Die Koordinatenebene
Lernziel(e)
· Zeichnen Sie geordnete Paare auf einer Koordinatenebene.
· Bestimmen Sie bei einem geordneten Paar seinen Quadranten.
Einführung
Die Koordinatenebene wurde vor Jahrhunderten vom französischen Mathematiker René Descartes entwickelt und verfeinert. Zu seinen Ehren wird das System manchmal als kartesisches Koordinatensystem bezeichnet. Die Koordinatenebene kann zum Zeichnen von Punkten und Diagrammlinien verwendet werden. Dieses System ermöglicht es uns, algebraische Beziehungen im visuellen Sinne zu beschreiben und hilft uns auch, algebraische Konzepte zu erstellen und zu interpretieren.
Kennenlernen der Koordinatenebene
Sie haben wahrscheinlich schon einmal eine Koordinatenebene verwendet. Haben Sie beispielsweise jemals ein Raster-Overlay verwendet, um die Position eines Objekts abzubilden? (Dies wird oft auch mit Straßenkarten gemacht.)
Diese „Karte“ verwendet ein horizontales und vertikales Raster, um Informationen über den Standort eines Objekts zu übermitteln. Beachten Sie, dass die Buchstaben A-F oben und die Zahlen 1-6 am linken Rand aufgeführt sind. Die allgemeine Position eines Elements auf dieser Karte kann anhand des Buchstabens und der Nummer seines Rasterquadrats ermittelt werden. Zum Beispiel können Sie den Gegenstand finden, der am Quadrat „4F“ vorhanden ist, indem Sie Ihren Finger entlang der Horizontalen zum Buchstaben F und dann gerade nach unten bewegen, so dass Sie in einer Linie mit der 4 sind. Sie finden eine blaue Scheibe an dieser Stelle auf der Karte.
Die Koordinatenebene hat ähnliche Elemente wie das oben gezeigte Raster. Es besteht aus einer horizontalen Achse und einer vertikalen Achse, Zahlenlinien, die sich im rechten Winkel schneiden. (Sie stehen senkrecht zueinander.)
Die horizontale Achse in der Koordinatenebene wird als x-Achse bezeichnet. Die vertikale Achse wird als y-Achse bezeichnet. Der Punkt, an dem sich die beiden Achsen schneiden, wird als Ursprung bezeichnet. Der Ursprung liegt bei 0 auf der x-Achse und 0 auf der y-Achse.
Die sich kreuzenden x- und y-Achsen teilen die Koordinatenebene in vier Abschnitte. Diese vier Abschnitte werden Quadranten genannt. Quadranten werden mit den römischen Ziffern I, II, III und IV benannt, beginnend mit dem oberen rechten Quadranten und gegen den Uhrzeigersinn.
Positionen auf der Koordinatenebene werden als geordnete Paare beschrieben. Ein geordnetes Paar teilt Ihnen die Position eines Punktes mit, indem Sie die Position des Punktes entlang der x-Achse (der erste Wert des geordneten Paares) und entlang der y-Achse (der zweite Wert des geordneten Paares) beziehen.
In einem geordneten Paar wie (x, y) wird der erste Wert als x-Koordinate und der zweite Wert als y-Koordinate bezeichnet. Beachten Sie, dass die x-Koordinate vor der y-Koordinate aufgeführt ist. Da der Ursprung eine x-Koordinate von 0 und eine y-Koordinate von 0 hat, wird sein geordnetes Paar geschrieben (0, 0).
Betrachten Sie den folgenden Punkt.
Um die Position dieses Punktes zu identifizieren, beginnen Sie am Ursprung (0, 0) und bewegen Sie sich entlang der x-Achse nach rechts, bis Sie sich unter dem Punkt befinden. Schauen Sie sich das Etikett auf der x-Achse an. Die 4 zeigt an, dass Sie vom Ursprung aus vier Einheiten entlang der x-Achse nach rechts gereist sind. Dies ist die x-Koordinate, die erste Zahl im geordneten Paar.
Von 4 auf der x-Achse bewegen Sie sich zu dem Punkt und beachten Sie die Nummer, mit der er auf der y-Achse ausgerichtet ist. Die 3 zeigt an, dass Sie nach dem Verlassen der x-Achse 3 Einheiten in vertikaler Richtung, der Richtung der y-Achse, nach oben gefahren sind. Diese Zahl ist die y-Koordinate, die zweite Zahl im geordneten Paar. Mit einer x-Koordinate von 4 und einer y-Koordinate von 3 haben Sie das geordnete Paar (4, 3).
Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.
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Example |
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Problem |
Describe the point shown as an ordered pair. |
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(5, y) |
Beginnen Sie am Ursprung und bewegen Sie sich entlang der x-Achse. Dies ist die x-Koordinate und wird zuerst in das geordnete Paar geschrieben. |
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(5, 2) |
Bewegen Sie sich von 5 bis zum geordneten Paar und lesen Sie die Zahl auf der y-Achse. Dies ist die y-Koordinate und wird als Zweite in das geordnete Paar geschrieben. |
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Antwort |
Der als geordnetes Paar gezeigte Punkt ist (5, 2). |
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Plotten von Punkten in der Koordinatenebene
Jetzt, da Sie wissen, wie Sie die Koordinatenebene x- und y-Achsen können Sie auch ein geordnetes Paar zeichnen. Denken Sie daran, beide Prozesse beginnen am Ursprung – am Anfang! Das folgende Beispiel zeigt, wie das geordnete Paar (1, 3) grafisch dargestellt wird.
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Example |
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Problem |
Plot the point (1, 3). |
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The x-coordinate is 1 because it comes first in the ordered pair. Beginnen Sie am Ursprung und bewegen Sie einen Abstand von 1 Einheit in positiver Richtung (nach rechts) vom Ursprung entlang der x-Achse. |
Die y-Koordinate ist 3, weil sie im geordneten Paar an zweiter Stelle steht. Von hier aus bewegen Sie direkt 3 Einheiten in eine positive Richtung (nach oben). Wenn Sie zur y-Achse hinüberschauen, sollten Sie mit 3 auf dieser Achse aufgereiht sein. |
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Antwort |
Zeichnen Sie an dieser Stelle einen Punkt und beschriften Sie den Punkt (1, 3). |
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Im vorherigen Beispiel waren sowohl die x- als auch die y-Koordinate positiv. Wenn eine (oder beide) der Koordinaten eines geordneten Paares negativ ist, müssen Sie sich entlang einer oder beider Achsen in die negative Richtung bewegen. Betrachten Sie das folgende Beispiel, in dem beide Koordinaten negativ sind.
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Example |
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Problem |
Plot the point (−4, −2). |
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The x-coordinate is −4 because it comes first in the ordered pair. Beginnen Sie am Ursprung und bewegen Sie 4 Einheiten in eine negative Richtung (links) entlang der x-Achse. |
Die y-Koordinate ist -2, da sie im geordneten Paar an zweiter Stelle steht. Bewegen Sie nun 2 Einheiten in eine negative Richtung (nach unten). Wenn Sie zur y-Achse hinüberschauen, sollten Sie auf dieser Achse mit -2 aufgereiht sein. |
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Antwort |
Zeichnen Sie einen Punkt an dieser Stelle und beschriften Sie den Punkt (-4, -2). |
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Die Schritte zum Zeichnen eines Punktes sind im Folgenden zusammengefasst.
Schritte zum Zeichnen eines geordneten Paares (x, y) in der Koordinatenebene
o Bestimmen Sie die x-Koordinate. Beginnen Sie am Ursprung, bewegen Sie sich horizontal, die Richtung der x-Achse, die Entfernung, die durch die x-Koordinate gegeben ist. Wenn die x-Koordinate positiv ist, bewegen Sie sich nach rechts; Wenn die x-Koordinate negativ ist, bewegen Sie sich nach links.
o Bestimmen Sie die y-Koordinate. Beginnen Sie bei der x-Koordinate, bewegen Sie sich vertikal, die Richtung der y-Achse, die Entfernung, die durch die y-Koordinate gegeben ist. Wenn die y-Koordinate positiv ist, bewegen Sie sich nach oben; wenn die y-Koordinate negativ ist, bewegen Sie sich nach unten.
o Zeichnen Sie einen Punkt an der Endposition. Beschriften Sie den Punkt mit dem bestellten Paar.
Welcher Punkt repräsentiert das geordnete Paar (-2, -3)?
Die vier Quadranten
Geordnete Paare innerhalb eines bestimmten Quadranten haben bestimmte Eigenschaften. Schauen Sie sich jeden Quadranten in der folgenden Grafik an. Was fällt Ihnen an den Vorzeichen der x- und y-Koordinaten der Punkte innerhalb jedes Quadranten auf?
Innerhalb jedes Quadranten sind die Vorzeichen der x-Koordinaten und y-Koordinaten jedes geordneten Paares gleich. Sie folgen auch einem Muster, das in der folgenden Tabelle dargestellt ist.
Sobald Sie die Quadranten in der Koordinatenebene kennen, können Sie den Quadranten eines geordneten Paares bestimmen, ohne ihn auch nur grafisch darzustellen, indem Sie sich die obige Tabelle ansehen. Hier ist eine andere Art, darüber nachzudenken.
Im folgenden Beispiel erfahren Sie, wie Sie die Quadrantenposition eines Punktes bestimmen, indem Sie nur über die Vorzeichen seiner Koordinaten nachdenken. Wenn Sie vor dem Zeichnen eines Punkts über die Position des Quadranten nachdenken, können Sie einen Fehler vermeiden. Es ist auch nützliches Wissen, um zu überprüfen, ob Sie einen Punkt korrekt gezeichnet haben.
Was passiert, wenn ein geordnetes Paar eine x- oder y-Koordinate von Null hat? Das folgende Beispiel zeigt den Graphen des geordneten Paares (0, 4).
Ein Punkt, der sich auf einer der Achsen befindet, wird nicht als Quadrant betrachtet. Es ist einfach auf einer der Achsen. Wenn die x-Koordinate 0 ist, befindet sich der Punkt auf der y-Achse. In ähnlicher Weise befindet sich jeder Punkt mit einer y-Koordinate von 0 auf der x-Achse.
Welche der folgenden Beschreibungen beschreibt die Position des Punktes (8, 0) am besten?
A) Quadrant I
B) Es befindet sich auf der x-Achse
C) Es befindet sich auf der y-Achse
D) Die Koordinatenebene
Zusammenfassung
Die Koordinatenebene ist ein System zur grafischen Darstellung und Beschreibung von Punkten und Linien. Die Koordinatenebene besteht aus einer horizontalen (x-)Achse und einer vertikalen (y-)Achse. Der Schnittpunkt dieser Linien erzeugt den Ursprung, der der Punkt (0, 0) ist. Die Koordinatenebene ist in vier Quadranten unterteilt. Zusammen ermöglichen diese Merkmale des Koordinatensystems die grafische Darstellung und Kommunikation von Punkten, Linien und anderen algebraischen Konzepten.