en berömd och viktig sekvens är Fibonacci-sekvensen, uppkallad efter den italienska matematikern som kallas Leonardo Pisano, vars smeknamn var Fibonacci, och som bodde från 1170 till 1230. Denna sekvens är:
\
denna sekvens definieras rekursivt. Detta innebär att varje term definieras av de tidigare termerna.
och så vidare.
Fibonacci-sekvensen definieras av 
med andra ord, för att få nästa term i sekvensen, Lägg till de två tidigare termerna.
\
notationen som vi kommer att använda för att representera Fibonacci-sekvensen är följande:
\
exempel \(\PageIndex{1}\): Hitta Fibonacci-nummer rekursivt
hitta 13: e, 14: e och 15: e Fibonacci-nummer med hjälp av ovanstående rekursiva definition för Fibonacci-sekvensen.
först märker du att det redan finns 12 Fibonacci-nummer som anges ovan, så för att hitta nästa tre Fibonacci-nummer lägger vi helt enkelt till de två tidigare termerna för att få nästa term som definitionen anger.
därför är de 13: E, 14: e och 15: e Fibonacci-siffrorna 233, 377 respektive 610.
beräkning av termer för Fibonacci-sekvensen kan vara tråkigt när man använder den rekursiva formeln, särskilt när man hittar termer med en stor n. Lyckligtvis upptäckte en matematiker vid namn Leonhard Euler en formel för att beräkna något Fibonacci-nummer. Denna formel förlorades i cirka 100 år och återupptäcktes av en annan matematiker som heter Jacques Binet. Den ursprungliga formeln, känd som Binets formel, är nedan.
Binets formel: nth Fibonacci-numret ges med följande formel:
\}{\sqrt{5}}\]
Binets formel är ett exempel på en uttryckligen definierad sekvens. Detta innebär att villkoren i sekvensen inte är beroende av tidigare termer.
en något mer användarvänlig, förenklad version av Binets formel används ibland istället för den ovan.Binets förenklade formel: nth Fibonacci-numret ges med följande formel:
Obs: symbolen
exempel \(\PageIndex{2}\): Hitta 
hitta värdet på
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. Antalet grenar på vissa träd eller antalet kronblad på vissa tusenskönor är ofta Fibonacci-nummer
figur \(\PageIndex{4}\): Fibonacci-nummer och tusenskönor
a. Daisy med 13 kronblad b. Daisy med 21 kronblad
a. 
(tusenskönor, nd)
Fibonacci-nummer visas också i spiraltillväxtmönster som antalet spiraler på en kaktus eller i solrosfrön.
figur \(\PageIndex{5}\): Fibonacci-tal och Spiraltillväxt
a. Kaktus med 13 medurs spiraler b. Solros med 34 medurs spiraler och 55 moturs spiraler
a. 
(Kaktus, nd) (solros, nd)
ett annat intressant faktum uppstår när man tittar på förhållandena i följd Fibonacci nummer.
det verkar som om dessa förhållanden närmar sig ett tal. Numret som dessa förhållanden närmar sig är ett specialnummer som kallas det gyllene förhållandet som betecknas med 
det gyllene förhållandet:
\
det gyllene förhållandet har decimal approximation av \(\phi=1.6180339887\).
det gyllene förhållandet är ett speciellt nummer av olika skäl. Det kallas också den gudomliga andelen och det förekommer i konst och arkitektur. Det hävdas av vissa att vara det mest tilltalande förhållandet till ögat. För att hitta detta förhållande skär grekerna en längd i två delar och låt den mindre delen vara lika med en enhet. Det mest tilltalande snittet är när förhållandet mellan hela längden 
det gyllene förhållandet är en lösning på den kvadratiska ekvationen 
det fungerade!
ett annat intressant förhållande mellan det gyllene förhållandet och Fibonacci-sekvensen uppstår när man tar befogenheter av
och så vidare.
Observera att koefficienterna för
gyllene Kraftregel: \(\phi^{n}=f_{n} \ phi + f_{n-1}\)
där\(f_{n}\) är det n: e Fibonacci-numret och \(\phi\) är det gyllene förhållandet.
exempel \(\PageIndex{5}\): krafter i det gyllene förhållandet
hitta följande med hjälp av den gyllene kraftregeln: a. 
