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Section 3-4 : La Définition d’une fonction
Nous devons maintenant passer au deuxième sujet de ce chapitre. Avant de le faire, nous avons cependant besoin d’une définition rapide.
Définition de la relation
Une relation est un ensemble de paires ordonnées.
Cela semble être une définition étrange mais nous en aurons besoin pour la définition d’une fonction (qui est le sujet principal de cette section). Cependant, avant de donner la définition d’une fonction, voyons si nous pouvons comprendre ce qu’est une relation.
Revenez à l’exemple 1 dans la section Graphique de ce chapitre. Dans cet exemple, nous avons construit un ensemble de paires ordonnées que nous avons utilisées pour esquisser le graphique de \(y = {\left({x-1}\right) ^2}-4\). Voici les paires ordonnées que nous avons utilisées.
\
Toutes les relations suivantes sont alors des relations car elles consistent en un ensemble de paires ordonnées.
\
Il y a bien sûr beaucoup plus de relations que nous pourrions former à partir de la liste des paires ordonnées ci-dessus, mais nous voulions simplement énumérer quelques relations possibles pour donner quelques exemples. Notez également que nous pourrions également obtenir d’autres paires ordonnées de l’équation et les ajouter à l’une des relations ci-dessus si nous le voulions.
Maintenant, à ce stade, vous vous demandez probablement pourquoi nous nous soucions des relations et c’est une bonne question. Certaines relations sont très spéciales et sont utilisées à presque tous les niveaux de mathématiques. La définition suivante nous indique exactement quelles relations sont ces relations spéciales.
Définition d’une fonction
Une fonction est une relation pour laquelle chaque valeur de l’ensemble des premières composantes des paires ordonnées est associée à exactement une valeur de l’ensemble des secondes composantes de la paire ordonnée.
D’accord, c’est une bouche pleine. Voyons si nous pouvons comprendre ce que cela signifie. Jetons un coup d’œil à l’exemple suivant qui, espérons-le, nous aidera à comprendre tout cela.
À partir de ces paires ordonnées, nous avons les ensembles suivants de premiers composants (c’est-à-dire le premier nombre de chaque paire ordonnée) et de deuxièmes composants (c’est-à-dire le deuxième nombre de chaque paire ordonnée).
\
Pour l’ensemble des deuxièmes composants, notez que le « -3 » s’est produit dans deux paires ordonnées mais nous ne l’avons répertorié qu’une seule fois.
Pour voir pourquoi cette relation est une fonction, choisissez simplement n’importe quelle valeur de l’ensemble des premiers composants. Maintenant, revenez à la relation et trouvez chaque paire ordonnée dans laquelle ce nombre est le premier composant et répertoriez tous les deuxièmes composants de ces paires ordonnées. La liste des deuxièmes composants comprendra exactement une valeur.
Par exemple, choisissons 2 dans l’ensemble des premiers composants. De la relation, nous voyons qu’il y a exactement une paire ordonnée avec 2 comme premier composant, \(\left({2,-3}\right)\). Par conséquent, la liste des deuxièmes composants (i.e. la liste des valeurs de l’ensemble des deuxièmes composantes) associées à 2 est exactement un nombre, -3.
Notez que nous ne nous soucions pas que -3 soit la deuxième composante d’un second pair ordonné dans la relation. C’est parfaitement acceptable. Nous ne voulons tout simplement pas qu’il y ait plus d’une paire commandée avec 2 comme premier composant.
Nous avons examiné une seule valeur de l’ensemble des premiers composants pour notre exemple rapide ici, mais le résultat sera le même pour tous les autres choix. Quel que soit le choix des premiers composants, il y aura exactement un deuxième composant qui lui sera associé.
Par conséquent, cette relation est une fonction.
Afin de vraiment avoir une idée de ce que la définition d’une fonction nous dit, nous devrions probablement également consulter un exemple de relation qui n’est pas une fonction.
Ne vous inquiétez pas de l’origine de cette relation. C’est juste celui que nous avons inventé pour cet exemple.
Voici la liste des premier et deuxième composants
\
De l’ensemble des premiers composants choisissons 6. Maintenant, si nous montons à la relation, nous voyons qu’il y a deux paires ordonnées avec 6 comme premier composant: \(\left({6,10}\right)\) et \(\left({6,-4}\right)\). La liste des seconds composants associés à 6 est alors : 10, -4.
La liste des seconds composants associés à 6 a deux valeurs et cette relation n’est donc pas une fonction.
Notez que le fait que si nous avions choisi -7 ou 0 dans l’ensemble des premiers composants, il n’y a qu’un seul nombre dans la liste des seconds composants associés à chacun. Ça n’a pas d’importance. Le fait que nous ayons trouvé même une seule valeur dans l’ensemble des premières composantes avec plus d’une seconde composante qui lui est associée suffit à dire que cette relation n’est pas une fonction.
En guise de commentaire final sur cet exemple, notons que si nous supprimions la première et/ ou la quatrième paire ordonnée de la relation, nous aurions une fonction!
Donc, j’espère que vous avez au moins une idée de ce que la définition d’une fonction nous dit.
Maintenant que nous vous avons forcé à passer par la définition réelle d’une fonction, donnons une autre définition « fonctionnelle” d’une fonction qui sera beaucoup plus utile à ce que nous faisons ici.
La définition réelle fonctionne sur une relation. Cependant, comme nous l’avons vu avec les quatre relations que nous avons données avant la définition d’une fonction et la relation que nous avons utilisée dans l’exemple 1, nous obtenons souvent les relations d’une équation.
Il est important de noter que toutes les relations ne proviennent pas d’équations ! La relation du deuxième exemple par exemple n’était qu’un ensemble de paires ordonnées que nous avons écrites pour l’exemple et ne provenait d’aucune équation. Cela peut également être vrai avec des relations qui sont des fonctions. Ils ne doivent pas nécessairement provenir d’équations.
Cependant, cela dit, les fonctions que nous allons utiliser dans ce cours proviennent toutes d’équations. Par conséquent, écrivons une définition d’une fonction qui reconnaît ce fait.
Avant de donner la définition « fonctionnelle” d’une fonction, nous devons souligner que ce n’est PAS la définition réelle d’une fonction, qui est donnée ci-dessus. Il s’agit simplement d’une bonne « définition de travail” d’une fonction qui lie les choses aux types de fonctions avec lesquelles nous travaillerons dans ce cours.
« Définition de travail » de la fonction
Une fonction est une équation pour laquelle tout \(x\) qui peut être branché dans l’équation donnera exactement un \(y\) de l’équation.
Voilà. C’est la définition des fonctions que nous allons utiliser et qui sera probablement plus facile à déchiffrer.
Avant d’examiner cela, notez un peu plus que nous avons utilisé l’expression « \(x\) qui peut être branché » dans la définition. Cela tend à impliquer que tous les \(x\) ne peuvent pas être branchés dans une équation et c’est en fait correct. Nous reviendrons et discuterons de cela plus en détail vers la fin de cette section, mais à ce stade, rappelez-vous simplement que nous ne pouvons pas diviser par zéro et si nous voulons des nombres réels hors de l’équation, nous ne pouvons pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif. Ainsi, avec ces deux exemples, il est clair que nous ne pourrons pas toujours brancher chaque \(x\) dans une équation quelconque.
De plus, lorsqu’il s’agit de fonctions, nous allons toujours supposer que \(x\) et \(y\) seront des nombres réels. En d’autres termes, nous allons oublier que nous savons quelque chose sur les nombres complexes pendant un peu pendant que nous traitons de cette section.
D’accord, avec cela, revenons à la définition d’une fonction et regardons quelques exemples d’équations qui sont des fonctions et des équations qui ne sont pas des fonctions.
- \(y= 5x + 1\)
- \(y= {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x +1\)
- \({x^2} +{y^2}= 4\)
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La définition « fonctionnelle” de la fonction est que si nous prenons toutes les valeurs possibles de \ (x\) et branchez-les dans l’équation et résolvez pour \(y\) nous obtiendrons exactement une valeur pour chaque valeur de \(x\). À ce stade du jeu, il peut être assez difficile de montrer qu’une équation est une fonction, nous allons donc principalement en parler. D’un autre côté, il est souvent assez facile de montrer qu’une équation n’est pas une fonction.
a \(y = 5x + 1\) Show Solution
Donc, nous devons montrer que peu importe ce que \(x\) nous connectons à l’équation et résolvons pour \(y\), nous n’obtiendrons qu’une seule valeur de \(y\). Notez également que la valeur de \(y\) sera probablement différente pour chaque valeur de \(x\), bien qu’elle ne doive pas nécessairement l’être.
Commençons par brancher certaines valeurs de \(x\) et voyons ce qui se passe.
\
Ainsi, pour chacune de ces valeurs de \(x\), nous avons obtenu une seule valeur de \(y\) de l’équation. Maintenant, cela ne suffit pas pour prétendre que c’est une fonction. Afin de prouver officiellement qu’il s’agit d’une fonction, nous devons montrer que cela fonctionnera quelle que soit la valeur de \(x\) que nous branchons dans l’équation.
Bien sûr, nous ne pouvons pas brancher toutes les valeurs possibles de \(x\) dans l’équation. Ce n’est tout simplement pas physiquement possible. Cependant, revenons en arrière et regardons ceux que nous avons branchés. Pour chaque \(x\), lors de la connexion, nous avons d’abord multiplié le \(x\) par 5, puis ajouté 1 dessus. Maintenant, si nous multiplions un nombre par 5, nous obtiendrons une seule valeur de la multiplication. De même, nous n’obtiendrons qu’une seule valeur si nous ajoutons 1 à un nombre. Par conséquent, il semble plausible que, sur la base des opérations impliquées dans le branchement de \(x\) dans l’équation, nous n’obtiendrons qu’une seule valeur de \(y\) de l’équation.
Donc, cette équation est une fonction.
b \(y = {x^2} + 1\) Afficher la solution
Encore une fois, branchons quelques valeurs de \(x\) et résolvons pour \(y\) pour voir ce qui se passe.
\
Maintenant, réfléchissons un peu à ce que nous faisions avec les évaluations. Tout d’abord, nous avons mis au carré la valeur de \(x\) que nous avons branchée. Lorsque nous plaçons un nombre au carré, il n’y aura qu’une seule valeur possible. Nous ajoutons ensuite 1 à cela, mais encore une fois, cela donnera une seule valeur.
Donc, il semble que cette équation soit aussi une fonction.
Notez qu’il est acceptable d’obtenir la même valeur \(y\) pour différents \(x\). Par exemple,
\
Nous ne pouvons tout simplement pas extraire plus d’un \(y\) de l’équation après avoir branché le \(x\).
c \({y^2}= x + 1\) Afficher la Solution
Comme nous l’avons fait avec les deux équations précédentes, connectons quelques valeurs de \(x\), résolvons pour \(y\) et voyons ce que nous obtenons.
\
Maintenant, rappelez-vous que nous résolvons pour \(y\) et cela signifie que dans le premier et le dernier cas ci-dessus, nous obtiendrons en fait deux valeurs \(y\) différentes du \(x\) et donc cette équation n’est PAS une fonction.
Notez que nous pouvons avoir des valeurs de \(x\) qui donneront un seul \(y\) comme nous l’avons vu ci-dessus, mais cela n’a pas d’importance. Si même une valeur de \(x\) donne plus d’une valeur de \(y\) lors de la résolution de l’équation ne sera pas une fonction.
Ce que cela signifie vraiment, c’est que nous n’avions pas besoin d’aller plus loin que la première évaluation, car cela donnait plusieurs valeurs de \(y\).
d \({x^2} +{y^2} = 4\)Afficher la solution
Dans ce cas, nous utiliserons la leçon apprise dans la partie précédente et verrons si nous pouvons trouver une valeur de \(x\) qui donnera plus d’une valeur de \(y\) lors de la résolution. Parce que nous avons un y2 dans le problème, cela ne devrait pas être trop difficile à faire car la résolution finira par signifier l’utilisation de la propriété racine carrée qui donnera plus d’une valeur de \(y\).
\
Cette équation n’est donc pas une fonction. Rappelons que dans la section précédente, il s’agit de l’équation d’un cercle. Les cercles ne sont jamais des fonctions.
J’espère que ces exemples vous ont donné une meilleure idée de ce qu’est réellement une fonction.
Nous devons maintenant passer à quelque chose appelé notation de fonction. La notation des fonctions sera largement utilisée dans la plupart des chapitres restants de ce cours et il est donc important de la comprendre.
Commençons par l’équation quadratique suivante.
\
Nous pouvons utiliser un processus similaire à ce que nous avons utilisé dans l’ensemble d’exemples précédent pour nous convaincre qu’il s’agit d’une fonction. Comme il s’agit d’une fonction, nous la désignerons comme suit,
\
Donc, nous avons remplacé le \(y\) par la notation \(f\left(x\right)\). Ceci est lu comme « f de \(x\) »” Notez qu’il n’y a rien de spécial dans le \(f\) que nous avons utilisé ici. Nous aurions pu facilement utiliser l’un des éléments suivants,
\
La lettre que nous utilisons n’a pas d’importance. Ce qui est important, c’est la partie « \(\left(x\right)\)”. La lettre entre parenthèses doit correspondre à la variable utilisée sur le côté droit du signe égal.
Il est très important de noter que \(f\left(x\right)\) n’est vraiment rien de plus qu’une façon vraiment sophistiquée d’écrire \(y\). Si vous gardez cela à l’esprit, vous constaterez peut-être que la gestion de la notation des fonctions devient un peu plus facile.
De plus, ce n’est PAS une multiplication de \(f\) par \(x\)! C’est l’une des erreurs les plus courantes que les gens commettent lorsqu’ils traitent pour la première fois des fonctions. Ceci est juste une notation utilisée pour désigner des fonctions.
Ensuite, nous devons parler de l’évaluation des fonctions. Évaluer une fonction n’est vraiment rien de plus que de demander quelle est sa valeur pour des valeurs spécifiques de \(x\). Une autre façon de voir les choses est que nous demandons quelle est la valeur \(y\) pour un \(x\) donné.
L’évaluation est vraiment assez simple. Prenons la fonction que nous regardions ci-dessus
\
et demandons quelle est sa valeur pour \(x = 4\). En termes de notation de fonction, nous allons « demander » cela en utilisant la notation \(f\left(4\right)\). Ainsi, lorsqu’il y a autre chose que la variable à l’intérieur de la parenthèse, nous demandons vraiment quelle est la valeur de la fonction pour cette quantité particulière.
Maintenant, lorsque nous disons la valeur de la fonction, nous demandons vraiment quelle est la valeur de l’équation pour cette valeur particulière de \(x\). Voici \(f \left(4\right)\).
\
Notez que l’évaluation d’une fonction se fait exactement de la même manière que nous évaluons les équations. Tout ce que nous faisons est de brancher pour \(x\) tout ce qui se trouve à l’intérieur de la parenthèse à gauche. Voici une autre évaluation pour cette fonction.
\
Donc, encore une fois, tout ce qui se trouve à l’intérieur de la parenthèse à gauche est branché pour \(x\) dans l’équation à droite. Jetons un coup d’œil à d’autres exemples.
- \(f\left(3\right)\) et \(g\left(3\right)\)
- \(f\left({-10}\right)\) et \(g\left({-10}\right)\)
- \(f\left(0\right)\)
- \(f\left(t\right)\)
- \(f\left(t\right)\)
- \(f\left({t+1 }\right)\) et \(f\left({x+1}\right)\)
- \(f\left({{x^3}}\right)\)
- \(g\left({{x^2}-5}\right)\)
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D’accord, nous avons deux évaluations de fonctions à faire ici et nous avons également deux fonctions, nous allons donc devoir décider quelle fonction à utiliser pour les évaluations. La clé ici est de remarquer la lettre qui se trouve devant la parenthèse. Pour \(f\left(3\right)\) nous utiliserons la fonction \(f\left(x\right)\) et pour \(g\left(3\right)\) nous utiliserons \(g\left(x\right)\). En d’autres termes, nous devons juste nous assurer que les variables correspondent.
Voici les évaluations pour cette partie.
\
b \(f \left({-10}\right)\) et \(g\left({-10} \right)\) Montrent la solution
Celle-ci est à peu près la même que la partie précédente à une exception que nous aborderons lorsque nous atteindrons ce point. Voici les évaluations.
\
Assurez-vous de traiter correctement les signes négatifs ici. Maintenant le second.
\
Nous avons maintenant atteint la différence. Rappelons que lorsque nous avons commencé à parler de la définition des fonctions, nous avons déclaré que nous n’allions traiter que des nombres réels. En d’autres termes, nous ne connectons que des nombres réels et nous ne voulons que des nombres réels comme réponses. Donc, puisque nous obtiendrions un nombre complexe de cela, nous ne pouvons pas brancher -10 dans cette fonction.
c\(f\left(0\right)\) Afficher la solution
Pas grand-chose à celle-ci.
\
Encore une fois, n’oubliez pas que ce n’est pas de la multiplication! Pour une raison quelconque, les étudiants aiment considérer celui-ci comme une multiplication et obtenir une réponse de zéro. Fais attention.
d\(f\left(t\right)\)Show Solution
Le reste de ces évaluations va maintenant être un peu différent. Comme celui-ci le montre, nous n’avons pas besoin d’avoir simplement des chiffres entre parenthèses. Cependant, l’évaluation fonctionne exactement de la même manière. Nous nous branchons sur les \(x\) du côté droit du signe égal tout ce qui est entre parenthèses. Dans ce cas, cela signifie que nous branchons \(t\) pour tous les \(x\).
Voici cette évaluation.
\
Notez que dans ce cas, c’est à peu près la même chose que notre fonction d’origine, sauf que cette fois, nous utilisons \(t\) comme variable.
e\(f\left({t + 1}\right)\) et \(f\left({x + 1}\right)\) Montrent la solution
Maintenant, soyons un peu plus compliqués, ou du moins ils semblent être plus compliqués. Les choses ne sont pas aussi mauvaises qu’elles peuvent paraître cependant. Nous évaluerons d’abord \(f \ left({t + 1}\right)\). Celui-ci fonctionne exactement de la même manière que la partie précédente. Tous les \(x\) de gauche seront remplacés par \(t + 1\). Nous aurons aussi une certaine simplification à faire après la substitution.
\
Attention aux parenthèses dans ce genre d’évaluations. Il est facile de gâcher avec eux.
Maintenant, regardons \(f\left({x +1}\right)\). À l’exception du \(x\), cela est identique à \(f \ left({t + 1} \ right) \) et cela fonctionne exactement de la même manière.
\
Ne vous enthousiasmez pas du fait que nous avons réutilisé les \(x\) dans l’évaluation ici. Dans de nombreux endroits où nous le ferons dans les sections suivantes, il y aura des \(x\) ici et vous devrez donc vous habituer à voir cela.
f \(f\left({{x^3}}\right)\) Afficher la solution
Encore une fois, ne vous inquiétez pas des \(x\) entre parenthèses ici. Évaluez-le comme s’il s’agissait d’un nombre.
\
g\(g\left({{x^2}-5}\right)\) Afficher la Solution
Une évaluation de plus et cette fois, nous utiliserons l’autre fonction.
\
L’évaluation des fonctions est quelque chose que nous ferons beaucoup dans les sections et chapitres ultérieurs, alors assurez-vous que vous pouvez le faire. Vous trouverez plusieurs sections ultérieures très difficiles à comprendre et / ou à faire le travail si vous n’avez pas une bonne compréhension du fonctionnement de l’évaluation des fonctions.
Alors que nous sommes sur le sujet de l’évaluation des fonctions, nous devrions maintenant parler de fonctions par morceaux. En fait, nous avons déjà vu un exemple de fonction par morceaux même si nous ne l’appelions pas une fonction (ou une fonction par morceaux) à l’époque. Rappelez-vous la définition mathématique de la valeur absolue.
\
Ceci est une fonction et si nous utilisons la notation de fonction, nous pouvons l’écrire comme suit,
\
Ceci est également un exemple de fonction par morceaux. Une fonction par morceaux n’est rien de plus qu’une fonction divisée en morceaux et la pièce que vous utilisez dépend de la valeur de \(x\). Ainsi, dans l’exemple de valeur absolue, nous utiliserons la pièce supérieure si \(x\) est positive ou nulle et nous utiliserons la pièce inférieure si \(x\) est négative.
Jetons un coup d’œil à l’évaluation d’une fonction par morceaux plus compliquée.
évaluez chacun des éléments suivants.
- \(g\left({-6}\right)\)
- \(g\left({-4}\right)\)
- \(g\left(1\right)\)
- \(g\left({15}\right)\)
- \(g\left({21}\right)\)
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Avant de commencer les évaluations ici, remarquons que nous utilisons des lettres différentes pour la fonction et la variable que celles que nous avons utilisées jusqu’à présent. Cela ne changera pas le fonctionnement de l’évaluation. Ne vous laissez pas enfermer à voir \(f \) pour la fonction et \(x\) pour la variable que vous ne pouvez pas faire de problème qui n’a pas ces lettres.
Maintenant, pour faire chacune de ces évaluations, la première chose que nous devons faire est de déterminer quelle inégalité le nombre satisfait, et il ne satisfera qu’une seule inégalité. Lorsque nous déterminons quelle inégalité le nombre satisfait, nous utilisons l’équation associée à cette inégalité.
Alors, faisons quelques évaluations.
a\(g\left({-6}\right)\) Show Solution
Dans ce cas -6 satisfait l’inégalité supérieure et nous utiliserons donc l’équation supérieure pour cette évaluation.
\
b \(g \left({-4} \right)\)Show Solution
Maintenant, nous devrons être un peu prudents avec celui-ci puisque -4 apparaît dans deux des inégalités. Cependant, il ne satisfait que l’inégalité supérieure et nous utiliserons donc à nouveau la fonction supérieure pour l’évaluation.
\
c \(g\left(1\right)\) Show Solution
Dans ce cas, le nombre, 1, satisfait l’inégalité moyenne et nous utiliserons donc l’équation moyenne pour l’évaluation. Cette évaluation cause souvent des problèmes aux étudiants malgré le fait que c’est en fait l’une des évaluations les plus faciles que nous ayons jamais faites. Nous savons que nous évaluons les fonctions / équations en branchant le nombre de la variable. Dans ce cas, il n’y a pas de variables. Ce n’est pas un problème. Comme il n’y a pas de variables, cela signifie simplement que nous ne branchons rien et nous obtenons ce qui suit,
\
d \(g \ left({15} \right)\) Show Solution
Encore une fois, comme avec la deuxième partie, nous devons être un peu prudents avec celle-ci. Dans ce cas, le nombre satisfait l’inégalité moyenne puisque c’est celle avec le signe égal en elle. Ensuite, comme la partie précédente que nous venons d’obtenir,
\
Ne vous enthousiasmez pas du fait que les deux évaluations précédentes avaient la même valeur. Cela se produira à l’occasion.
e\(g\left({21}\right)\)Show Solution
Pour l’évaluation finale dans cet exemple, le nombre satisfait l’inégalité inférieure et nous utiliserons donc l’équation inférieure pour l’évaluation.
\
Les fonctions par morceaux ne surviennent pas si souvent dans une classe d’algèbre, mais elles apparaissent à plusieurs endroits dans les classes ultérieures et il est donc important que vous les compreniez si vous allez passer à plus de classes de mathématiques.
En tant que sujet final, nous devons revenir sur le fait que nous ne pouvons pas toujours brancher chaque \(x\) dans chaque fonction. Nous en avons brièvement parlé lorsque nous avons donné la définition de la fonction et nous en avons vu un exemple lorsque nous évaluions des fonctions. Nous devons maintenant examiner cela un peu plus en détail.
Tout d’abord, nous devons obtenir quelques définitions.
Domaine et plage
Le domaine d’une équation est l’ensemble de tous les \(x\) que nous pouvons brancher dans l’équation et récupérer un nombre réel pour \(y\). La plage d’une équation est l’ensemble de tous les \(y\) que nous pouvons jamais sortir de l’équation.
Notez que nous voulions utiliser l’équation dans les définitions ci-dessus au lieu des fonctions. Ce sont vraiment des définitions d’équations. Cependant, puisque les fonctions sont aussi des équations, nous pouvons également utiliser les définitions des fonctions.
Déterminer la plage d’une équation / fonction peut être assez difficile à faire pour de nombreuses fonctions et nous n’allons donc pas vraiment entrer dans cela. Nous sommes beaucoup plus intéressés ici à déterminer les domaines de fonctions. D’après la définition, le domaine est l’ensemble de tous les \(x\) que nous pouvons brancher sur une fonction et récupérer un nombre réel. À ce stade, cela signifie que nous devons éviter la division par zéro et prendre des racines carrées de nombres négatifs.
Faisons quelques exemples rapides de recherche de domaines.
- \(\displaystyle g\left(x\right) = \frac{{x+3}} {{{x^2}+3x-10}}\)
- \(f\left(x\right) =\sqrt{5-3x}\)
- \(\displaystyle h\left(x\right) = \frac {{\sqrt{7x+8}}} {{{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle R\left(x\right) = \frac {{\sqrt{10x-5}}} {{{x^2} – 16}}\)
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Les domaines de ces fonctions sont toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles nous n’avons pas de division par zéro ou la racine carrée d’un nombre négatif. Si nous nous souvenons de ces deux idées, trouver les domaines sera assez facile.
a \(\displaystyle g \left(x\right) = \frac {{x + 3}} {{{x^2} +3x-10}}\)Afficher la solution
Donc, dans ce cas, il n’y a pas de racines carrées, nous n’avons donc pas à nous soucier de la racine carrée d’un nombre négatif. Il est cependant possible que nous ayons une division par erreur zéro. Pour déterminer si nous le ferons, nous devrons définir le dénominateur égal à zéro et résoudre.
\
Donc, nous obtiendrons une division par zéro si nous branchons \(x =-5\) ou \(x = 2\). Cela signifie que nous devrons éviter ces deux chiffres. Cependant, toutes les autres valeurs de \(x\) fonctionneront car elles ne donnent pas de division par zéro. Le domaine est alors,
\
b \(f \left(x\right) = \sqrt{5-3x}\)Show Solution
Dans ce cas, nous n’aurons pas de problèmes de division par zéro car nous n’avons pas de fractions. Nous avons une racine carrée dans le problème et nous devrons donc nous soucier de prendre la racine carrée d’un nombre négatif.
Celui-ci va fonctionner un peu différemment de la partie précédente. Dans cette partie, nous avons déterminé la ou les valeurs de \(x\) à éviter. Dans ce cas, il sera tout aussi facile d’obtenir directement le domaine. Pour éviter les racines carrées des nombres négatifs, il suffit d’exiger que
\
Il s’agit d’une inégalité linéaire assez simple que nous devrions pouvoir résoudre à ce stade.
\
Le domaine de cette fonction est alors,
\
c \(\displaystyle h\left(x\right) = \frac {{\sqrt{7x + 8}}} {{{x^2} + 4}}\)Show Solution
Dans ce cas, nous avons une fraction, mais notez que le dénominateur ne sera jamais nul pour aucun nombre réel puisque x2 est garanti positif ou nul et l’ajout de 4 à cela signifiera que le dénominateur est toujours au moins 4. En d’autres termes, le dénominateur ne sera jamais nul. Donc, tout ce que nous devons faire est de nous soucier de la racine carrée du numérateur.
Pour ce faire, nous aurons besoin,
\
Maintenant, nous pouvons réellement brancher n’importe quelle valeur de \(x\) dans le dénominateur, cependant, puisque nous avons la racine carrée dans le numérateur, nous devrons nous assurer que tous les \(x\) satisfont l’inégalité ci-dessus pour éviter les problèmes. Par conséquent, le domaine de cette fonction est
\
d \(\displaystyle R\left(x\right) = \frac {{\sqrt{10x-5}}} {{{x^2}-16}}\)Show Solution
Dans cette dernière partie, nous avons à la fois une racine carrée et une division par zéro à craindre. Prenons d’abord soin de la racine carrée car cela mettra probablement la plus grande restriction sur les valeurs de \(x\). Donc, pour garder la racine carrée heureuse (c’est-à-dire pas de racine carrée de nombres négatifs), nous devrons exiger cela,
\
Donc, au moins, nous devrons exiger que \(x\ge\frac{1}{2}\) afin d’éviter les problèmes avec la racine carrée.
Maintenant, voyons si nous avons des problèmes de division par zéro. Encore une fois, pour ce faire, il suffit de définir le dénominateur égal à zéro et de résoudre.
\
Maintenant, notez que \(x=-4\) ne satisfait pas l’inégalité dont nous avons besoin pour la racine carrée et que la valeur de \(x\) a déjà été exclue par la racine carrée. D’autre part, \(x = 4\) satisfait l’inégalité. Cela signifie qu’il est correct de brancher \(x = 4 \) dans la racine carrée, cependant, car cela donnerait une division par zéro, nous devrons l’éviter.
Le domaine de cette fonction est alors,
\