enkele interessante dingen over hoeken en cirkels.
- gegraveerde hoek
- ingeschreven Hoekstellingen
- voorbeeld: Wat is de grootte van Hoek POQ? (O is het centrum van de cirkel)
- voorbeeld: Wat is de grootte van Hoek CBX?
- hoek in een halve cirkel (Stelling van Thales)
- een Andere Goede Reden Waarom Het Werkt
- voorbeeld: Wat is de grootte van Hoek BAC?
- het midden van een cirkel vinden
- Cyclische Vierhoek
- Voorbeeld: Wat is de grootte van de Hoek WXY?
gegraveerde hoek
Ten eerste een definitie:
gegraveerde hoek: een hoek gemaakt van punten die op de omtrek van de cirkel zitten.
A en C zijn “eindpunten”
B is het”apex point”
speel hier mee:
wanneer u punt “B” verplaatst, wat gebeurt er dan met de hoek?
ingeschreven Hoekstellingen
Een Ingeschreven hoek A° is de helft van de centrale hoek 2a°
(De Hoek bij de middelste stelling genoemd)
en (waarbij de eindpunten vast blijven) …
… de hoek A° is altijd hetzelfde,
maakt niet uit waar het zich op dezelfde boog tussen eindpunten bevindt:
Hoek a° is hetzelfde.
(genoemd de hoeken onder dezelfde Boogstelling)
voorbeeld: Wat is de grootte van Hoek POQ? (O is het centrum van de cirkel)
hoek POQ = 2 × hoek PRQ = 2 × 62° = 124°
voorbeeld: Wat is de grootte van Hoek CBX?
hoek ADB = 32° is ook gelijk aan Hoek ACB.
en hoek ACB is ook gelijk aan Hoek XCB.
dus in driehoek BXC weten we hoek BXC = 85°, en hoek XCB = 32°
Gebruik nu hoeken van een driehoek voeg toe aan 180° :
hoek in een halve cirkel (Stelling van Thales)
een hoek gegraveerd over de diameter van een cirkel is altijd een rechte hoek:
(de eindpunten zijn ofwel het einde van de diameter van een cirkel,
het punt kan overal op de omtrek.)
|
waarom? Omdat: De ingesloten hoek van 90° met de helft is van de middelpuntshoek op 180° (Gebruik “Hoek in het Midden Stelling” hierboven) |
 |
een Andere Goede Reden Waarom Het Werkt
We kunnen ook draai de vorm rond 180° te maken van een rechthoek!
het is een rechthoek, omdat alle zijden parallel zijn, en beide diagonalen gelijk zijn.
en dus zijn de interne hoeken alle rechte hoeken (90°).
dus daar gaan we! Het maakt niet uit waar die hoek
is op de omtrek, het is altijd 90°
voorbeeld: Wat is de grootte van Hoek BAC?
De Hoek in de Stelling van een halve cirkel vertelt ons dat hoek ACB = 90°
Gebruik nu hoeken van een driehoek voeg toe aan 180° om Hoek BAC te vinden:
het midden van een cirkel vinden
We kunnen dit idee gebruiken om het midden van een cirkel te vinden:
- teken een rechte hoek van overal op de cirkelomtrek, teken dan de diameter waar de twee benen de cirkel raken
- doe dat opnieuw, maar voor een andere diameter
waar de diameters kruis het midden is!
Cyclische Vierhoek
|
Een “Cyclisch” Vierhoek heeft elke vertex op een cirkel de omtrek van: |
 |
|
Een Cyclisch Vierhoek ‘ s tegenover elkaar liggende hoeken, toevoegen aan 180°:
|
 |
Voorbeeld: Wat is de grootte van de Hoek WXY?
Opposite angles of a cyclic quadrilateral add to 180°