Eine berühmte und wichtige Sequenz ist die Fibonacci-Sequenz, benannt nach dem italienischen Mathematiker Leonardo Pisano, dessen Spitzname Fibonacci war und der von 1170 bis 1230 lebte. Diese Sequenz ist:
\
Diese Sequenz wird rekursiv definiert. Dies bedeutet, dass jeder Begriff durch die vorherigen Begriffe definiert wird.
und so weiter.
Die Fibonacci-Sequenz wird definiert durch 
\
Die Notation, die wir zur Darstellung der Fibonacci-Sequenz verwenden, lautet wie folgt:
\
Beispiel \(\pageIndex{1}\): Fibonacci-Zahlen rekursiv finden
Finden Sie die 13., 14. und 15. Fibonacci-Zahlen mithilfe der obigen rekursiven Definition für die Fibonacci-Sequenz.
Beachten Sie zunächst, dass bereits 12 Fibonacci-Zahlen oben aufgeführt sind. Um die nächsten drei Fibonacci-Zahlen zu finden, fügen wir einfach die beiden vorherigen Terme hinzu, um den nächsten Term zu erhalten, wie in der Definition angegeben.
Daher sind die 13., 14. und 15. Fibonacci-Zahlen 233, 377 bzw. 610.
Das Berechnen von Termen der Fibonacci-Sequenz kann bei Verwendung der rekursiven Formel mühsam sein, insbesondere wenn Terme mit einem großen n gefunden werden. Glücklicherweise entdeckte ein Mathematiker namens Leonhard Euler eine Formel zur Berechnung einer beliebigen Fibonacci-Zahl. Diese Formel ging etwa 100 Jahre lang verloren und wurde von einem anderen Mathematiker namens Jacques Binet wiederentdeckt. Die ursprüngliche Formel, bekannt als Binets Formel, ist unten.
Binets Formel: Die n-te Fibonacci-Zahl ist durch die folgende Formel gegeben:
\}{\sqrt{5}}\]
Binets Formel ist ein Beispiel für eine explizit definierte Sequenz. Dies bedeutet, dass Terme der Sequenz nicht von vorherigen Termen abhängig sind.
Manchmal wird anstelle der obigen eine etwas benutzerfreundlichere, vereinfachte Version von Binets Formel verwendet.
Binets vereinfachte Formel: Die n-te Fibonacci-Zahl wird durch die folgende Formel angegeben:
Hinweis: Das Symbol 
Beispiel \(\pageIndex{2}\): 
Finden Sie den Wert von
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. Die Anzahl der Zweige an einigen Bäumen oder die Anzahl der Blütenblätter einiger Gänseblümchen sind oft Fibonacci-Zahlen
Abbildung \(\pageIndex{4}\): Fibonacci-Zahlen und Gänseblümchen
a. Gänseblümchen mit 13 Blütenblättern b. Gänseblümchen mit 21 Blütenblättern
a. 
(Gänseblümchen, n.d.)
Fibonacci-Zahlen erscheinen auch in spiralförmigen Wachstumsmustern wie der Anzahl der Spiralen auf einem Kaktus oder in Sonnenblumensamenbetten.
Abbildung \(\pageIndex{5}\): Fibonacci-Zahlen und Spiralwachstum
a. Kaktus mit 13 Spiralen im Uhrzeigersinn b. Sonnenblume mit 34 Spiralen im Uhrzeigersinn und 55 Spiralen gegen den Uhrzeigersinn
a. 
(Kaktus, n.d.) (Sonnenblume, n.d.)
Eine weitere interessante Tatsache ergibt sich, wenn man die Verhältnisse aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen betrachtet.
Es scheint, dass sich diese Verhältnisse einer Zahl nähern. Die Zahl, der diese Verhältnisse näher kommen, ist eine spezielle Zahl, die als Goldener Schnitt bezeichnet wird und mit 
Der Goldene Schnitt:
\
Der Goldene Schnitt hat die dezimale Approximation von \(\phi=1.6180339887\).
Der Goldene Schnitt ist aus verschiedenen Gründen eine besondere Zahl. Es wird auch die göttliche Proportion genannt und erscheint in Kunst und Architektur. Es wird von einigen behauptet, das angenehmste Verhältnis für das Auge zu sein. Um dieses Verhältnis zu finden, schneiden die Griechen eine Länge in zwei Teile und lassen das kleinere Stück einer Einheit entsprechen. Der angenehmste Schnitt ist, wenn das Verhältnis der gesamten Länge 
Der Goldene Schnitt ist eine Lösung der quadratischen Gleichung 
Es hat funktioniert!
Eine weitere interessante Beziehung zwischen dem Goldenen Schnitt und der Fibonacci-Sequenz tritt auf, wenn Potenzen von 
Und so weiter.
Beachten Sie, dass die Koeffizienten von 
Goldene Potenzregel: \(\phi^{n}=f_{n} \phi+f_{n-1}\)
wobei\(f_{n}\) die n-te Fibonacci-Zahl und \(\phi\) der Goldene Schnitt ist.
Beispiel \(\pageIndex{5}\): Potenzen des Goldenen Schnitts
Finden Sie Folgendes mit der goldenen Potenzregel: a. 
