- Objectifs d’apprentissage
- Exemple 1. Calcul du volume à partir du débit: Le Cœur pompe beaucoup de sang au cours d’une vie
- Stratégie
- Solution
- Discussion
- Exemple 2. Calcul de la vitesse du fluide: La vitesse Augmente Lorsqu’un tube se rétrécit
- Stratégie
- Solution pour (a)
- Solution pour (b)
- Discussion
- Exemple 3. Calcul de la Vitesse d’écoulement et du Diamètre des vaisseaux : Ramification dans le Système cardiovasculaire
- Stratégie
- Solution pour (a)
- Solution pour (b)
- Discussion
- Résumé de la section
- Conceptual Questions
- Problèmes &Exercices
- Glossaire
- Solutions sélectionnées aux problèmes &Exercices
Objectifs d’apprentissage
À la fin de cette section, vous pourrez :
- Calculer le débit.
- Définit les unités de volume.
- Décrire les fluides incompressibles.
- Expliquer les conséquences de l’équation de continuité.
Le débit Q est défini comme étant le volume de fluide passant par un endroit à travers une zone pendant une période de temps, comme le montre la figure 1. Dans les symboles, cela peut être écrit comme
où V est le volume et t le temps écoulé. L’unité SI pour le débit est m3 / s, mais un certain nombre d’autres unités pour Q sont d’usage courant. Par exemple, le cœur d’un adulte au repos pompe le sang à raison de 5,00 litres par minute (L / min). Notez qu’un litre (L) représente 1/1000 de mètre cube ou 1000 centimètres cubes (10-3 m3 ou 103 cm3). Dans ce texte, nous utiliserons toutes les unités métriques qui conviennent le mieux à une situation donnée.
Figure 1. Le débit est le volume de fluide par unité de temps s’écoulant au-delà d’un point à travers la zone A. Ici, le cylindre ombré de fluide s’écoule au-delà du point P dans un tuyau uniforme dans le temps t. Le volume du cylindre est Ad et la vitesse moyenne est \overline{v} = d/t\\ de sorte que le débit est Q = \text{Ad} /t= A\overline{v}\\.
Exemple 1. Calcul du volume à partir du débit: Le Cœur pompe beaucoup de sang au cours d’une vie
Combien de mètres cubes de sang le cœur pompe-t-il au cours d’une vie de 75 ans, en supposant que le débit moyen est de 5,00 L / min?
Stratégie
Le temps et le débit Q sont donnés, et le volume V peut donc être calculé à partir de la définition du débit.
Solution
Résoudre Q=V/t pour le volume donne
V=Qt.
La substitution de valeurs connues donne
Discussion
Cette quantité est d’environ 200 000 tonnes de sang. À titre de comparaison, cette valeur équivaut à environ 200 fois le volume d’eau contenu dans une piscine à 6 voies de 50 m.
Le débit et la vitesse sont des grandeurs physiques liées, mais très différentes. Pour que la distinction soit claire, pensez au débit d’une rivière. Plus la vitesse de l’eau est grande, plus le débit de la rivière est important. Mais le débit dépend aussi de la taille de la rivière. Un ruisseau de montagne rapide transporte beaucoup moins d’eau que le fleuve Amazone au Brésil, par exemple. La relation précise entre le débit Q et la vitesse \bar{v}\\ est
où A est la section transversale et \bar{v}\\ est la vitesse moyenne. Cette équation semble assez logique. La relation nous indique que le débit est directement proportionnel à la fois à l’amplitude de la vitesse moyenne (ci-après appelée vitesse) et à la taille d’une rivière, d’un tuyau ou d’un autre conduit. Plus le conduit est grand, plus sa section transversale est grande. La figure 1 illustre comment cette relation est obtenue. Le cylindre ombré a un volume
V=Ad,
qui passe au-delà du point P en un temps t. En divisant les deux côtés de cette relation par t, on obtient
\frac{V}{t}=\frac{Ad}{t}\\.
On note que Q = V/t et la vitesse moyenne est \overline{v}=d/t\\. Ainsi, l’équation devient Q = A\overline {v}\\. La figure 2 montre un fluide incompressible s’écoulant le long d’une conduite de rayon décroissant. Du fait que le fluide est incompressible, la même quantité de fluide doit s’écouler au-delà de n’importe quel point du tube dans un temps donné pour assurer la continuité de l’écoulement. Dans ce cas, comme la section transversale du tuyau diminue, la vitesse doit nécessairement augmenter. Cette logique peut être étendue pour dire que le débit doit être le même en tous points de la conduite. En particulier, pour les points 1 et 2,
\begin{cases} Q_{1} && Q_{2}\\A_{1} v_{1} &&A_{2} v_{2}\end{cases}\\
C’est ce qu’on appelle l’équation de continuité et est valable pour tout fluide incompressible. Les conséquences de l’équation de continuité peuvent être observées lorsque l’eau s’écoule d’un tuyau dans une buse de pulvérisation étroite: elle émerge à grande vitesse — c’est le but de la buse. Inversement, lorsqu’une rivière se déverse à l’une des extrémités d’un réservoir, l’eau ralentit considérablement, reprenant peut-être de la vitesse lorsqu’elle quitte l’autre extrémité du réservoir. En d’autres termes, la vitesse augmente lorsque la section transversale diminue et la vitesse diminue lorsque la section transversale augmente.
Figure 2. Lorsqu’un tube se rétrécit, le même volume occupe une plus grande longueur. Pour qu’un même volume passe les points 1 et 2 dans un temps donné, la vitesse doit être supérieure au point 2. Le processus est exactement réversible. Si le fluide s’écoule dans la direction opposée, sa vitesse diminuera lorsque le tube s’élargira. (Notez que les volumes relatifs des deux cylindres et les flèches du vecteur vitesse correspondantes ne sont pas dessinés à l’échelle.)
Comme les liquides sont essentiellement incompressibles, l’équation de continuité est valable pour tous les liquides. Cependant, les gaz sont compressibles, et l’équation doit donc être appliquée avec prudence aux gaz s’ils sont soumis à une compression ou à une dilatation.
Exemple 2. Calcul de la vitesse du fluide: La vitesse Augmente Lorsqu’un tube se rétrécit
Une buse d’un rayon de 0,250 cm est fixée à un tuyau d’arrosage d’un rayon de 0,900 cm. Le débit à travers le tuyau et la buse est de 0,500 L / s. Calculez la vitesse de l’eau (a) dans le tuyau et (b) dans la buse.
Stratégie
Nous pouvons utiliser la relation entre le débit et la vitesse pour trouver les deux vitesses. Nous utiliserons l’indice 1 pour le tuyau et 2 pour la buse.
Solution pour (a)
Tout d’abord, nous résolvons Q=A\overline{v}\\pour v1 et notons que la section transversale est A=nr2, ce qui donne
En substituant des valeurs connues et en effectuant des conversions d’unités appropriées, on obtient
Solution pour (b)
Nous pourrions répéter ce calcul pour trouver la vitesse dans la buse \bar{v}_{2}\\, mais nous utiliserons l’équation de continuité pour donner un aperçu quelque peu différent. En utilisant l’équation qui indique
la résolution de {\overline{v}}_{2}\\ et la substitution de nr2 pour la section transversale donne
En remplaçant les valeurs connues,
\overline{v}_{2} = \frac{\left(0.900\text{cm}\right) ^{2}}{\left(0.250\text {cm}\right) ^{2}} 1,96 \text {m/s} = 25,5\text {m/s}\\.
Discussion
Une vitesse de 1,96 m/s est à peu près appropriée pour l’eau sortant d’un tuyau sans buse. La buse produit un flux considérablement plus rapide simplement en resserrant le flux vers un tube plus étroit.
La solution à la dernière partie de l’exemple montre que la vitesse est inversement proportionnelle au carré du rayon du tube, ce qui produit des effets importants lorsque le rayon varie. Nous pouvons souffler une bougie à une certaine distance, par exemple en pinçant nos lèvres, alors que souffler sur une bougie avec la bouche grande ouverte est assez inefficace. Dans de nombreuses situations, y compris dans le système cardiovasculaire, une ramification du flux se produit. Le sang est pompé du cœur dans les artères qui se subdivisent en artères plus petites (artérioles) qui se ramifient en vaisseaux très fins appelés capillaires. Dans cette situation, la continuité d’écoulement est maintenue mais c’est la somme des débits dans chacune des branches dans une portion quelconque le long du tube qui est maintenue. L’équation de continuité sous une forme plus générale devient
{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2} {A}_{2}{\overline{v}}_{2}\\,
où n1 et n2 sont le nombre de branches dans chacune des sections le long du tube.
Exemple 3. Calcul de la Vitesse d’écoulement et du Diamètre des vaisseaux : Ramification dans le Système cardiovasculaire
L’aorte est le principal vaisseau sanguin par lequel le sang quitte le cœur pour circuler dans le corps. (a) Calculer la vitesse moyenne du sang dans l’aorte si le débit est de 5,0 L / min. L’aorte a un rayon de 10 mm. (b) Le sang circule également dans des vaisseaux sanguins plus petits appelés capillaires. Lorsque le débit sanguin dans l’aorte est de 5,0 L / min, la vitesse du sang dans les capillaires est d’environ 0,33 mm / s. Étant donné que le diamètre moyen d’un capillaire est de 8,0 µm, calculez le nombre de capillaires dans le système circulatoire sanguin.
Stratégie
Nous pouvons utiliser Q =A\overline{v}\\ pour calculer la vitesse d’écoulement dans l’aorte, puis utiliser la forme générale de l’équation de continuité pour calculer le nombre de capillaires car toutes les autres variables sont connues.
Solution pour (a)
Le débit est donné par Q=A\overline{v}\\ ou \overline{v}=\frac{Q}{{\pi r}^{2}}\\ pour un récipient cylindrique. La substitution des valeurs connues (converties en unités de mètres et de secondes) donne
Solution pour (b)
En utilisant {n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1} = {n}_{2}{A}_{2}{\overline{v}}_{1}\\, en attribuant l’indice 1 à l’aorte et 2 aux capillaires, et en résolvant pour n2 (le nombre de capillaires) donne {n}_{2} = \frac {{n } _{1} {A} _ {1} {\overline{v}} _{1}} {{A}_{2} {\overline{v}}_{2}}\\. La conversion de toutes les quantités en unités de mètres et de secondes et la substitution dans l’équation ci-dessus donne
Discussion
Notez que la vitesse d’écoulement dans les capillaires est considérablement réduite par rapport à la vitesse dans l’aorte en raison de l’augmentation significative de la section transversale totale au niveau des capillaires. Cette faible vitesse doit laisser suffisamment de temps pour qu’un échange efficace se produise bien qu’il soit tout aussi important que le flux ne s’arrête pas pour éviter la possibilité de coagulation. Ce grand nombre de capillaires dans le corps semble-t-il raisonnable? Dans le muscle actif, on trouve environ 200 capillaires par mm3, soit environ 200 × 106 pour 1 kg de muscle. Pour 20 kg de muscle, cela équivaut à environ 4 × 109 capillaires.
Résumé de la section
- Le débit Q est défini comme étant le volume V passant au-delà d’un point dans le temps t, ou Q =\frac{V}{t}\\ où V est le volume et t le temps.
- L’unité de volume SI est m3.
- Une autre unité commune est le litre (L), qui est de 10-3 m3.
- Le débit et la vitesse sont liés par Q = A \overline{v}\\ où A est la section transversale de l’écoulement et \overline{v}\\ est sa vitesse moyenne.
- Pour les fluides incompressibles, le débit en divers points est constant. That is,
\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2}\\ n_{1}A_{1}\bar{v}_{1} && n_{2}A_{2}\bar{v}_{2}\end{cases}\\.
Conceptual Questions
1. What is the difference between flow rate and fluid velocity? How are they related?
2. Many figures in the text show streamlines. Expliquez pourquoi la vitesse du fluide est la plus élevée là où les lignes de courant sont les plus rapprochées. (Indice: Considérez la relation entre la vitesse du fluide et la section transversale à travers laquelle il s’écoule.)
3. Identifiez certaines substances incompressibles et d’autres qui ne le sont pas.
Problèmes &Exercices
1. Quel est le débit moyen en cm3 / s d’essence au moteur d’une voiture roulant à 100 km / h s’il est en moyenne de 10,0 km / L?
2. Le cœur d’un adulte au repos pompe le sang à raison de 5.00 L/min. (a) Convertissez cela en cm3/s. b) Quel est ce taux en m3/s?
3. Le sang est pompé du cœur à une vitesse de 5,0 L / min dans l’aorte (de rayon 1,0 cm). Déterminez la vitesse du sang à travers l’aorte.
4. Le sang circule dans une artère de rayon 2 mm à une vitesse de 40 cm / s. Déterminez le débit et le volume qui traverse l’artère dans une période de 30 s.
5. Les chutes Huka sur la rivière Waikato sont l’une des attractions touristiques naturelles les plus visitées de Nouvelle-Zélande (voir Figure 3). En moyenne, la rivière a un débit d’environ 300 000 L / s. Au niveau de la gorge, la rivière se rétrécit jusqu’à 20 m de large et une profondeur moyenne de 20 m. a) Quelle est la vitesse moyenne de la rivière dans la gorge? b) Quelle est la vitesse moyenne de l’eau dans la rivière en aval des chutes lorsqu’elle s’élargit à 60 m et que sa profondeur augmente à une moyenne de 40 m?
Figure 3. Les chutes Huka à Taupo, en Nouvelle-Zélande, démontrent le débit. (crédit: RaviGogna, Flickr)
6. Une artère principale d’une section transversale de 1,00 cm2 se ramifie en 18 artères plus petites, chacune d’une section transversale moyenne de 0,400 cm2. Par quel facteur la vitesse moyenne du sang est-elle réduite lorsqu’il passe dans ces branches?
7. (a) Lorsque le sang traverse le lit capillaire d’un organe, les capillaires se rejoignent pour former des veinules (petites veines). Si la vitesse du sang augmente d’un facteur 4,00 et que la section transversale totale des veinules est de 10,0 cm2, quelle est la section transversale totale des capillaires alimentant ces veinules? (b) Combien de capillaires sont impliqués si leur diamètre moyen est de 10,0 µm?
8. Le système de circulation humaine a environ 1 × 109 vaisseaux capillaires. Chaque cuve a un diamètre d’environ 8 µm. En supposant que le débit cardiaque est de 5 L / min, déterminez la vitesse moyenne du flux sanguin dans chaque vaisseau capillaire.
9. (a) Estimer le temps qu’il faudrait pour remplir une piscine privée d’une capacité de 80 000 L à l’aide d’un tuyau d’arrosage délivrant 60 L/min. b) Combien de temps faudrait-il pour se remplir si vous pouviez y détourner une rivière de taille moyenne, coulant à 5000 m3/s?
10. Le débit sanguin à travers un capillaire de 2,00 × 10-6 rayons est de 3,80 × 109. a) Quelle est la vitesse du flux sanguin? (Cette petite vitesse permet le temps de diffusion des matériaux vers et depuis le sang.) (b) En supposant que tout le sang dans le corps passe par les capillaires, combien d’entre eux doivent-ils être pour porter un débit total de 90,0 cm3 / s? (Le grand nombre obtenu est surestimé, mais il reste raisonnable.)
11. a) Quelle est la vitesse du fluide dans un tuyau d’incendie d’un diamètre de 9,00 cm transportant 80,0 L d’eau par seconde? b) Quel est le débit en mètres cubes par seconde? c) Vos réponses seraient-elles différentes si l’eau salée remplaçait l’eau douce dans le tuyau d’incendie?
12. Le conduit d’air principal d’un réchauffeur à gaz à air forcé mesure 0,300 m de diamètre. Quelle est la vitesse moyenne de l’air dans le conduit s’il porte un volume égal à celui de l’intérieur de la maison toutes les 15 min? Le volume intérieur de la maison équivaut à un solide rectangulaire de 13,0 m de large sur 20,0 m de long sur 2,75 m de haut.
13. L’eau se déplace à une vitesse de 2,00 m / s à travers un tuyau d’un diamètre interne de 1,60 cm. a) Quel est le débit en litres par seconde? (b) La vitesse du fluide dans la buse de ce tuyau est de 15,0 m / s. Quel est le diamètre intérieur de la buse?
14. Prouver que la vitesse d’un fluide incompressible à travers une constriction, comme dans un tube de Venturi, augmente d’un facteur égal au carré du facteur par lequel le diamètre diminue. (L’inverse s’applique pour l’écoulement d’une constriction dans une région de plus grand diamètre.)
15. L’eau sort directement d’un robinet de 1,80 cm de diamètre à une vitesse de 0,500 m / s. (En raison de la construction du robinet, il n’y a pas de variation de vitesse à travers le cours d’eau. a) Quel est le débit en cm3/s? b) Quel est le diamètre du ruisseau à 0,200 m sous le robinet? Négligez les effets dus à la tension superficielle.
16. Résultats déraisonnables Un ruisseau de montagne mesure 10,0 m de large et une profondeur moyenne de 2,00 m. Pendant le ruissellement printanier, le débit du cours d’eau atteint 100 000 m3/s. a) Quelle est la vitesse moyenne du cours d’eau dans ces conditions? b) Qu’est-ce qui est déraisonnable à propos de cette vitesse? c) Qu’est-ce qui est déraisonnable ou incohérent dans les locaux?
Glossaire
débit : en abrégé Q, c’est le volume V qui passe un point particulier pendant un temps t, ou Q = V/t litre : une unité de volume, égale à 10-3 m3
Solutions sélectionnées aux problèmes &Exercices
1. 2,78 cm3 /s
3. 27 cm /l
5. (a) 0,75 m/s (b) 0,13 m/s
7. (a) 40,0 cm2 (b) 5,09×107
9. a) 22 heures b) 0.016 s
11. a) 12,6 m/s b) 0,0800 m3/s c) Non, indépendamment de la densité.
13. (a) 0,402 L /s (b) 0,584 cm
15. (a) 128 cm3/s (b) 0,890 cm