{2}A_{2}\bar{v}_{2}\end{cases}\\.
Conceptual Questions
1. What is the difference between flow rate and fluid velocity? How are they related?
2. Many figures in the text show streamlines. Förklara varför vätskehastigheten är störst där strömlinjer är närmast varandra. (Tips: Tänk på förhållandet mellan vätskehastigheten och tvärsnittsarean genom vilken den strömmar.)
3. Identifiera några ämnen som är inkompressibla och några som inte är det.
problem & övningar
1. Vad är den genomsnittliga flödeshastigheten i cm3 / s bensin till motorn på en bil som reser vid 100 km/h om den är i genomsnitt 10,0 km / l?
2. Hjärtat hos en vilande vuxen pumpar blod med en hastighet av 5.00 L / min. (a) konvertera detta till cm3/s . (B) Vad är denna hastighet i m3/s ?
3. Blod pumpas från hjärtat med en hastighet av 5,0 L / min in i aortan (med radie 1,0 cm). Bestäm blodets hastighet genom aortan.
4. Blod strömmar genom en artär med radie 2 mm med en hastighet av 40 cm/s. Bestäm flödeshastigheten och volymen som passerar genom artären under en period av 30 s.
5. Huka Falls på Waikato River är en av Nya Zeelands mest besökta naturliga turistattraktioner (se Figur 3). I genomsnitt har floden en flödeshastighet på cirka 300 000 L/s. vid ravinen smalnar floden till 20 m bred och är i genomsnitt 20 m djup. (A) Vad är medelhastigheten för floden i ravinen? b) Vad är medelhastigheten för vattnet i floden nedströms fallen när det vidgas till 60 m och dess djup ökar till i genomsnitt 40 m?
Figur 3. Huka Falls i Taupo, Nya Zeeland, visar flödeshastighet. (kredit: RaviGogna, Flickr)
6. En större artär med en tvärsnittsarea på 1,00 cm2 grenar i 18 mindre artärer, var och en med en genomsnittlig tvärsnittsarea på 0,400 cm2. Med vilken faktor reduceras blodets genomsnittliga hastighet när den passerar in i dessa grenar?
7. (A) när blod passerar genom kapillärbädden i ett organ, förenas kapillärerna för att bilda venuler (små vener). Om blodhastigheten ökar med en faktor 4,00 och den totala tvärsnittsarean hos venulerna är 10,0 cm2, vad är den totala tvärsnittsarean hos kapillärerna som matar dessa venuler? (B) hur många kapillärer är inblandade om deras genomsnittliga diameter är 10,0 cu?
8. Det mänskliga cirkulationssystemet har cirka 1 kg 109 kapillärkärl. Varje kärl har en diameter på ca 8 mikrogram. Förutsatt att hjärtutgången är 5 L / min, Bestäm den genomsnittliga hastigheten för blodflödet genom varje kapillärkärl.
9. (a) uppskatta den tid det skulle ta att fylla en privat pool med en kapacitet på 80 000 L med en trädgårdsslang som levererar 60 L/min. (B) Hur lång tid skulle det ta att fylla om du kunde avleda en flod i måttlig storlek, som strömmar vid 5000 m3/s, in i den?
10. Flödeshastigheten för blod genom en 2,00 10-6-radius kapillär är 3,80 109 xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx. (A) Vad är hastigheten på blodflödet? (Denna lilla hastighet ger tid för diffusion av material till och från blodet.) (b) förutsatt att allt blod i kroppen passerar genom kapillärer, hur många av dem måste det finnas för att bära ett totalt flöde på 90,0 cm3/s? (Det stora antalet som erhålls är en överskattning, men det är fortfarande rimligt.)
11. (A) Vad är vätskehastigheten i en brandslang med en 9,00 cm diameter som bär 80,0 liter vatten per sekund? (B) Vad är flödeshastigheten i kubikmeter per sekund? (C) skulle dina svar vara annorlunda om saltvatten ersatte färskvattnet i brandslangen?
12. Huvudupptagningskanalen för en tvångsgasvärmare är 0,300 m i diameter. Vad är lufthastigheten i kanalen om den har en volym som är lika med husets inre var 15: e minut? Husets inre volym motsvarar en rektangulär fast 13,0 m bred och 20,0 m lång och 2,75 m hög.
13. Vatten rör sig med en hastighet av 2,00 m/s genom en slang med en inre diameter på 1,60 cm. (A) Vad är flödeshastigheten i liter per sekund? (b) vätskehastigheten i slangens munstycke är 15,0 m/s. Vad är munstyckets innerdiameter?
14. Bevisa att hastigheten hos en inkompressibel vätska genom en förträngning, såsom i ett venturirör, ökar med en faktor som är lika med kvadraten av den faktor genom vilken diametern minskar. (Converse gäller för flöde ut ur en förträngning till en region med större diameter.)
15. Vatten kommer rakt ner från en kran med en diameter på 1,80 cm med en hastighet av 0,500 m/s. (på grund av kranens konstruktion finns det ingen variation i hastighet över strömmen.) (A) Vad är flödeshastigheten i cm3/s? (B) Vad är diametern på strömmen 0.200 m under kranen? Försumma eventuella effekter på grund av ytspänning.
16. Orimliga resultat en Bergström är 10,0 m bred och i genomsnitt 2,00 m djup. Under vårens avrinning når flödet i strömmen 100 000 m3 / s. (A) Vad är den genomsnittliga hastigheten för strömmen under dessa förhållanden? (B) Vad är orimligt med denna hastighet? (C) Vad är orimligt eller inkonsekvent om lokalerna?
ordlista
flödeshastighet: förkortad Q, det är volymen V som flyter förbi en viss punkt under en tid t, eller Q = V/t liter: en volymenhet, lika med 10-3 m3
valda lösningar på problem& övningar
1. 2,78 cm3 / s
3. 27 cm / S
5. a) 0,75 m / s b) 0,13 m / s
7. (a) 40,0 cm2 (b) 5,09 oz 107
9. a) 22 h b) 0.016 s
11. (a) 12,6 m/s (b) 0,0800 m3/s (c) Nej, oberoende av densitet.
13. a) 0, 402 L / S (b) 0, 584 cm
15. (a) 128 cm3 / s (b) 0,890 cm