- Lernziele
- Beispiel 1. Berechnung des Volumens aus der Durchflussrate: Das Herz pumpt viel Blut in einem Leben
- Strategie
- Lösung
- Diskussion
- Beispiel 2. Berechnung der Flüssigkeitsgeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit erhöht sich, wenn sich ein Rohr verengt
- Strategie
- Lösung für (a)
- Lösung für (b)
- Diskussion
- Beispiel 3. Berechnung der Strömungsgeschwindigkeit und des Gefäßdurchmessers: Verzweigung im Herz-Kreislauf-System
- Strategie
- Lösung für (a)
- Lösung für (b)
- Diskussion
- Abschnittsübersicht
- Conceptual Questions
- Probleme & Übungen
- Glossar
- Ausgewählte Problemlösungen & Übungen
Lernziele
Am Ende dieses Abschnitts können Sie:
- Durchflussrate berechnen.
- Definiert Volumeneinheiten.
- Beschreiben inkompressible Fluide.
- Erklären Sie die Konsequenzen der Kontinuitätsgleichung.
Die Durchflussrate Q ist definiert als das Volumen der Flüssigkeit, die während eines Zeitraums von einem Ort durch einen Bereich fließt, wie in Abbildung 1 dargestellt. In Symbolen kann dies geschrieben werden als
wobei V das Volumen und t die verstrichene Zeit ist. Die SI-Einheit für die Durchflussrate ist m3 / s, aber eine Reihe anderer Einheiten für Q werden häufig verwendet. Zum Beispiel pumpt das Herz eines ruhenden Erwachsenen Blut mit einer Geschwindigkeit von 5,00 Litern pro Minute (L / min). Beachten Sie, dass ein Liter (L) 1/1000 eines Kubikmeters oder 1000 Kubikzentimeter (10-3 m3 oder 103 cm3) ist. In diesem Text werden wir die metrischen Einheiten verwenden, die für eine bestimmte Situation am bequemsten sind.
Abbildung 1. Die Durchflussrate ist das Flüssigkeitsvolumen pro Zeiteinheit, das an einem Punkt durch den Bereich A vorbeifließt. Hier fließt der schattierte Zylinder des Fluids in einem gleichförmigen Rohr in der Zeit t am Punkt P vorbei. Das Volumen des Zylinders ist Ad und die durchschnittliche Geschwindigkeit ist \overline{v} = d / t \\, so dass die Durchflussrate Q =\text{Ad} / t= A\overline{v} \\ ist .
Beispiel 1. Berechnung des Volumens aus der Durchflussrate: Das Herz pumpt viel Blut in einem Leben
Wie viele Kubikmeter Blut pumpt das Herz in einem 75-jährigen Leben, vorausgesetzt, die durchschnittliche Durchflussrate beträgt 5,00 l / min?
Strategie
Zeit und Durchflussmenge Q sind gegeben, so dass aus der Definition der Durchflussmenge das Volumen V berechnet werden kann.
Lösung
Das Lösen von Q = V/t für Volumen ergibt
V = Qt.
Das Ersetzen bekannter Werte ergibt
Diskussion
Diese Menge beträgt etwa 200.000 Tonnen Blut. Zum Vergleich: Dieser Wert entspricht etwa dem 200-fachen des Wasservolumens in einem 6-spurigen 50-m-Sportbecken.
Strömungsgeschwindigkeit und Geschwindigkeit sind verwandte, aber sehr unterschiedliche physikalische Größen. Um die Unterscheidung klar zu machen, denken Sie an die Durchflussrate eines Flusses. Je größer die Geschwindigkeit des Wassers ist, desto größer ist die Fließgeschwindigkeit des Flusses. Die Flussrate hängt aber auch von der Größe des Flusses ab. Ein schneller Gebirgsbach führt weit weniger Wasser als beispielsweise der Amazonas in Brasilien. Die genaue Beziehung zwischen Durchflussrate Q und Geschwindigkeit \bar{v}\\ ist
wobei A die Querschnittsfläche und \bar{v}\\ die Durchschnittsgeschwindigkeit ist. Diese Gleichung scheint logisch genug. Die Beziehung sagt uns, dass die Durchflussrate direkt proportional sowohl zur Größe der Durchschnittsgeschwindigkeit (im Folgenden als Geschwindigkeit bezeichnet) als auch zur Größe eines Flusses, einer Leitung oder einer anderen Leitung ist. Je größer die Leitung ist, desto größer ist ihre Querschnittsfläche. Abbildung 1 zeigt, wie diese Beziehung erhalten wird. Der schattierte Zylinder hat ein Volumen
V = Ad,
, das in einer Zeit t am Punkt P vorbeifließt. Teilt man beide Seiten dieser Beziehung durch t, erhält man
\frac{V}{t}=\frac{Ad}{t}\\.
Wir stellen fest, dass Q=V/t und die Durchschnittsgeschwindigkeit \overline{v}=d/t\\ ist. Somit wird die Gleichung Q = A\overline{v}\\ . Abbildung 2 zeigt eine inkompressible Flüssigkeit, die entlang eines Rohres mit abnehmendem Radius fließt. Da die Flüssigkeit inkompressibel ist, muss die gleiche Flüssigkeitsmenge in einer bestimmten Zeit an jedem Punkt im Rohr vorbeifließen, um die Kontinuität des Flusses sicherzustellen. In diesem Fall muss die Geschwindigkeit notwendigerweise zunehmen, da die Querschnittsfläche des Rohrs abnimmt. Diese Logik kann erweitert werden, um zu sagen, dass die Durchflussrate an allen Punkten entlang des Rohres gleich sein muss. Insbesondere für die Punkte 1 und 2
\begin{1}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2} \end{2}\\
Dies wird als Kontinuitätsgleichung bezeichnet und gilt für jede inkompressible Flüssigkeit. Die Folgen der Kontinuitätsgleichung lassen sich beobachten, wenn Wasser aus einem Schlauch in eine schmale Sprühdüse fließt: Es tritt mit großer Geschwindigkeit aus — das ist der Zweck der Düse. Umgekehrt, wenn ein Fluss in ein Ende eines Reservoirs mündet, verlangsamt sich das Wasser erheblich und nimmt möglicherweise wieder an Geschwindigkeit zu, wenn es das andere Ende des Reservoirs verlässt. Mit anderen Worten, die Geschwindigkeit nimmt zu, wenn die Querschnittsfläche abnimmt, und die Geschwindigkeit nimmt ab, wenn die Querschnittsfläche zunimmt.
Abbildung 2. Wenn sich ein Rohr verengt, nimmt das gleiche Volumen eine größere Länge ein. Damit das gleiche Volumen in einer bestimmten Zeit die Punkte 1 und 2 passiert, muss die Geschwindigkeit an Punkt 2 größer sein. Der Prozess ist genau reversibel. Wenn die Flüssigkeit in die entgegengesetzte Richtung fließt, nimmt ihre Geschwindigkeit ab, wenn sich das Rohr erweitert. (Beachten Sie, dass die relativen Volumina der beiden Zylinder und die entsprechenden Geschwindigkeitsvektorpfeile nicht maßstabsgetreu gezeichnet sind.)
Da Flüssigkeiten im Wesentlichen inkompressibel sind, gilt die Kontinuitätsgleichung für alle Flüssigkeiten. Gase sind jedoch komprimierbar, und daher muss die Gleichung mit Vorsicht auf Gase angewendet werden, wenn sie einer Kompression oder Expansion ausgesetzt sind.
Beispiel 2. Berechnung der Flüssigkeitsgeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit erhöht sich, wenn sich ein Rohr verengt
An einem Gartenschlauch mit einem Radius von 0,900 cm ist eine Düse mit einem Radius von 0,250 cm angebracht. Die Durchflussrate durch Schlauch und Düse beträgt 0,500 l / s. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Wassers (a) im Schlauch und (b) in der Düse.
Strategie
Wir können die Beziehung zwischen Durchflussrate und Geschwindigkeit verwenden, um beide Geschwindigkeiten zu finden. Wir verwenden den Index 1 für den Schlauch und 2 für die Düse.
Lösung für (a)
Zuerst lösen wir Q=A\overline{v}\\ für v1 und beachten, dass die Querschnittsfläche A = nr2 ist, was ergibt
Ersetzen bekannter Werte und Durchführen geeigneter Einheitenumrechnungen ergibt
Lösung für (b)
Wir könnten diese Berechnung wiederholen, um die Geschwindigkeit in der Düse \bar{v}_{2}\\ zu finden, aber wir werden die Kontinuitätsgleichung verwenden, um eine etwas andere Einsicht zu geben. Mit der Gleichung, die besagt,
Lösen nach {\overline{v}}_{2}\\ und Ersetzen der Querschnittsfläche durch nr2 ergibt
Ersetzen bekannter Werte,
\overline{v}_{2}=\frac{\left(0.900\text{ cm}\right)^{2}}{\left(0.250\Text { cm}\rechts) ^{2}}1,96\Text{ m/s}=25,5 \Text{ m/s}\\.
Diskussion
Eine Geschwindigkeit von 1,96 m/ s ist ungefähr richtig für Wasser, das aus einem düsenlosen Schlauch austritt. Die Düse erzeugt einen wesentlich schnelleren Strom, indem sie die Strömung lediglich auf ein schmaleres Rohr verengt.
Die Lösung des letzten Teils des Beispiels zeigt, dass die Geschwindigkeit umgekehrt proportional zum Quadrat des Radius der Röhre ist, was zu großen Effekten führt, wenn der Radius variiert. Wir können eine Kerze in einiger Entfernung ausblasen, indem wir zum Beispiel unsere Lippen spitz zuspitzen, während das Anblasen einer Kerze mit weit geöffnetem Mund ziemlich unwirksam ist. In vielen Situationen, einschließlich im Herz-Kreislauf-System, kommt es zu einer Verzweigung des Flusses. Das Blut wird vom Herzen in Arterien gepumpt, die sich in kleinere Arterien (Arteriolen) unterteilen, die sich in sehr feine Gefäße verzweigen, die Kapillaren genannt werden. In dieser Situation wird die Kontinuität des Flusses aufrechterhalten, aber es ist die Summe der Strömungsraten in jedem der Zweige in jedem Abschnitt entlang des Rohrs, die aufrechterhalten wird. Die Gleichung der Kontinuität in einer allgemeineren Form wird
{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2}{A}_{2}{\overline{v}}_{2}\\,
wobei n1 und n2 die Anzahl der Zweige in jedem der Abschnitte entlang der Röhre sind.
Beispiel 3. Berechnung der Strömungsgeschwindigkeit und des Gefäßdurchmessers: Verzweigung im Herz-Kreislauf-System
Die Aorta ist das Hauptblutgefäß, durch das Blut das Herz verlässt, um im Körper zu zirkulieren. (a) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit des Blutes in der Aorta, wenn die Flussrate 5,0 l / min beträgt. Die Aorta hat einen Radius von 10 mm. (b) Blut fließt auch durch kleinere Blutgefäße, die als Kapillaren bekannt sind. Wenn die Blutflussrate in der Aorta 5,0 l / min beträgt, beträgt die Blutgeschwindigkeit in den Kapillaren etwa 0,33 mm / s. Da der durchschnittliche Durchmesser einer Kapillare 8,0 µm beträgt, berechnen Sie die Anzahl der Kapillaren im Blutkreislauf.
Strategie
Wir können Q=A\overline{v}\\ verwenden, um die Strömungsgeschwindigkeit in der Aorta zu berechnen, und dann die allgemeine Form der Kontinuitätsgleichung verwenden, um die Anzahl der Kapillaren zu berechnen, da alle anderen Variablen bekannt sind.
Lösung für (a)
Die Durchflussrate ist gegeben durch Q=A\overline{v}\\ oder \overline{v}=\frac{Q}{{\pi r}^{2}}\\ für ein zylindrisches Gefäß. Das Ersetzen der bekannten Werte (umgerechnet in Einheiten von Metern und Sekunden) ergibt
Lösung für (b)
Verwenden von {n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2}{A}_{2}{\overline{v}}_{1}\\, Zuweisen des Index 1 zur Aorta und 2 zu den Kapillaren und Lösen für n2 (die Anzahl der Kapillaren) ergibt {n}_{2}=\frac{{n}_{1}{ A}_{1}{\überstrichen{v}}_{1}}{{A}_{2}{\überstrichen{v}}_{2}}\\. Wenn Sie alle Größen in Einheiten von Metern und Sekunden umrechnen und in die obige Gleichung einsetzen, erhalten Sie
Diskussion
Beachten Sie, dass die Strömungsgeschwindigkeit in den Kapillaren im Verhältnis zur Geschwindigkeit in der Aorta aufgrund der signifikanten Zunahme der Gesamtquerschnittsfläche an den Kapillaren erheblich verringert ist. Diese niedrige Geschwindigkeit soll genügend Zeit für einen effektiven Austausch ermöglichen, obwohl es ebenso wichtig ist, dass die Strömung nicht stationär wird, um die Möglichkeit der Gerinnung zu vermeiden. Erscheint diese große Anzahl von Kapillaren im Körper vernünftig? Im aktiven Muskel findet man etwa 200 Kapillaren pro mm3 oder etwa 200 × 106 pro 1 kg Muskel. Für 20 kg Muskel sind dies etwa 4 × 109 Kapillaren.
Abschnittsübersicht
- Die Durchflussrate Q ist definiert als das Volumen V, das an einem Zeitpunkt t vorbeifließt, oder Q=\frac{V}{t}\\ wobei V Volumen und t Zeit ist.
- Die SI-Einheit des Volumens ist m3.
- Eine weitere gebräuchliche Einheit ist der Liter (L), der 10-3 m3 beträgt.
- Durchflussrate und Geschwindigkeit sind durch Q= A\overline{v}\\ verbunden, wobei A die Querschnittsfläche der Strömung und\overline{v}\\ ihre durchschnittliche Geschwindigkeit ist.
- Bei inkompressiblen Flüssigkeiten ist die Durchflussrate an verschiedenen Stellen konstant. That is,
\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2}\\ n_{1}A_{1}\bar{v}_{1} && n_{2}A_{2}\bar{v}_{2}\end{cases}\\.
Conceptual Questions
1. What is the difference between flow rate and fluid velocity? How are they related?
2. Many figures in the text show streamlines. Erklären Sie, warum die Flüssigkeitsgeschwindigkeit dort am größten ist, wo Stromlinien am nächsten beieinander liegen. (Hinweis: Berücksichtigen Sie die Beziehung zwischen der Flüssigkeitsgeschwindigkeit und der Querschnittsfläche, durch die sie fließt.)
3. Identifizieren Sie einige Substanzen, die inkompressibel sind, und einige, die dies nicht tun.
Probleme & Übungen
1. Wie hoch ist die durchschnittliche Durchflussrate in cm3/ s von Benzin zum Motor eines Autos, das mit 100 km/ h fährt, wenn es durchschnittlich 10,0 km / l beträgt?
2. Das Herz eines ruhenden Erwachsenen pumpt Blut mit einer Rate von 5.00 L/Minute. (a) Konvertieren Sie dies in cm3 / s. (b) Was ist diese Rate in m3 / s?
3. Blut wird mit einer Geschwindigkeit von 5,0 l / min aus dem Herzen in die Aorta gepumpt (Radius 1,0 cm). Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Blutes durch die Aorta.
4. Blut fließt durch eine Arterie mit einem Radius von 2 mm mit einer Geschwindigkeit von 40 cm/s. Bestimmen Sie die Flussrate und das Volumen, das in einem Zeitraum von 30 s durch die Arterie fließt.
5. Die Huka Falls am Waikato River sind eine der meistbesuchten natürlichen Touristenattraktionen Neuseelands (siehe Abbildung 3). Im Durchschnitt hat der Fluss eine Flussrate von etwa 300.000 L / s. In der Schlucht verengt sich der Fluss auf 20 m breit und durchschnittlich 20 m tief. (a) Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Flusses in der Schlucht? (b) Wie schnell fließt das Wasser im Fluss stromabwärts der Wasserfälle durchschnittlich, wenn er sich auf 60 m erweitert und seine Tiefe auf durchschnittlich 40 m ansteigt?
Abbildung 3. Die Huka Falls in Taupo, Neuseeland, zeigen die Durchflussrate. (quelle: RaviGogna, Flickr)
6. Eine große Arterie mit einer Querschnittsfläche von 1,00 cm2 verzweigt sich in 18 kleinere Arterien mit einer durchschnittlichen Querschnittsfläche von jeweils 0,400 cm2. Um welchen Faktor verringert sich die durchschnittliche Geschwindigkeit des Blutes, wenn es in diese Zweige gelangt?
7. (a) Wenn Blut durch das Kapillarbett in einem Organ fließt, verbinden sich die Kapillaren zu Venolen (kleinen Venen). Wenn die Blutgeschwindigkeit um den Faktor 4,00 ansteigt und die Gesamtquerschnittsfläche der Venolen 10,0 cm2 beträgt, wie groß ist die Gesamtquerschnittsfläche der Kapillaren, die diese Venolen versorgen? (b) Wie viele Kapillaren sind beteiligt, wenn ihr durchschnittlicher Durchmesser 10,0 µm beträgt?
8. Das menschliche Kreislaufsystem hat ungefähr 1 × 109 Kapillargefäße. Jedes Gefäß hat einen Durchmesser von etwa 8 µm. Unter der Annahme, dass das Herzzeitvolumen 5 l / min beträgt, bestimmen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit des Blutflusses durch jedes Kapillargefäß.
9. (a) Schätzen Sie die Zeit, die benötigt wird, um ein privates Schwimmbad mit einer Kapazität von 80.000 l mit einem Gartenschlauch zu füllen, der 60 l / min liefert. (b) Wie lange würde es dauern, einen Fluss mittlerer Größe, der mit 5000 m3/s fließt, zu füllen?
10. Die Blutflussrate durch eine Kapillare mit 2,00 × 10-6 Radius beträgt 3,80 × 109. (a) Wie schnell fließt das Blut? (Diese kleine Geschwindigkeit ermöglicht die Diffusion von Materialien zum und vom Blut.) (b) Unter der Annahme, dass das gesamte Blut im Körper durch Kapillaren fließt, wie viele von ihnen müssen vorhanden sein, um einen Gesamtfluss von 90,0 cm3 / s zu tragen? (Die große Anzahl erhalten ist eine Überschätzung, aber es ist immer noch vernünftig.)
11. (a) Wie hoch ist die Flüssigkeitsgeschwindigkeit in einem Feuerwehrschlauch mit einem Durchmesser von 9,00 cm, der 80,0 l Wasser pro Sekunde befördert? (b) Wie hoch ist die Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde? (c) Wären Ihre Antworten anders, wenn Salzwasser das Süßwasser im Feuerwehrschlauch ersetzen würde?
12. Der Hauptaufnahmeluftkanal eines Umluft-Gasheizgeräts hat einen Durchmesser von 0,300 m. Wie hoch ist die durchschnittliche Luftgeschwindigkeit im Kanal, wenn er alle 15 Minuten ein Volumen hat, das dem des Innenraums des Hauses entspricht? Das Innenvolumen des Hauses entspricht einem rechteckigen Festkörper von 13,0 m Breite und 20,0 m Länge und 2,75 m Höhe.
13. Wasser bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 2,00 m / s durch einen Schlauch mit einem Innendurchmesser von 1,60 cm. (a) Wie hoch ist die Durchflussrate in Litern pro Sekunde? (b) Die Flüssigkeitsgeschwindigkeit in der Düse dieses Schlauchs beträgt 15,0 m / s. Was ist der Innendurchmesser der Düse?
14. Beweisen Sie, dass die Geschwindigkeit eines inkompressiblen Fluids durch eine Verengung, wie in einem Venturirohr, um einen Faktor zunimmt, der gleich dem Quadrat des Faktors ist, um den der Durchmesser abnimmt. (Das Umgekehrte gilt für die Strömung aus einer Einschnürung in einen Bereich mit größerem Durchmesser.)
15. Das Wasser tritt direkt aus einem Wasserhahn mit einem Durchmesser von 1,80 cm mit einer Geschwindigkeit von 0,500 m / s aus. (Aufgrund der Konstruktion des Wasserhahns gibt es keine Geschwindigkeitsschwankungen über den Strom.) (a) Wie hoch ist die Durchflussrate in cm3/s? (b) Was ist der Durchmesser des Stroms 0,200 m unter dem Wasserhahn? Vernachlässigen Sie alle Effekte aufgrund von Oberflächenspannung.
16. Die Ergebnisse Ein Gebirgsbach ist 10,0 m breit und durchschnittlich 2,00 m tief. Während des Frühlingsabflusses erreicht die Strömung im Bach 100.000 m3/ s. (a) Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Stroms unter diesen Bedingungen? (b) Was ist an dieser Geschwindigkeit unvernünftig? (c) Was ist unvernünftig oder inkonsequent an den Räumlichkeiten?
Glossar
Durchflussrate: abgekürzt Q, es ist das Volumen V, das während einer Zeit t an einem bestimmten Punkt vorbeifließt, oder Q = V/t Liter: eine Volumeneinheit, gleich 10-3 m3
Ausgewählte Problemlösungen & Übungen
1. 2,78 cm3/s
3. 27 cm/s
5. (ein) 0.75 m/s (b) 0.13 m/s
7. (ein) 40.0 cm2 (b) 5.09×107
9. (ein) 22 h (b) 0.016 s
11. (a) 12,6 m/s (b) 0,0800 m3/s (c) Nein, unabhängig von der Dichte.
13. (ein) 0.402 L/s (b) 0.584 cm
15. (ein) 128 cm3/s (b) 0.890 cm