Veuillez d’abord lire les limites (Une introduction)

L’infini est une idée très spéciale. Nous savons que nous ne pouvons pas l’atteindre, mais nous pouvons toujours essayer de déterminer la valeur des fonctions qui ont l’infini en elles.

Un Divisé par l’Infini

Commençons par un exemple intéressant.

Pourquoi ne le savons-nous pas?

La raison la plus simple est que l’infini n’est pas un nombre, c’est une idée.

Donc 1∞, c’est un peu comme dire 1beauty ou 1tall.

Peut-être pourrions-nous dire que 1∞ = 0,… mais c’est aussi un problème, car si nous divisons 1 en morceaux infinis et qu’ils finissent par 0 chacun, qu’est-il arrivé au 1?

En fait, 1∞ est connu pour être indéfini.

Mais On Peut S’En Approcher !

Donc, au lieu d’essayer de le résoudre pour l’infini (car nous ne pouvons pas obtenir de réponse raisonnable), essayons des valeurs de plus en plus grandes de x:

x	1x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

Maintenant, nous pouvons voir qu’à mesure que x grossit, 1x tend vers 0

Nous sommes maintenant confrontés à une situation intéressante:

• Nous ne pouvons pas dire ce qui se passe lorsque x atteint l’infini
• Mais nous pouvons voir que 1x est en allant vers 0

Nous voulons donner la réponse « 0 » mais nous ne pouvons pas, alors les mathématiciens disent exactement ce qui se passe en utilisant le mot spécial « limite »

La limite de 1x lorsque x s’approche de l’infini est 0

Et écrivez-la comme ceci:

En d’autres termes:

À mesure que x s’approche de l’infini, alors 1x s’approche de 0

Lorsque vous voyez « limite », pensez à « approcher »

C’est une façon mathématique de dire « nous ne parlons pas de quand x = ∞, mais nous savons que lorsque x grossit, la réponse se rapproche de plus en plus de 0 ».

Résumé

Ainsi, parfois l’infini ne peut pas être utilisé directement, mais nous pouvons utiliser une limite.

Ce qui se passe à ∞ n’est pas défini…		1∞
… mais nous savons que 1/x s’approche de 0 comme x s’approche de l’infini		limx→∞(1x) = 0		div>

Limites approchant l’infini

Quelle est la limite de cette fonction lorsque x s’approche de l’infini ?

y = 2x

Évidemment, lorsque « x » devient plus grand, « 2x » aussi:

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
…	…

Ainsi, lorsque « x » s’approche de l’infini, « 2x » s’approche également de l’infini. Nous écrivons ceci:

Mais ne vous laissez pas berner par le « = ». Nous ne pouvons pas réellement atteindre l’infini, mais dans le langage « limit », la limite est l’infini (ce qui signifie vraiment que la fonction est illimitée).

Infini et degré

Nous avons vu deux exemples, l’un est allé à 0, l’autre à l’infini.

En fait, de nombreuses limites infinies sont en fait assez faciles à déterminer, lorsque nous déterminons « dans quelle direction cela se passe », comme ceci:

Des fonctions comme 1 / x approchent 0 lorsque x s’approche de l’infini. Cela est également vrai pour 1/ x2 etc

Une fonction telle que x approchera l’infini, ainsi que 2x, ou x / 9 et ainsi de suite. De même, les fonctions avec x2 ou x3, etc., s’approcheront également de l’infini.

Mais attention, une fonction comme « −x » s’approchera de « −infinity », nous devons donc regarder les signes de x.

En fait, lorsque nous regardons le Degré de la fonction (l’exposant le plus élevé de la fonction), nous pouvons dire ce qui va se passer:

Lorsque le degré de la fonction est:

• supérieur à 0, la limite est l’infini (ou −infinity)
• inférieure à 0, la limite est 0

Mais si le degré est 0 ou inconnu, nous devons travailler un peu plus dur pour trouver une limite.

Fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle est celle qui est le rapport de deux polynômes:		f(x)= P(x) Q(x)
Par exemple, ici P(x) = x3+2x−1, et Q(x) = 6×2:		x3+2x−16×2

Suite à notre idée du degré de l’Équation, la première étape pour trouver la limite est de…

Comparez le Degré de P(x) au Degré de Q(x) :

… la limite est 0.

… divisez les coefficients des termes avec le plus grand exposant, comme ceci:

(notez que les plus grands exposants sont égaux, car le degré est égal)

… alors la limite est l’infini positif…

… ou peut-être l’infini négatif. Nous devons regarder les signes!

Nous pouvons calculer le signe (positif ou négatif) en regardant les signes des termes avec le plus grand exposant, tout comme la façon dont nous avons trouvé les coefficients ci−dessus :

x3 +2x-16×2		Par exemple, cela ira à l’infini positif, car les deux… x3 (le terme avec le plus grand exposant en haut) et 6×2 (le terme avec le plus grand exposant en bas) … sont positifs.
iv−-2×2 + x5x-3			Mais cela se dirigera vers l’infini négatif, car -2 / 5 est négatif.

Un exemple Plus difficile: Travailler Sur « e »

Cette formule se rapproche de la valeur de e (le nombre d’Euler) lorsque n augmente:

À l’infini:

Nous ne savons pas!

So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100 000	2.71827

Oui, il se dirige vers la valeur 2.71828… qui est e (Nombre d’Euler)

Donc encore une fois, nous avons une situation étrange:

• Nous ne savons pas quelle est la valeur lorsque n = infinity
• Mais nous pouvons voir qu’elle s’installe vers 2,71828…

Nous utilisons donc des limites pour écrire la réponse comme ceci:

C’est une façon mathématique de dire « nous ne parlons pas de quand n = ∞, mais nous savons que lorsque n grossit, la réponse se rapproche de plus en plus de la valeur de e ».

Évaluation des limites

Jusqu’à présent, j’ai adopté une approche douce des limites et montré des tableaux et des graphiques pour illustrer les points.

Mais pour « évaluer » (en d’autres termes calculer) la valeur d’une limite peut prendre un peu plus d’effort. En savoir plus sur L’évaluation des limites.