uma sequência famosa e importante é a sequência de Fibonacci, nomeada em homenagem ao matemático italiano conhecido como Leonardo Pisano, cujo apelido era Fibonacci, e que viveu de 1170 a 1230. Esta sequência é:
\
Esta sequência é definida recursivamente. Isto significa que cada termo é definido pelos termos anteriores.
e assim por diante.
A sequência de Fibonacci é definida por 
em outras palavras, para obter o próximo termo na sequência, adicione os dois termos anteriores.
\
A notação que iremos usar para representar a seqüência de Fibonacci é a seguinte:
\
Exemplo de \(\PageIndex{1}\): Encontrar os Números de Fibonacci Recursivamente
Encontrar a 13, 14 e 15 de números de Fibonacci usando o acima de definição recursiva para a sequência de Fibonacci.
em primeiro lugar, observe que já existem 12 números de Fibonacci listados acima, então para encontrar os próximos três números de Fibonacci, nós simplesmente adicionamos os dois termos anteriores para obter o próximo termo como a definição indica.
Portanto, 13, 14 e 15 de números de Fibonacci são 233, 377, e 610, respectivamente.
calcular termos da sequência de Fibonacci pode ser tedioso quando se usa a fórmula recursiva, especialmente quando se encontram termos com um n Grande. Felizmente, um matemático chamado Leonhard Euler descobriu uma fórmula para calcular qualquer número de Fibonacci. Esta fórmula foi perdida por cerca de 100 anos e foi redescoberta por outro matemático chamado Jacques Binet. A fórmula original, conhecida como fórmula de Binet, está abaixo.
fórmula de Binet: o número nth Fibonacci é dado pela seguinte fórmula:
\}{\sqrt{5}}}\]
fórmula de Binet é um exemplo de uma sequência explicitamente definida. Isto significa que os termos da sequência não dependem de termos anteriores.
uma versão um pouco mais fácil de usar e simplificada da fórmula de Binet às vezes é usada em vez da acima.
fórmula simplificada de Binet: o número nth Fibonacci é dado pela seguinte fórmula:
Nota: O símbolo significa “arredondado ao inteiro mais próximo.”
Example \(\PageIndex{2}\): Finding 
Find the value of
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. O número de agências em algumas árvores, ou o número de pétalas de algumas margaridas são muitas vezes os números de Fibonacci
Figura \(\PageIndex{4}\): Números de Fibonacci e Margaridas
um. Margarida com 13 pétalas b. Margarida com 21 pétalas
um. 
(Margaridas, n.d.)
os números de Fibonacci também aparecem em espiral padrões de crescimento, tais como o número de espirais em um cacto ou de girassol semente de camas.
figura \(\PageIndex{5}\): números de Fibonacci e crescimento em espiral
A. Cactus com 13 espirais no sentido horário b. Girassol com 34 espirais no sentido horário e 55 no sentido anti-horário espirais
um. 
(Cactus, n.d.) (Girassol, n.d.)
Outro fato interessante surge quando olhar para as razões entre os números de Fibonacci consecutivos.parece que estas razões se aproximam de um número. O número a que estas razões estão se aproximando é um número especial chamado de razão dourada que é denotado por 
a razão dourada:
\
a razão dourada tem a aproximação decimal de \(\phi=1,6180339887\).
a razão dourada é um número especial por uma variedade de razões. É também chamada de proporção divina e aparece na arte e arquitetura. É reivindicado por alguns para ser a proporção mais agradável para o olho. Para encontrar esta proporção, os gregos cortaram um comprimento em duas partes, e deixar a peça menor igual a uma unidade. O corte mais agradável é quando a relação de todo o comprimento 
A Proporção Dourada é uma solução para a equação quadrática 
funcionou!
outra relação interessante entre a razão dourada e a sequência de Fibonacci ocorre quando se tomam poderes de 
e assim por diante.
Notice that the coefficients of 
de Ouro de Energia Regra: \(\phi^{n}=f_{n} \phi+f_{n-1}\)
onde\(f_{n}\) é o n-ésimo número de Fibonacci e \(\phi\) é a Razão de Ouro.
exemplo \(\PageIndex{5}\): Poderes da razão de Ouro
encontre o seguinte usando a regra de poder de ouro: a. 
