Une séquence célèbre et importante est la séquence de Fibonacci, nommée d’après le mathématicien italien connu sous le nom de Leonardo Pisano, dont le surnom était Fibonacci, et qui a vécu de 1170 à 1230. Cette séquence est :
\
Cette séquence est définie récursivement. Cela signifie que chaque terme est défini par les termes précédents.
et ainsi de suite.
La séquence de Fibonacci est définie par 
En d’autres termes, pour obtenir le terme suivant dans la séquence, ajoutez les deux termes précédents.
\
La notation que nous utiliserons pour représenter la séquence de Fibonacci est la suivante:
\
Exemple \(\PageIndex{1}\): Recherche récursive des nombres de Fibonacci
Trouvez les 13e, 14e et 15e nombres de Fibonacci en utilisant la définition récursive ci-dessus pour la séquence de Fibonacci.
Tout d’abord, notez qu’il y a déjà 12 nombres de Fibonacci énumérés ci-dessus, donc pour trouver les trois nombres de Fibonacci suivants, nous ajoutons simplement les deux termes précédents pour obtenir le terme suivant comme l’indique la définition.
Par conséquent, les 13e, 14e et 15e nombres de Fibonacci sont respectivement 233, 377 et 610.
Le calcul des termes de la séquence de Fibonacci peut être fastidieux lors de l’utilisation de la formule récursive, en particulier lors de la recherche de termes avec un grand n. Heureusement, un mathématicien nommé Leonhard Euler a découvert une formule pour calculer n’importe quel nombre de Fibonacci. Cette formule a été perdue pendant environ 100 ans et a été redécouverte par un autre mathématicien nommé Jacques Binet. La formule originale, connue sous le nom de formule de Binet, est ci-dessous.
La formule de Binet : Le nième nombre de Fibonacci est donné par la formule suivante :
\}{\sqrt{5}}\]
La formule de Binet est un exemple d’une séquence explicitement définie. Cela signifie que les termes de la séquence ne dépendent pas des termes précédents.
Une version un peu plus conviviale et simplifiée de la formule de Binet est parfois utilisée à la place de celle ci-dessus.
La Formule simplifiée de Binet : Le nième nombre de Fibonacci est donné par la formule suivante :
Remarque : Le symbole 
Exemple \(\PageIndex{2}\): Trouver 
Trouver la valeur de
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. Le nombre de branches sur certains arbres ou le nombre de pétales de certaines marguerites sont souvent des nombres de Fibonacci
Figure\(\PageIndex{4}\): Nombres de Fibonacci et Marguerites
a. Marguerite à 13 pétales b. Marguerite à 21 pétales
a. 
(Marguerites, n.d.)
Les nombres de Fibonacci apparaissent également dans les modèles de croissance en spirale tels que le nombre de spirales sur un cactus ou dans les lits de graines de tournesols.
Figure\(\PageIndex{5}\): Nombres de Fibonacci et Croissance en spirale
a. Cactus avec 13 spirales dans le sens des aiguilles d’une montre b. Tournesol avec 34 spirales dans le sens des aiguilles d’une montre et 55 spirales dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
a. 
(Cactus, n.d.) (Tournesol, n.d.)
Un autre fait intéressant se pose lorsque l’on regarde les rapports de Numéros de Fibonacci.
Il semble que ces rapports approchent un certain nombre. Le nombre auquel ces rapports se rapprochent est un nombre spécial appelé Nombre d’or qui est désigné par 
Le Nombre d’or:
\
Le Nombre d’or a l’approximation décimale de \(\phi = 1.6180339887\).
Le nombre d’or est un nombre spécial pour diverses raisons. On l’appelle aussi la proportion divine et elle apparaît dans l’art et l’architecture. Certains prétendent qu’il s’agit du rapport le plus agréable à l’œil. Pour trouver ce rapport, les Grecs coupent une longueur en deux parties et laissent la plus petite pièce égale à une unité. La coupe la plus agréable est lorsque le rapport de la longueur totale 
Le nombre d’or est une solution à l’équation quadratique 
Cela a fonctionné!
Une autre relation intéressante entre le nombre d’or et la séquence de Fibonacci se produit lors de la prise de puissances de 
Et ainsi de suite.
Notez que les coefficients de 
Règle de puissance d’or: \(\phi^{n} =f_{n}\phi +f_{n-1}\)
où \(f_{n}\) est le nième nombre de Fibonacci et \(\phi\) est le nombre d’or.
Exemple \(\PageIndex{5}\): Puissances du Nombre d’or
Trouvez ce qui suit en utilisant la règle de puissance d’or: a. 
