Lees eerst Limits (een inleiding)

oneindigheid is een heel speciaal idee. We weten dat we het niet kunnen bereiken, maar we kunnen nog steeds proberen de waarde uit te werken van functies die oneindig zijn.

Eén gedeeld door oneindigheid

laten we beginnen met een interessant voorbeeld.

waarom weten we het niet?

De eenvoudigste reden is dat oneindigheid geen getal is, maar een idee.

dus 1∞ is een beetje zoals 1beauty of 1tall zeggen.

misschien kunnen we zeggen dat 1∞= 0, … maar dat is ook een probleem, want als we 1 delen in oneindige stukken en ze eindigen elk 0, Wat is er gebeurd met de 1?

in feite is 1∞ niet gedefinieerd.

maar we kunnen het benaderen!

dus in plaats van te proberen om het uit te werken voor oneindigheid (omdat we geen verstandig antwoord kunnen krijgen), laten we Grotere en grotere waarden van x proberen:

x	1x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

Nu we zien dat als x groter wordt, 1x de neiging in de richting van 0

We zijn nu geconfronteerd met een interessante situatie:

• Wij kunnen niet zeggen wat er gebeurt als x krijgt tot oneindig
• Maar we kunnen zien dat 1x gaat in de richting van 0

We willen een antwoord te geven “0”, maar kan het niet, dus in plaats wiskundigen zeggen wat er precies gaande is met behulp van de speciaal woord “grens”

De limiet van 1x als x nadert tot Oneindig is 0

En schrijf het als volgt:

In andere woorden:

Als x oneindig nadert, dan nadert 1x 0

als je “limit” ziet, denk dan “approaching”

Het is een wiskundige manier om te zeggen “we hebben het niet over wanneer x=∞, maar we weten dat als x groter wordt, het antwoord dichter en dichter bij 0 komt”.

samenvatting

dus soms kan oneindigheid niet direct worden gebruikt, maar we kunnen een limiet gebruiken.

wat er gebeurt op ∞ is niet gedefinieerd …		1∞
… maar we weten wel dat 1/x 0 benadert als x oneindig	limx→∞ (1x) = 0

limieten die oneindig naderen

Wat is de limiet van deze functie als x oneindig nadert?

y = 2x

duidelijk als ” x “groter wordt, zo doet “2x”:

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
..	…

dus als” x “oneindig nadert, dan nadert” 2x ” ook oneindig. We schrijven dit:

maar laat je niet misleiden door de”=”. We kunnen eigenlijk niet tot oneindigheid komen, maar in “limit” taal is de limiet oneindig (wat eigenlijk betekent dat de functie onbeperkt is).

Oneindigheid en graad

we hebben twee voorbeelden gezien, één ging naar 0, de andere ging naar oneindigheid.

in feite zijn veel oneindige limieten eigenlijk vrij eenvoudig uit te werken, als we erachter komen “welke kant het op gaat”, als volgt:

functies zoals 1/x benadering 0 als x oneindig nadert. Dit geldt ook voor 1/x2 etc

een functie zoals x zal oneindig benaderen, evenals 2x, of x / 9 enzovoort. Ook functies met x2 of x3 etc zal ook de oneindigheid benaderen.

maar wees voorzichtig, een functie als “−x” zal “−infinity” benaderen, dus we moeten kijken naar de tekenen van x.

in feite, als we kijken naar de graad van de functie (de hoogste exponent in de functie) kunnen we vertellen wat er gaat gebeuren:

wanneer de graad van de functie is:

• groter dan 0, de limiet is oneindig (of −oneindig)
• kleiner dan 0, de limiet is 0

maar als de graad 0 of onbekend is, moeten we iets harder werken om een limiet te vinden.

rationale functies

een rationale functie is er een die de verhouding is van twee veeltermen:		f(x) = P(x)Q(x)
bijvoorbeeld, hier P(x) = x3 + 2x − 1 en Q(x) = 6×2:		x3 + 2x − 16×2

Na ons idee van de Graad van de Vergelijking, de eerste stap naar het vinden van de limiet is …

vergelijk de graad van P(x) met de graad van Q(x):

… de limiet is 0.

… deel de coëfficiënten van de termen met de grootste exponent, als volgt:

(merk op dat de grootste exponenten gelijk zijn, aangezien de graad gelijk is)

… dan is de limiet positieve oneindigheid …

… of misschien negatieve oneindigheid. We moeten naar de borden kijken!

We kunnen het teken (positief of negatief) uitwerken door te kijken naar de tekens van de termen met de grootste exponent, net als hoe we de coëfficiënten hierboven vonden:

x3 + 2x − 16×2			voor voorbeeld dit gaat naar positieve oneindigheid, omdat beide … x3 (de term met de grootste exponent bovenaan) en 6×2 (de term met de grootste exponent onderaan) … zijn positief.
−2×2 + x5x − 3		Maar dit zal het hoofd voor negatieve oneindigheid, omdat -2/5 is negatief.

een Harder Voorbeeld: “e”

Deze formule komt dichter bij de waarde van e (Euler ‘ s getal) als n toeneemt:

Op Oneindig:

weten we niet!

So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100.000	2.71827

ja, het gaat richting de waarde 2.71828… dat is e (Euler ‘ s getal)

dus weer hebben we een oneven situatie:

• We weten niet wat de waarde is als n=oneindigheid
• maar we kunnen zien dat het zich settelt naar 2.71828…

dus we gebruiken limieten om het antwoord zo te schrijven:

Het is een wiskundige manier om te zeggen “we hebben het niet over wanneer n=∞, maar we weten dat als n groter wordt, het antwoord dichter en dichter bij de waarde van e komt”.

evaluatie van grenswaarden

Ik heb tot nu toe een voorzichtige benadering van grenswaarden gevolgd en tabellen en grafieken getoond om de punten te illustreren.

maar om de waarde van een limiet te” evalueren ” (met andere woorden berekenen) kan iets meer moeite kosten. Meer informatie vindt u bij het evalueren van limieten.