Bitte lesen Sie zuerst Limits (Eine Einführung)

Infinity ist eine ganz besondere Idee. Wir wissen, dass wir es nicht erreichen können, aber wir können immer noch versuchen, den Wert von Funktionen herauszufinden, die unendlich sind.

Eins geteilt durch Unendlich

Beginnen wir mit einem interessanten Beispiel.

Warum wissen wir es nicht?

Der einfachste Grund ist, dass Unendlichkeit keine Zahl ist, sondern eine Idee.

1∞ ist also ein bisschen so, als würde man 1beauty oder 1tall sagen.

Vielleicht könnten wir sagen, dass 1∞= 0, … aber das ist auch ein Problem, denn wenn wir 1 in unendliche Teile teilen und sie jeweils 0 enden, was ist mit der 1 passiert?

Tatsächlich ist 1∞ als undefiniert bekannt.

Aber wir können es angehen!

Anstatt also zu versuchen, es für unendlich herauszufinden (weil wir keine vernünftige Antwort bekommen können), versuchen wir es mit immer größeren Werten von x:

x	1x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

Jetzt können wir sehen, dass, wenn x größer wird, 1x gegen 0 tendiert

Wir stehen jetzt vor einer interessanten Situation:

• Wir können nicht sagen, was passiert, wenn x unendlich wird
• Aber wir können sehen, dass 1x gegen 0 tendiert /li>

Wir wollen die Antwort „0“ geben, können aber nicht, also sagen Mathematiker stattdessen genau, was los ist, indem sie das spezielle Wort „limit“ verwenden

Die Grenze von 1x, wenn x sich der Unendlichkeit nähert, ist 0

Und schreibe es so:

Mit anderen Worten:

Wenn sich x der Unendlichkeit nähert, dann nähert sich 1x 0

Wenn Sie „limit“ sehen, denken Sie an „Annäherung“

Es ist eine mathematische Art zu sagen: „Wir sprechen nicht davon, wenn x=∞ , aber wir wissen, wenn x größer wird, kommt die Antwort immer näher an 0“.

Zusammenfassung

Manchmal kann Infinity nicht direkt verwendet werden, aber wir können ein Limit verwenden.

Was bei ∞ passiert, ist nicht definiert …		1∞
… aber wir wissen, dass 1/x sich 0 nähert wie x sich unendlich nähert		1x→∞ (1x) = 0

Grenzen nähern sich der Unendlichkeit

Was ist die Grenze dieser Funktion, wenn sich x der Unendlichkeit nähert?

y = 2x

Wenn „x“ größer wird, gilt natürlich auch „2x“:

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
…	…

Wenn sich „x“ der Unendlichkeit nähert, nähert sich auch „2x“ der Unendlichkeit. Wir schreiben Folgendes:

Aber lassen Sie sich nicht vom „=“ täuschen. Wir können nicht wirklich unendlich werden, aber in der „Limit“ -Sprache ist die Grenze unendlich (was wirklich bedeutet, dass die Funktion unbegrenzt ist).

Unendlichkeit und Grad

Wir haben zwei Beispiele gesehen, eines ging auf 0, das andere auf unendlich.

Tatsächlich sind viele unendliche Grenzen ziemlich einfach herauszufinden, wenn wir herausfinden, „in welche Richtung es geht“, wie folgt:

Funktionen wie 1 / x nähern sich 0, wenn sich x der Unendlichkeit nähert. Dies gilt auch für 1/x2 etc

Eine Funktion wie x nähert sich unendlich, ebenso wie 2x oder x/9 und so weiter. Ebenso nähern sich Funktionen mit x2 oder x3 usw. der Unendlichkeit.

Aber seien Sie vorsichtig, eine Funktion wie „−x“ nähert sich „−infinity“, also müssen wir uns die Zeichen von x ansehen.

Wenn wir uns den Grad der Funktion ansehen (den höchsten Exponenten in der Funktion), können wir sagen, was passieren wird:

Wenn der Grad der Funktion gleich dem Grad der:

• größer als 0, die Grenze ist unendlich (oder −unendlich)
• kleiner als 0, die Grenze ist 0

Aber wenn der Grad 0 oder unbekannt ist, müssen wir etwas härter arbeiten, um eine Grenze zu finden.

Rationale Funktionen

Eine rationale Funktion ist das Verhältnis zweier Polynome:		f(x) = P(x)Q(x)
Zum Beispiel hier P(x) = x3 + 2x − 1 und Q(x) = 6×2:		x3 + 2x − 16×2

Im Anschluss an unsere Vorstellung vom Grad der Gleichung ist der erste Schritt, um die Grenze ist zu …

Vergleichen Sie den Grad von P(x) mit dem Grad von Q(x):

… das Limit ist 0.

… teilen Sie die Koeffizienten der Terme mit dem größten Exponenten wie folgt:

(beachten Sie, dass die größten Exponenten gleich sind, da der Grad gleich ist)

… dann ist die Grenze positive Unendlichkeit …

… oder vielleicht negative Unendlichkeit. Wir müssen auf die Zeichen schauen!

Wir können das Vorzeichen (positiv oder negativ)berechnen, indem wir die Vorzeichen der Terme mit dem größten Exponenten betrachten, genau wie wir die obigen Koeffizienten gefunden haben:

x3 + 2x − 16×2		Zum Beispiel wird dies in die positive Unendlichkeit gehen, weil beide … x3 (der Term mit dem größten Exponenten oben) und 6×2 (der Term mit dem größten Exponenten unten) … sind positiv.
−2×2 + x5x − 3		Dies führt jedoch zur negativen Unendlichkeit, da -2/5 negativ ist.

Ein schwierigeres Beispiel: Ausarbeiten von „e“

Diese Formel nähert sich dem Wert von e (Eulers Zahl) an, wenn n zunimmt:

Im Unendlichen:

Wir wissen es nicht!

So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100.000	2,71827

Ja, es geht auf den Wert 2.71828 zu… das ist e (Eulers Zahl)

Also haben wir wieder eine seltsame Situation:

• Wir wissen nicht, was der Wert ist, wenn n=unendlich ist
• Aber wir können sehen, dass es sich in Richtung 2.71828 einpendelt…

Also verwenden wir Limits, um die Antwort so zu schreiben:

Es ist eine mathematische Art zu sagen: „Wir sprechen nicht davon, wenn n=∞ , aber wir wissen, wenn n größer wird, kommt die Antwort immer näher an den Wert von e heran“.

Auswerten von Grenzwerten

Ich habe bisher einen sanften Ansatz für Grenzwerte gewählt und Tabellen und Grafiken gezeigt, um die Punkte zu veranschaulichen.

Aber den Wert eines Limits zu „bewerten“ (mit anderen Worten zu berechnen), kann etwas mehr Aufwand erfordern. Erfahren Sie mehr unter Limits bewerten.