visa Mobilmeddelande Visa alla anteckningar Dölj alla anteckningar
avsnitt 3-4 : Definitionen av en funktion
Vi måste nu gå in i det andra ämnet i detta kapitel. Innan vi gör det men vi behöver en snabb definition tas om hand.
definition av Relation
en relation är en uppsättning ordnade par.
detta verkar vara en udda definition men vi behöver den för definitionen av en funktion (vilket är huvudämnet i detta avsnitt). Men innan vi faktiskt ger definitionen av en funktion, låt oss se om vi kan ta hand om vad en relation är.
Tänk tillbaka till exempel 1 i Grafavsnittet i detta kapitel. I det exemplet konstruerade vi en uppsättning ordnade par som vi använde för att skissa grafen på \(y = {\left( {x – 1} \right)^2} – 4\). Här är de beställda paren som vi använde.
\
något av följande är då relationer eftersom de består av en uppsättning ordnade par.
\
det finns naturligtvis många fler relationer som vi kan bilda från listan över ordnade par ovan, men vi ville bara lista några möjliga relationer för att ge några exempel. Observera också att vi också kunde få andra beställda par från ekvationen och lägga till dem i något av relationerna ovan om vi ville.
Nu frågar du förmodligen bara varför vi bryr oss om relationer och det är en bra fråga. Vissa relationer är mycket speciella och används på nästan alla nivåer av matematik. Följande definition berättar bara vilka relationer som är dessa speciella relationer.
definition av en funktion
en funktion är en relation för vilken varje värde från uppsättningen de första komponenterna i de beställda paren är associerade med exakt ett värde från uppsättningen andra komponenter i det beställda paret.
okej, det är en mun full. Låt oss se om vi kan räkna ut vad det betyder. Låt oss ta en titt på följande exempel som förhoppningsvis hjälper oss att räkna ut allt detta.
från dessa beställda par har vi följande uppsättningar av första komponenter (dvs. det första numret från varje beställt par) och andra komponenter (dvs. det andra numret från varje beställt par).
\
för uppsättningen av andra komponenter märker att ”-3” inträffade i två beställda par men vi listade det bara en gång.
för att se varför denna relation är en funktion, välj bara något värde från uppsättningen av första komponenter. Gå nu tillbaka till relationen och hitta varje ordnat par där detta nummer är den första komponenten och lista alla andra komponenter från de beställda paren. Listan över andra komponenter kommer att bestå av exakt ett värde.
Låt oss till exempel välja 2 från uppsättningen av första komponenter. Från förhållandet ser vi att det finns exakt ett ordnat par med 2 som en första komponent,\(\left( {2, – 3} \right)\). Därför listan över andra komponenter (dvs. listan över värden från uppsättningen andra komponenter) associerad med 2 är exakt ett nummer, -3.
Observera att vi inte bryr oss om att -3 är den andra komponenten i en andra ordnad par i relationen. Det är helt acceptabelt. Vi vill bara inte att det ska finnas mer än ett beställt par med 2 som en första komponent.
Vi tittade på ett enda värde från uppsättningen av första komponenter för vårt snabba exempel här men resultatet blir detsamma för alla andra val. Oavsett valet av första komponenter kommer det att finnas exakt en sekund komponent associerad med den.
därför är denna relation en funktion.
för att verkligen få en känsla för vad definitionen av en funktion säger till oss borde vi förmodligen också kolla in ett exempel på en relation som inte är en funktion.
oroa dig inte för var denna relation kom ifrån. Det är bara en som vi gjorde upp för detta exempel.
här är listan över första och andra komponenter
\
Från uppsättningen av första komponenter låt oss välja 6. Om vi nu går upp till förhållandet ser vi att det finns två ordnade par med 6 som en första komponent : \(\vänster( {6,10} \höger)\) och \(\vänster( {6, – 4} \höger)\). Listan över andra komponenter associerade med 6 är då: 10, -4.
listan över andra komponenter associerade med 6 har två värden och så är denna relation inte en funktion.
Observera att det faktum att om vi hade valt -7 eller 0 från uppsättningen av första komponenter finns det bara ett nummer i listan över andra komponenter associerade med var och en. Det spelar ingen roll. Det faktum att vi hittade till och med ett enda värde i uppsättningen av första komponenter med mer än en sekund komponent associerad med det räcker att säga att detta förhållande inte är en funktion.
som en sista kommentar om detta exempel låt oss notera att om vi tog bort det första och/eller det fjärde beställda paret från relationen skulle vi ha en funktion!
så förhoppningsvis har du åtminstone en känsla för vad definitionen av en funktion berättar för oss.
Nu när vi har tvingat dig att gå igenom den faktiska definitionen av en funktion, låt oss ge en annan ”fungerande” definition av en funktion som kommer att vara mycket mer användbar för vad vi gör här.
den faktiska definitionen fungerar på en relation. Men som vi såg med de fyra relationerna vi gav före definitionen av en funktion och den relation vi använde i Exempel 1 får vi ofta relationerna från någon ekvation.
det är viktigt att notera att inte alla relationer kommer från ekvationer! Förhållandet från det andra exemplet var till exempel bara en uppsättning beställda par som vi skrev ner för exemplet och kom inte från någon ekvation. Detta kan också vara sant med relationer som är funktioner. De behöver inte komma från ekvationer.
men med det sagt, de funktioner som vi kommer att använda i denna kurs kommer alla från ekvationer. Låt oss därför skriva ner en definition av en funktion som erkänner detta faktum.
innan vi ger den ”fungerande” definitionen av en funktion måste vi påpeka att detta inte är den faktiska definitionen av en funktion, som ges ovan. Detta är helt enkelt en bra ”arbetsdefinition” av en funktion som knyter saker till de typer av funktioner som vi kommer att arbeta med i den här kursen.
”arbetsdefinition” av funktion
en funktion är en ekvation för vilken någon \(x\) som kan anslutas till ekvationen kommer att ge exakt en \(y\) ur ekvationen.
där är det. Det är definitionen av funktioner som vi ska använda och kommer förmodligen att vara lättare att dechiffrera precis vad det betyder.
innan vi undersöker detta lite mer notera att vi använde frasen ”\(x\) som kan anslutas till” i definitionen. Detta tenderar att innebära att inte alla \(x\) kan anslutas till en ekvation och detta är faktiskt korrekt. Vi kommer tillbaka och diskutera detta mer detaljerat mot slutet av detta avsnitt, men kom bara ihåg att vi inte kan dela med noll och om vi vill ha reella tal ur ekvationen kan vi inte ta kvadratroten av ett negativt tal. Så med dessa två exempel är det uppenbart att vi inte alltid kommer att kunna ansluta varje \(x\) till någon ekvation.när vi arbetar med funktioner kommer vi alltid att anta att både \(x\) och \(y\) kommer att vara reella tal. Med andra ord kommer vi att glömma att vi vet något om komplexa tal lite medan vi hanterar det här avsnittet.
okej, med det ur vägen låt oss komma tillbaka till definitionen av en funktion och låt oss titta på några exempel på ekvationer som är funktioner och ekvationer som inte är funktioner.
- \(y = 5x + 1\)
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
Visa alla lösningar Dölj alla lösningar
den ”fungerande” definitionen av funktion säger är att om vi tar alla möjliga värden på \(X\) och anslut dem till ekvationen och lösa för \(Y\) vi får exakt ett värde för varje värde på \(x\). I detta skede av spelet kan det vara ganska svårt att faktiskt visa att en ekvation är en funktion så vi pratar mest igenom den. Å andra sidan är det ofta ganska lätt att visa att en ekvation inte är en funktion.
a \(y = 5x + 1\) Visa lösning
Så vi måste visa att oavsett vad \(x\) vi ansluter till ekvationen och löser för \(y\) får vi bara ett enda värde på \(y\). Observera också att värdet på \(y\) förmodligen kommer att vara annorlunda för varje värde på \(x\), även om det inte behöver vara.
Låt oss börja med att koppla in några värden på \(x\) och se vad som händer.
\
så för var och en av dessa värden på \(x\) fick vi ett enda värde på \(y\) ur ekvationen. Nu räcker det inte för att hävda att detta är en funktion. För att officiellt bevisa att detta är en funktion måste vi visa att detta kommer att fungera oavsett vilket värde av \(x\) vi ansluter till ekvationen.
Naturligtvis kan vi inte ansluta alla möjliga värden på \(x\) till ekvationen. Det är bara inte fysiskt möjligt. Låt oss dock gå tillbaka och titta på de som vi kopplade in. För varje \(x\) multiplicerade vi först \(x\) med 5 och lade sedan till 1 på den. Om vi multiplicerar ett tal med 5 får vi ett enda värde från multiplikationen. På samma sätt får vi bara ett enda värde om vi lägger till 1 på ett nummer. Därför verkar det troligt att baserat på operationerna som är involverade i att ansluta \(x\) till ekvationen kommer vi bara att få ett enda värde på \(y\) ur ekvationen.
så, denna ekvation är en funktion.
b \(y = {x^2} + 1\) Visa lösning
återigen, låt oss koppla in ett par värden på \(x\) och lösa för \(y\) för att se vad som händer.
\
nu, låt oss tänka lite om vad vi gjorde med utvärderingarna. Först kvadrerade vi värdet på \(x\) som vi kopplade in. När vi kvadrerar ett tal kommer det bara att finnas ett möjligt värde. Vi lägger sedan till 1 På detta, men igen kommer detta att ge ett enda värde.
så det verkar som om denna ekvation också är en funktion.
Observera att det är okej att få samma \(y\) värde för olika \(x\)’S. till exempel,
\
Vi kan bara inte få mer än en \(y\) ur ekvationen efter att vi pluggar in \(x\).
c \({y^2} = x + 1\) Visa lösning
som vi har gjort med de två föregående ekvationerna låt oss koppla in ett par värden på \(x\), lösa för \(y\) och se vad vi får.
\
Kom ihåg att vi löser för \(y\) och så betyder det att i det första och sista fallet ovan kommer vi faktiskt att få två olika \(y\) värden ur \(x\) och så är denna ekvation inte en funktion.
Observera att vi kan ha värden på \(x\) som ger en enda \(y\) som vi har sett ovan, men det spelar ingen roll. Om ens ett värde på \(x\) ger mer än ett värde på \(y\) vid lösning av ekvationen kommer inte att vara en funktion.
vad detta egentligen betyder är att vi inte behövde gå längre än den första utvärderingen, eftersom det gav flera värden på \(y\).
d \({x^2} + {y^2} = 4\) Visa lösning
med det här fallet använder vi lektionen i föregående del och ser om vi kan hitta ett värde på \(x\) som ger mer än ett värde på \(y\) vid lösning. Eftersom vi har en y2 i problemet borde det inte vara för svårt att göra eftersom lösningen så småningom kommer att innebära att man använder kvadratrotegenskapen som ger mer än ett värde på \(y\).
\
så, denna ekvation är inte en funktion. Minns att från föregående avsnitt är detta ekvationen för en cirkel. Cirklar är aldrig funktioner.
förhoppningsvis har dessa exempel gett dig en bättre känsla för vad en funktion faktiskt är.
Vi måste nu gå vidare till något som kallas funktion notation. Funktion notation kommer att användas kraftigt under de flesta av de återstående kapitlen i denna kurs och det är därför viktigt att förstå det.
låt oss börja med följande kvadratiska ekvation.
\
Vi kan använda en process som liknar vad vi använde i föregående uppsättning exempel för att övertyga oss om att detta är en funktion. Eftersom detta är en funktion kommer vi att beteckna den enligt följande,
\
så ersatte vi \(y\) med notationen \(f\left( x \right)\). Detta läses som ” f av \(x\)”. Observera att det inte finns något speciellt med \(f\) vi använde här. Vi kunde bara enkelt ha använt något av följande,
\
brevet vi använder spelar ingen roll. Det som är viktigt är delen” \(\left( x \right)\)”. Bokstaven i parentesen måste matcha variabeln som används på höger sida av likhetstecknet.
det är mycket viktigt att notera att \(f\left( x \right)\) verkligen är inget annat än ett riktigt fint sätt att skriva \(y\). Om du har det i åtanke kan du upptäcka att hantera funktion notation blir lite lättare.
detta är inte heller en multiplikation av \(f\) med \(x\)! Detta är ett av de vanligaste misstagen människor gör när de först hanterar funktioner. Detta är bara en notation som används för att beteckna funktioner.
nästa måste vi prata om utvärdering av funktioner. Att utvärdera en funktion är egentligen inget annat än att fråga vad dess värde är för specifika värden på \(x\). Ett annat sätt att titta på det är att vi frågar vad \(y\) – värdet för en given \(x\) är.
utvärdering är verkligen ganska enkel. Låt oss ta funktionen vi tittade på ovan
\
och fråga vad dess värde är för \(x = 4\). När det gäller funktionsnotation kommer vi att” fråga ” detta med notationen \(f\left( 4 \right)\). Så när det finns något annat än variabeln inom parentesen frågar vi verkligen vad värdet av funktionen är för den specifika kvantiteten.
Nu, när vi säger värdet på funktionen frågar vi verkligen vad värdet av ekvationen är för det specifika värdet av \(x\). Här är \(f \ Vänster (4\höger)\).
\
Observera att utvärdering av en funktion görs på exakt samma sätt som vi utvärderar ekvationer. Allt vi gör är att ansluta till \(x\) vad som helst på insidan av parentesen till vänster. Här är en annan utvärdering för denna funktion.
\
så igen, vad som finns på insidan av parentesen till vänster är inkopplad för \(x\) i ekvationen till höger. Låt oss ta en titt på några fler exempel.
- \(f\left( 3 \right)\) och \(g\left( 3 \right)\)
- \(f\left( { – 10} \right)\) och \(g\left( { – 10} \right)\)
- \(f\left( 0 \right)\)
- \(f\left( t \right)\)
- \(f\left (t \right)\)
- \(f\left ({T + 1} \Right)\) och\(f\left ({x + 1} \right)\)
- \(f\left ({{x^3}} \right)\)
- \(g\left ({{x^2} – 5} \right)\)
visa alla lösningar Dölj alla lösningar
okej vi har två funktionsutvärderingar att göra här och vi har också två funktioner så vi måste bestämma vilken funktion att använda för utvärderingarna. Nyckeln här är att märka brevet som ligger framför parentesen. För \(f \ left(3 \right)\) använder vi funktionen \(f\left(x \right)\) och för \(g\left(3 \right)\) använder vi \(g\left (x \right)\). Med andra ord, vi behöver bara se till att variablerna matchar.
här är utvärderingarna för denna del.
\
b \(f \ left ({- 10} \right)\) och \(g\left ({- 10} \right)\) Visa lösning
den här är ungefär densamma som föregående del med ett undantag som vi kommer att beröra när vi når den punkten. Här är utvärderingarna.
\
se till att du hanterar de negativa tecknen ordentligt här. Nu den andra.
\
Vi har nu nått skillnaden. Kom ihåg att när vi först började prata om definitionen av funktioner uppgav vi att vi bara skulle hantera reella tal. Med andra ord, vi kopplar bara in reella tal och vi vill bara ha reella tal tillbaka som svar. Så eftersom vi skulle få ett komplext nummer av detta kan vi inte ansluta -10 till den här funktionen.
c \(f\left( 0 \right)\) Visa lösning
inte mycket till den här.
\
återigen, glöm inte att detta inte är multiplikation! Av någon anledning tycker eleverna om att tänka på den här som multiplikation och få ett svar på noll. Var försiktig.
d \(f\left( t \right)\) Visa lösning
resten av dessa utvärderingar kommer nu att bli lite annorlunda. Som den här visar behöver vi inte bara ha siffror inom parentes. Utvärderingen fungerar dock på exakt samma sätt. Vi ansluter till \(x\) ’ S på höger sida av likhetstecknet vad som helst inom parentes. I det här fallet betyder det att vi pluggar in \(t\) för alla \(x\)’s.
här är denna utvärdering.
\
Observera att i det här fallet är det ungefär samma sak som vår ursprungliga funktion, förutom den här gången använder vi \(t\) som en variabel.
e \(f\left( {t + 1} \right)\) och \(f\left( {x + 1} \right)\) Visa lösning
Nu, låt oss bli lite mer komplicerade, eller åtminstone verkar de vara mer komplicerade. Saker är inte så illa som de kan verka dock. Vi utvärderar \(f\left ({t + 1} \right)\) först. Den här fungerar exakt samma som föregående del gjorde. Alla \(x\) ’ s till vänster kommer att ersättas med \(t + 1\). Vi kommer att ha en viss förenkling att göra också efter substitutionen.
\
var försiktig med parentes i dessa typer av utvärderingar. Det är lätt att röra sig med dem.
Nu, låt oss ta en titt på \(f\left( {x + 1} \right)\). Med undantag för \(x\) är detta identiskt med \(f\left( {t + 1} \right)\) och så fungerar det exakt på samma sätt.
\
bli inte upphetsad över det faktum att vi återanvände \(x\)’S i utvärderingen här. På många ställen där vi kommer att göra detta i senare avsnitt kommer det att finnas \(x\) här och så måste du vänja dig att se det.
f \(f\left( {{x^3}} \right)\) Visa lösning
återigen, bli inte upphetsad över \(x\)’s inom parentes här. Bara utvärdera det som om det var ett nummer.
\
g \(g\left( {{x^2} – 5} \right)\) Visa lösning
en utvärdering till och den här gången använder vi den andra funktionen.
\
funktionsutvärdering är något som vi kommer att göra mycket i senare avsnitt och kapitel så se till att du kan göra det. Du hittar flera senare avsnitt mycket svåra att förstå och/eller göra arbetet i Om du inte har ett bra grepp om hur funktionsutvärdering fungerar.
medan vi är föremål för funktionsutvärdering bör vi nu prata om bitvis funktioner. Vi har faktiskt redan sett ett exempel på en bitvis funktion även om vi inte kallade det en funktion (eller en bitvis funktion) vid den tiden. Minns den matematiska definitionen av absolut värde.
\
detta är en funktion och om vi använder funktionsnotation kan vi skriva den enligt följande,
\
detta är också ett exempel på en bitvis funktion. En bitvis funktion är inget annat än en funktion som är uppdelad i bitar och vilken del du använder beror på värdet \(x\). Så i det absoluta värdeexemplet kommer vi att använda toppstycket om \(x\) är positivt eller noll och vi kommer att använda bottenstycket om \(x\) är negativt.
Låt oss ta en titt på att utvärdera en mer komplicerad bitvis funktion.
utvärdera vart och ett av följande.
- \(g\left( { – 6} \right)\)
- \(g\left( { – 4} \right)\)
- \(g\left( 1 \right)\)
- \(g\left( {15} \right)\)
- \(g\left( {21} \right)\)
Visa alla lösningar Dölj alla lösningar
innan utvärderingarna här börjar, låt oss märka att vi använder olika bokstäver för funktionen och variabeln än de som vi har använt till denna punkt. Det kommer inte att ändra hur utvärderingen fungerar. Bli inte så låst att se \(f\) för funktionen och \(x\) för variabeln att du inte kan göra några problem som inte har dessa bokstäver.för att göra var och en av dessa utvärderingar är det första vi behöver göra att bestämma vilken ojämlikhet antalet uppfyller, och det kommer bara att tillfredsställa en enda ojämlikhet. När vi bestämmer vilken ojämlikhet antalet uppfyller använder vi ekvationen i samband med den ojämlikheten.
så, låt oss göra några utvärderingar.
a \(g\left( { – 6} \right)\) Visa lösning
i det här fallet -6 uppfyller den högsta ojämlikheten och så använder vi toppekvationen för denna utvärdering.
\
b \(g\left( { – 4} \right)\) Visa lösning
Nu måste vi vara lite försiktiga med den här eftersom -4 dyker upp i två av ojämlikheterna. Det uppfyller dock bara den högsta ojämlikheten och så kommer vi återigen att använda toppfunktionen för utvärderingen.
\
c \(G\left( 1 \right)\) Visa lösning
i detta fall uppfyller siffran, 1, den mellersta ojämlikheten och så använder vi den mellersta ekvationen för utvärderingen. Denna utvärdering orsakar ofta problem för studenter trots att det faktiskt är en av de enklaste utvärderingarna vi någonsin kommer att göra. Vi vet att vi utvärderar funktioner/ekvationer genom att koppla in numret för variabeln. I det här fallet finns inga variabler. Det är inget problem. Eftersom det inte finns några variabler betyder det bara att vi faktiskt inte pluggar in någonting och vi får följande,
\
d \(g\left( {15} \right)\) Visa lösning
igen, som med den andra delen måste vi vara lite försiktiga med den här. I detta fall uppfyller numret den mellersta ojämlikheten eftersom det är den med lika tecken i den. Då som den föregående delen får vi bara,
\
bli inte upphetsad över det faktum att de två föregående utvärderingarna var samma värde. Detta kommer att hända ibland.
e \(g\left( {21} \right)\) Visa lösning
för den slutliga utvärderingen i det här exemplet uppfyller numret den nedre ojämlikheten och så använder vi den nedre ekvationen för utvärderingen.
\
bitvis funktioner uppstår inte så ofta i en algebra klass men de uppstår på flera ställen i senare klasser och så är det viktigt för dig att förstå dem om du ska gå vidare till fler matematiska klasser.
som ett sista ämne måste vi komma tillbaka och beröra det faktum att vi inte alltid kan ansluta varje \(x\) till varje funktion. Vi pratade kort om detta när vi gav definitionen av funktionen och vi såg ett exempel på detta när vi utvärderade funktioner. Vi måste nu titta på detta lite mer detaljerat.
först måste vi få ett par definitioner ur vägen.
domän och intervall
domänen för en ekvation är uppsättningen av alla \(x\) som vi kan ansluta till ekvationen och få tillbaka ett reellt tal för \(y\). Intervallet för en ekvation är uppsättningen av alla\(y\)’s som vi någonsin kan komma ur ekvationen.
Observera att vi menade att använda ekvation i definitionerna ovan istället för funktioner. Dessa är verkligen definitioner för ekvationer. Men eftersom funktioner också är ekvationer kan vi också använda definitionerna för funktioner.
att bestämma intervallet för en ekvation / funktion kan vara ganska svårt att göra för många funktioner och så kommer vi inte att verkligen komma in i det. Vi är mycket mer intresserade här för att bestämma domänerna för funktioner. Från definitionen är domänen uppsättningen av alla \(x\) som vi kan ansluta till en funktion och få tillbaka ett reellt tal. Vid denna tidpunkt betyder det att vi måste undvika uppdelning med noll och ta kvadratrötter av negativa tal.
Låt oss göra ett par snabba exempel på att hitta domäner.
- \(\displaystyle g \ vänster (x \ höger) = \ frac {{x + 3}}{{{x^2} + 3x-10}}\)
- \(f\vänster( x \höger) = \sqrt {5 – 3x} \)
- \(\displaystyle h\vänster( x \höger) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }} {{{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle r \ vänster (x \ höger) = \ frac {{\sqrt {10x-5} }} {{{x^2} – 16}}\)
Visa alla lösningar Dölj alla lösningar
domänerna för dessa funktioner är alla värden på \(x\) för vilka vi inte har uppdelning med noll eller kvadratroten av ett negativt tal. Om vi kommer ihåg dessa två ideer att hitta domänerna blir ganska enkelt.
a \(\displaystyle G\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\) Visa lösning
så i det här fallet finns det inga kvadratrötter så vi behöver inte oroa oss för kvadratroten av ett negativt tal. Det finns dock en möjlighet att vi får en uppdelning med nollfel. För att avgöra om vi kommer att vi måste ställa in nämnaren lika med noll och lösa.
\
Så vi kommer att få uppdelning med noll om vi ansluter \(x = – 5\) eller \(x = 2\). Det betyder att vi måste undvika dessa två siffror. Alla andra värden på \(x\) fungerar dock eftersom de inte ger uppdelning med noll. Domänen är då,
\
b \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \) Visa lösning
i det här fallet kommer vi inte att ha uppdelning med nollproblem eftersom vi inte har några fraktioner. Vi har en kvadratrot i problemet och så måste vi oroa oss för att ta kvadratroten av ett negativt tal.
den här kommer att fungera lite annorlunda än föregående del. I den delen bestämde vi värdet / värdena på \(x\) för att undvika. I det här fallet blir det lika enkelt att direkt få domänen. För att undvika kvadratrötter av negativa tal behöver vi bara kräva att
\
detta är en ganska enkel linjär ojämlikhet som vi borde kunna lösa vid denna tidpunkt.
\
domänen för denna funktion är då,
\
c \(\displaystyle H\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\) Visa lösning
i det här fallet har vi en bråkdel, men märker att nämnaren aldrig kommer att vara noll för något reellt tal eftersom x2 garanteras vara positiv eller noll och lägga till 4 på detta betyder att nämnaren är alltid minst 4. Med andra ord kommer nämnaren aldrig att vara noll. Så allt vi behöver göra är att oroa oss för kvadratroten i täljaren.
för att göra detta behöver vi,
\
Nu kan vi faktiskt ansluta något värde av \(x\) till nämnaren, men eftersom vi har kvadratroten i täljaren måste vi se till att alla \(x\) uppfyller ojämlikheten ovan för att undvika problem. Därför är domänen för denna funktion
\
d \(\displaystyle r\left (x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) visa lösning
i den här sista delen har vi både en kvadratrot och uppdelning med noll att oroa oss för. Låt oss ta hand om kvadratroten först eftersom detta förmodligen kommer att sätta den största begränsningen av värdena på \(x\). Så, för att hålla kvadratroten lycklig (dvs ingen kvadratrot av negativa tal) måste vi kräva det,
\
så, åtminstone måste vi kräva det \(x \ge \frac{1}{2}\) för att undvika problem med kvadratroten.
nu, låt oss se om vi har någon uppdelning med nollproblem. Återigen, för att göra detta helt enkelt ställa nämnaren lika med noll och lösa.
\
lägg nu märke till att \(x = – 4\) inte uppfyller den ojämlikhet vi behöver för kvadratroten och så att värdet på \(x\) redan har uteslutits av kvadratroten. Å andra sidan uppfyller \(x = 4\) ojämlikheten. Det betyder att det är okej att ansluta \(x = 4\) till kvadratroten, men eftersom det skulle ge uppdelning med noll måste vi undvika det.
domänen för denna funktion är då
\