mobiele notitie tonen Toon alle notities Verberg alle notities
sectie 3-4 : De definitie van een functie
We moeten nu naar het tweede onderwerp van dit hoofdstuk gaan. Voordat we dat doen moeten we echter een snelle definitie verzorgd.
definitie van relatie
een relatie is een verzameling van geordende paren.
Dit lijkt een oneven definitie maar we zullen het nodig hebben voor de definitie van een functie (wat het hoofdonderwerp van deze sectie is). Echter, voordat we de definitie van een functie geven, laten we eens kijken of we een greep kunnen krijgen op wat een relatie is.
denk terug aan Voorbeeld 1 in de grafische sectie van dit hoofdstuk. In dat voorbeeld hebben we een verzameling van geordende paren geconstrueerd die we gebruikten om de grafiek van \(y = {\left( {x – 1} \right)^2} – 4\) te schetsen. Hier zijn de bestelde paren die we hebben gebruikt.
\
elk van de volgende zijn dan relaties omdat ze bestaan uit een verzameling van geordende paren.
\
er zijn natuurlijk veel meer relaties die we zouden kunnen vormen uit de lijst van geordende paren hierboven, maar we wilden alleen een paar mogelijke relaties noemen om enkele voorbeelden te geven. Merk ook op dat we ook andere geordende paren uit de vergelijking kunnen krijgen en die in een van de bovenstaande relaties kunnen toevoegen als we dat zouden willen.
nu, op dit moment vraag je je waarschijnlijk af waarom we om relaties geven en dat is een goede vraag. Sommige relaties zijn zeer speciaal en worden gebruikt op bijna alle niveaus van de wiskunde. De volgende definitie vertelt ons precies welke relaties deze speciale relaties zijn.
definitie van een functie
een functie is een relatie waarbij elke waarde uit de verzameling de eerste componenten van de geordende paren wordt geassocieerd met precies één waarde uit de verzameling van de tweede componenten van het geordende paar.
Oké, dat is een mond vol. Laten we eens kijken wat het precies betekent. Laten we eens kijken naar het volgende voorbeeld dat ons hopelijk zal helpen dit allemaal uit te zoeken.
van deze geordende paren hebben we de volgende sets van eerste componenten (dat wil zeggen het eerste nummer van elk geordend paar) en tweede componenten (dat wil zeggen het tweede nummer van elk geordend paar).
\
voor de set van tweede componenten merk op dat de” -3 ” in twee geordende paren voorkwam, maar we hebben het slechts één keer vermeld.
om te zien waarom deze relatie een functie is, kies gewoon een waarde uit de set van eerste componenten. Ga nu terug naar de relatie en vind elk geordend paar waarin dit nummer de eerste component is en vermeld alle Tweede componenten van die geordende paren. De lijst van tweede componenten zal uit precies één waarde bestaan.
bijvoorbeeld, laten we 2 kiezen uit de set van eerste componenten. Uit de relatie zien we dat er precies één geordend paar is met 2 als eerste component,\(\left( {2, – 3} \right)\). Daarom is de lijst van tweede componenten (d.w.z. de lijst van waarden uit de set van tweede componenten) geassocieerd met 2 is precies één nummer, -3.
merk op dat het ons niet kan schelen dat -3 de tweede component is van een tweede geordende par in de relatie. Dat is volkomen aanvaardbaar. We willen gewoon niet dat er meer dan één besteld paar met 2 als eerste component.
we hebben gekeken naar een enkele waarde uit de set van eerste componenten voor ons snelle voorbeeld hier, maar het resultaat zal hetzelfde zijn voor alle andere keuzes. Ongeacht de keuze van de eerste componenten zal er precies een tweede component geassocieerd met het.
daarom is deze relatie een functie.
om echt een idee te krijgen van wat de definitie van een functie ons vertelt, moeten we waarschijnlijk ook een voorbeeld bekijken van een relatie die geen functie is.
maak je geen zorgen over waar deze relatie vandaan kwam. Het is slechts een voorbeeld dat we hebben goedgemaakt voor dit voorbeeld.
Hier is de lijst van eerste en tweede componenten
\
uit de set van eerste componenten laten we 6 Kiezen. Nu, als we naar de relatie gaan zien we dat er twee geordende paren zijn met 6 als eerste component : \(\left( {6,10} \right)\) en \(\left( {6, – 4} \right)\). De lijst van de tweede componenten geassocieerd met 6 is dan: 10, -4.
de lijst van tweede componenten geassocieerd met 6 heeft twee waarden en dus is deze relatie geen functie.
merk op dat het feit dat als we -7 of 0 hadden gekozen uit de set van eerste componenten er slechts één nummer is in de lijst van tweede componenten die aan elk ervan zijn gekoppeld. Dit doet er niet toe. Het feit dat we zelfs maar een enkele waarde vonden in de verzameling van eerste componenten met meer dan een tweede component erbij is voldoende om te zeggen dat deze relatie geen functie is.
als laatste opmerking over dit voorbeeld laten we opmerken dat als we het eerste en/of vierde geordende paar uit de relatie zouden verwijderen we een functie zouden hebben!
dus hopelijk heb je tenminste een gevoel voor wat de definitie van een functie ons vertelt.
nu we je hebben gedwongen om door de werkelijke definitie van een functie te gaan, geven we een andere “werkende” definitie van een functie die veel nuttiger zal zijn voor wat we hier doen.
de werkelijke definitie werkt op een relatie. Echter, zoals we zagen met de vier relaties die we gaven voorafgaand aan de definitie van een functie en de relatie die we gebruikten in Voorbeeld 1 krijgen we vaak de relaties uit een vergelijking.
Het is belangrijk op te merken dat niet alle relaties uit vergelijkingen komen! De relatie uit het tweede voorbeeld bijvoorbeeld was gewoon een set van geordende paren die we voor het voorbeeld hebben opgeschreven en niet uit een vergelijking kwamen. Dit kan ook waar zijn met relaties die functies zijn. Ze hoeven niet uit vergelijkingen te komen.
echter, de functies die we gaan gebruiken in deze cursus komen allemaal uit vergelijkingen. Laten we daarom een definitie opschrijven van een functie die dit feit erkent.
voordat we de “werkende” definitie van een functie geven, moeten we erop wijzen dat dit niet de werkelijke definitie van een functie is, die hierboven is gegeven. Dit is gewoon een goede “werkdefinitie” van een functie die dingen verbindt met het soort functies waarmee we in deze cursus zullen werken.
“werkdefinitie” van functie
een functie is een vergelijking waarvoor elke \(x\) die in de vergelijking kan worden gestopt precies één \(y\) uit de vergelijking zal opleveren.
daar is het. Dat is de definitie van functies die we gaan gebruiken en zal waarschijnlijk gemakkelijker te ontcijferen wat het betekent.
voordat we dit onderzoeken, merk nog op dat we de zin “\(x\) die kan worden ingeplugd” in de definitie hebben gebruikt. Dit heeft de neiging om te impliceren dat niet alle \(x\)’s kunnen worden aangesloten op een vergelijking en dit is in feite correct. We komen terug en bespreken dit in meer detail tegen het einde van deze sectie, maar onthoud op dit punt dat we niet kunnen delen door nul en als we reële getallen uit de vergelijking willen kunnen we niet de vierkantswortel van een negatief getal nemen. Dus, met deze twee voorbeelden is het duidelijk dat we niet altijd in staat zullen zijn om elke \(x\) in een vergelijking te stoppen.
verder gaan we er bij het omgaan met functies altijd vanuit dat zowel \(x\) als \(y\) reële getallen zullen zijn. Met andere woorden, we gaan vergeten dat we iets weten over complexe getallen voor een beetje terwijl we omgaan met deze sectie.
oké, met dat uit de weg laten we teruggaan naar de definitie van een functie en laten we eens kijken naar enkele voorbeelden van vergelijkingen die functies zijn en vergelijkingen die geen functies zijn.
- \(y = 5x + 1\)
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
Toon alle oplossingen Verberg alle oplossingen
(X\) en steek ze in de vergelijking en los voor\ (y\) we krijgen precies één waarde voor elke waarde van\ (x\). In dit stadium van het spel kan het vrij moeilijk zijn om daadwerkelijk aan te tonen dat een vergelijking een functie is, dus we zullen ons er meestal doorheen praten. Aan de andere kant is het vaak vrij gemakkelijk om aan te tonen dat een vergelijking geen functie is.
A \(y = 5x + 1\) toon oplossing
dus moeten we laten zien dat ongeacht wat \(x\) we in de vergelijking stoppen en oplossen voor \(y\) we slechts een enkele waarde van \(y\) krijgen. Merk ook op dat de waarde van \(y\) waarschijnlijk verschillend zal zijn voor elke waarde van \(x\), al hoeft dat niet zo te zijn.
laten we beginnen met het inpluggen van een aantal waarden van \(x\) en kijken wat er gebeurt.
\
dus, voor elk van deze waarden van \(x\) kregen we een enkele waarde van \(y\) uit de vergelijking. Dit is niet voldoende om te beweren dat dit een functie is. Om officieel te bewijzen dat dit een functie is moeten we laten zien dat dit werkt ongeacht welke waarde van \(x\) we in de vergelijking stoppen.
natuurlijk kunnen we niet alle mogelijke waarde van \(x\) in de vergelijking stoppen. Dat is fysiek niet mogelijk. Echter, laten we teruggaan en kijken naar degenen die we hebben aangesloten. Voor elke \(x\) hebben we bij het inpluggen eerst de \(x\) vermenigvuldigd met 5 en er vervolgens 1 Aan toegevoegd. Nu, als we een getal vermenigvuldigen met 5 krijgen we een enkele waarde van de vermenigvuldiging. Op dezelfde manier krijgen we slechts een enkele waarde als we 1 op een getal optellen. Daarom lijkt het aannemelijk dat op basis van de operaties die betrokken zijn bij het inpluggen van \(x\) in de vergelijking dat we slechts een enkele waarde van \(y\) uit de vergelijking krijgen.
dus, deze vergelijking is een functie.
b \(y = {x^2} + 1\) toon oplossing
opnieuw, laten we een paar waarden van \(x\) inpluggen en oplossen voor \(y\) om te zien wat er gebeurt.
\
nu, laten we een beetje nadenken over wat we deden met de evaluaties. Eerst kwadraten we de waarde van \(x\) die we inpluggen. Als we een getal kwadrateren zal er maar één mogelijke waarde zijn. We tellen er dan 1 bij op, maar nogmaals, dit levert een enkele waarde op.
dus, het lijkt erop dat deze vergelijking ook een functie is.
merk op dat het goed is om dezelfde \(y\) waarde te krijgen voor verschillende \(x\)’s. bijvoorbeeld,
\
We kunnen gewoon niet meer dan één \(y\) uit de vergelijking halen nadat we de \(x\) hebben ingeplugd.
c \({y^2} = x + 1\) toon oplossing
zoals we hebben gedaan met de vorige twee vergelijkingen laten we een paar waarde \(x\) inpluggen, oplossen voor \(y\) en zien wat we krijgen.
\
onthoud nu dat we oplossen voor \(y\) en dat betekent dus dat we in het eerste en laatste geval hierboven eigenlijk twee verschillende \(y\) waarden uit de \(x\) krijgen en dus is deze vergelijking geen functie.
merk op dat we waarden van \(x\) kunnen hebben die een enkele \(y\) opleveren zoals we hierboven hebben gezien, maar dat maakt niet uit. Als zelfs één waarde van \(x\) meer dan één waarde van \(y\) oplevert bij het oplossen van de vergelijking zal geen functie zijn.
wat dit echt betekent is dat we niet verder hoeven te gaan dan de eerste evaluatie, omdat dat meerdere waarden van \(y\) opleverde.
d \({x^2} + {y^2} = 4\) Toon oplossing
met dit geval zullen we de les uit het vorige deel gebruiken en kijken of we een waarde van \(x\) kunnen vinden die meer dan één waarde van \(y\) geeft bij het oplossen. Omdat we een y2 in het probleem hebben zou dit niet al te moeilijk moeten zijn omdat oplossen uiteindelijk betekent dat je de vierkantswortel eigenschap gebruikt die meer dan één waarde van \(y\) zal geven.
\
dus, deze vergelijking is geen functie. Terugroepen, dat uit de vorige sectie is dit de vergelijking van een cirkel. Cirkels zijn nooit functies.
hopelijk hebben deze voorbeelden je een beter gevoel gegeven voor wat een functie eigenlijk is.
We moeten nu naar een zogenaamde functienotatie gaan. Functie notatie zal zwaar worden gebruikt in de meeste van de resterende hoofdstukken in deze cursus en dus is het belangrijk om het te begrijpen.
laten we beginnen met de volgende kwadratische vergelijking.
\
we kunnen een proces gebruiken dat vergelijkbaar is met wat we in de vorige set voorbeelden gebruikten om onszelf ervan te overtuigen dat dit een functie is. Aangezien dit een functie is, geven we deze als volgt aan,
\
dus hebben we de \(y\) vervangen door de notatie \(F\left( x \right)\). Dit wordt gelezen als ” f van \(x\)”. Merk op dat er niets bijzonders is aan de \(f\) die we hier hebben gebruikt. We hadden gewoon gemakkelijk een van de volgende dingen kunnen gebruiken,
\
De letter die we gebruiken doet er niet toe. Wat belangrijk is, is het” \(\left (x \ right)\) ” gedeelte. De letter tussen haakjes moet overeenkomen met de variabele die aan de rechterkant van het gelijkteken wordt gebruikt.
Het is heel belangrijk om op te merken dat \(f\left( x \right)\) eigenlijk niets meer is dan een heel mooie manier om \(y\) te schrijven. Als je dat in gedachten houdt kun je merken dat het omgaan met functie notatie wordt een beetje makkelijker.
ook is dit geen vermenigvuldiging van \(f\) met \(x\)! Dit is een van de meest voorkomende fouten die mensen maken wanneer ze voor het eerst te maken met functies. Dit is gewoon een notatie die gebruikt wordt om functies aan te duiden.
vervolgens moeten we het hebben over het evalueren van functies. Het evalueren van een functie is eigenlijk niets meer dan vragen wat zijn waarde is voor specifieke waarden van \(x\). Een andere manier om er naar te kijken is dat we vragen wat de \(y\) waarde is voor een gegeven \(x\).
evaluatie is eigenlijk heel eenvoudig. Laten we de functie nemen waar we boven
\
naar keken en vragen wat de waarde is voor \(x = 4\). In termen van functienotatie zullen we dit “vragen” met behulp van de notatie \(F\left( 4 \right)\). Dus, als er iets anders is dan de variabele binnen de haakjes, vragen we eigenlijk wat de waarde van de functie is voor die bepaalde hoeveelheid.
als we nu de waarde van de functie zeggen, vragen we eigenlijk wat de waarde van de vergelijking is voor die specifieke waarde van \(x\). Hier is \(f \ links (4 \rechts)\).
\
merk op dat het evalueren van een functie wordt gedaan op precies dezelfde manier waarop we vergelijkingen evalueren. Alles wat we doen is inpluggen voor \(x\) wat zich aan de binnenkant van de haakjes aan de linkerkant bevindt. Hier is nog een evaluatie voor deze functie.
\
dus, nogmaals, wat zich aan de binnenkant van de haakjes aan de linkerkant bevindt, wordt ingeplugd voor \(x\) in de vergelijking aan de rechterkant. Laten we eens kijken naar een aantal meer voorbeelden.
- \f\left( 3 \right)\) en \(g\left( 3 \right)\)
- \f\left( { – 10} \right)\) en \(g\left( { – 10} \right)\)
- \f\left( 0 \right)\)
- \f\left( t \right)\)
- \f\left( {t + 1} \right)\) en \(f\left( {x + 1} \right)\)
- \f\left( {{x^3}} \right)\)
- \(g\left( {{x^2} – 5} \right)\)
Toon Alle Oplossingen Verbergen Alle Oplossingen
Oke we hebben twee functie-evaluaties te doen hier en we hebben ook twee functies dus gaan we nodig hebben om te bepalen welke functie te gebruiken voor de evaluaties. De sleutel hier is om de letter die voor de haakjes staat op te merken. Voor \(F \ left(3 \right)\) gebruiken we de functie \(f\left(x \right)\) en voor \(g\left(3 \right)\) gebruiken we \(g\left (x \right)\). Met andere woorden, we moeten er gewoon voor zorgen dat de variabelen overeenkomen.
Hier zijn de evaluaties voor dit deel.
\
b \(f \left ({- 10}\ right)\) en\(g \left ({- 10}\ right)\) Toon oplossing
deze is vrijwel hetzelfde als het vorige deel met één uitzondering die we zullen aanraken wanneer we dat punt bereiken. Hier zijn de evaluaties.
\
zorg ervoor dat u hier goed omgaat met de negatieve tekens. Nu de tweede.
\
we hebben nu het verschil bereikt. Bedenk dat toen we voor het eerst begonnen te praten over de definitie van functies we verklaarden dat we alleen te maken hadden met reële getallen. Met andere woorden, We plug alleen reële getallen in en we willen alleen echte getallen terug als antwoorden. Dus omdat we hier een complex getal uit halen, kunnen we -10 niet in deze functie stoppen.
c \(F \left (0\ right)\) Toon oplossing
niet veel aan deze.
\
nogmaals, vergeet niet dat dit geen vermenigvuldiging is! Om de een of andere reden zien studenten dit graag als vermenigvuldiging en krijgen een antwoord van nul. Wees voorzichtig.
d \(F \left (t\ right)\) Toon oplossing
de rest van deze evaluaties zullen nu iets anders zijn. Zoals deze laat zien hoeven we niet alleen getallen tussen haakjes te hebben. Evaluatie werkt echter op precies dezelfde manier. We steken in de \(x\)’s aan de rechterkant van het gelijkteken wat er tussen de haakjes staat. In dit geval betekent dat dat we \(t\) voor alle \(x\)’S inpluggen.
Hier is deze evaluatie.
\
merk op dat dit in dit geval vrijwel hetzelfde is als onze oorspronkelijke functie, behalve dat we deze keer \(t\) als variabele gebruiken.
e \(F \left ({t + 1}\ right)\) en\(f \left ({x + 1}\ right)\) Toon oplossing
nu, laten we iets ingewikkelder worden, of ze lijken tenminste ingewikkelder. De dingen zijn echter niet zo slecht als ze lijken. We zullen eerst \(F\left( {t + 1} \right)\) evalueren. Deze werkt precies hetzelfde als het vorige deel. Alle \(x\)’s aan de linkerkant worden vervangen door \(t + 1\). Na de vervanging moeten we ook nog wat vereenvoudigen.
\
wees voorzichtig met haakjes in dit soort evaluaties. Het is gemakkelijk om ze te verpesten.
laten we nu eens kijken naar \(F\left( {x + 1} \right)\). Met uitzondering van de \(x\) is dit identiek aan \(f\left( {t + 1} \right)\) en dus werkt het precies op dezelfde manier.
\
raak niet opgewonden over het feit dat we \(x\)’s hergebruikt hebben in de evaluatie hier. Op veel plaatsen waar we dit in latere secties gaan doen zullen er \(x\)’s zijn en dus zul je er aan moeten wennen om dat te zien.
f \(f \ left ({{x^3}} \ right)\) Toon oplossing
opnieuw, raak hier niet opgewonden over de \(x\)’s tussen de haakjes. Evalueer het gewoon alsof het een getal is.
\
g \(g \ left ({{x^2} – 5} \ right)\) Toon oplossing
nog een evaluatie en deze keer gebruiken we de andere functie.
\
functie evaluatie is iets dat we veel zullen doen in latere secties en hoofdstukken, dus zorg ervoor dat je het kunt doen. U zult verschillende latere secties zeer moeilijk te begrijpen vinden en / of het werk in doen als u geen goed begrip hebt van hoe functie-evaluatie werkt.
terwijl we het over functie-evaluatie hebben, moeten we het nu hebben over stuksgewijze functies. We hebben eigenlijk al een voorbeeld gezien van een stuksgewijze functie, zelfs als we het op dat moment geen functie (of een stuksgewijze functie) noemden. Denk aan de wiskundige definitie van absolute waarde.
\
Dit is een functie en als we functie notatie gebruiken kunnen we het als volgt schrijven,
\
Dit is ook een voorbeeld van een stuksgewijze functie. Een stuksgewijze functie is niets meer dan een functie die in stukken is gebroken en welk stuk je gebruikt hangt af van de waarde van \(x\). Dus, in het absolute waarde voorbeeld zullen we het bovenste stuk gebruiken als \(x\) positief of nul is en we zullen het onderste stuk gebruiken als \(x\) negatief is.
laten we eens kijken naar het evalueren van een meer gecompliceerde stuksgewijze functie.
evalueer elk van de volgende punten.
- \(g\left( { – 6} \right)\)
- \(g\left( { – 4} \right)\)
- \(g\left( 1 \right)\)
- \(g\left( {15} \right)\)
- \(g\left( {21} \right)\)
Toon alle oplossingen Verberg alle oplossingen
voordat we beginnen met de evaluaties hier laten we opmerken dat we verschillende letters gebruiken voor de functie en variabele dan degene die we tot nu toe hebben gebruikt. Dat zal niet veranderen hoe de evaluatie werkt. Raak niet zo verstrikt in het zien van \(f\) voor de functie en \(x\) voor de variabele dat je geen probleem kunt doen zonder die letters.
nu, om elk van deze evaluaties te doen is het eerste wat we moeten doen bepalen welke ongelijkheid het getal voldoet, en het zal slechts voldoen aan een enkele ongelijkheid. Wanneer we bepalen welke ongelijkheid het aantal voldoet gebruiken we de vergelijking die is gekoppeld aan die ongelijkheid.
dus, laten we wat evaluaties doen.
A \(G\left( { – 6} \right)\) Toon oplossing
in dit geval voldoet -6 aan de hoogste ongelijkheid en dus zullen we de bovenste vergelijking gebruiken voor deze evaluatie.
\
b \(g \left ({- 4}\ right)\) Toon oplossing
nu moeten we een beetje voorzichtig zijn met deze omdat -4 verschijnt in twee van de ongelijkheden. Echter, het voldoet alleen aan de top ongelijkheid en dus zullen we opnieuw gebruik maken van de top functie voor de evaluatie.
\
c \(G \left (1\ right)\) Toon oplossing
In dit geval voldoet het getal 1 Aan de middelste ongelijkheid en dus gebruiken we de middelste vergelijking voor de evaluatie. Deze evaluatie veroorzaakt vaak problemen voor studenten, ondanks het feit dat het eigenlijk een van de makkelijkste evaluaties die we ooit zullen doen. We weten dat we functies/vergelijkingen evalueren door het getal voor de variabele in te pluggen. In dit geval zijn er geen variabelen. Dat is geen probleem. Omdat er geen variabelen zijn, betekent dit dat we eigenlijk niets inpluggen en krijgen we het volgende,
\
d \(G\left( {15} \right)\) Toon oplossing
opnieuw, zoals bij het tweede deel moeten we een beetje voorzichtig zijn met dit deel. In dit geval voldoet het getal aan de middelste ongelijkheid omdat dat het getal is met het gelijke teken erin. Dan net als het vorige deel krijgen we gewoon,
\
raak niet opgewonden over het feit dat de vorige twee evaluaties dezelfde waarde waren. Dit zal af en toe gebeuren.
e \(G \left ({21}\ right)\) Toon oplossing
voor de eindevaluatie in dit voorbeeld voldoet het getal aan de onderste ongelijkheid en dus gebruiken we de onderste vergelijking voor de evaluatie.
\
stuksgewijze functies komen niet vaak voor in een Algebra-klasse, maar ze ontstaan wel op verschillende plaatsen in latere klassen en daarom is het belangrijk dat je ze begrijpt als je naar meer wiskundeklassen gaat.
als laatste onderwerp moeten we terugkomen en ingaan op het feit dat we niet altijd elke \(x\) in elke functie kunnen pluggen. We spraken hier kort over toen we de definitie van de functie gaven en we zagen een voorbeeld hiervan toen we functies evalueerden. We moeten hier nu wat meer naar kijken.
eerst moeten we een paar definities uit de weg ruimen.
domein en bereik
het domein van een vergelijking is de verzameling van alle \(x\)’s die we in de vergelijking kunnen stoppen en een reëel getal voor \(y\) terug kunnen krijgen. Het bereik van een vergelijking is de verzameling van alle \(y\)’s die we ooit uit de vergelijking kunnen halen.
merk op dat we de vergelijking in de bovenstaande definities wilden gebruiken in plaats van functies. Dit zijn echt definities voor vergelijkingen. Omdat functies echter ook vergelijkingen zijn, kunnen we ook de definities voor functies gebruiken.
het bepalen van het bereik van een vergelijking / functie kan vrij moeilijk zijn om te doen voor veel functies en dus gaan we daar niet echt op ingaan. We zijn hier veel meer geïnteresseerd in het bepalen van de domeinen van functies. Uit de definitie is het domein de verzameling van alle \(x\)’s die we in een functie kunnen steken en een reëel getal terug kunnen krijgen. Op dit punt betekent dat dat we deling door nul en het nemen van vierkantswortels van negatieve getallen moeten vermijden.
laten we een paar voorbeelden geven van het vinden van domeinen.
- \(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\)
- \f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \)
- \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\)
Toon Alle Oplossingen Verbergen Alle Oplossingen
De domeinen voor deze functies zijn de waarden van \(x\) voor die we niet hebben deling door nul of de vierkantswortel van een negatief getal. Als we onthouden deze twee ideeën het vinden van de domeinen zal vrij gemakkelijk zijn.
a \(\displaystyle g\left (x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\) Toon oplossing
dus, in dit geval zijn er geen vierkantswortels dus hoeven we ons geen zorgen te maken over de vierkantswortel van een negatief getal. Er is echter een mogelijkheid dat we een verdeling door nul fout hebben. Om te bepalen of we zullen moeten we de noemer gelijk aan nul en oplossen.
\
dus we krijgen deling door nul als we \(x = – 5\) of \(x = 2\) inpluggen. Dat betekent dat we die twee nummers moeten vermijden. Echter, alle andere waarden van \(x\) zullen werken omdat ze geen deling door nul geven. Het domein is dan,
\
b \(f \left (x \right) = \ sqrt {5 – 3x}\) Toon oplossing
In dit geval hebben we geen deling door nul problemen omdat we geen breuken hebben. We hebben een vierkantswortel in het probleem en dus moeten we ons zorgen maken over het nemen van de vierkantswortel van een negatieve getallen.
Deze gaat iets anders werken dan het vorige deel. In dat deel bepaalden we de waarde(s) van \(x\) om te vermijden. In dit geval zal het net zo gemakkelijk zijn om het domein direct te krijgen. Om vierkantswortels van negatieve getallen te vermijden hoeven we alleen maar te eisen dat
\
dit een vrij eenvoudige lineaire ongelijkheid is die we op dit punt zouden moeten kunnen oplossen.
\
het domein van deze functie is dan,
\
c \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\) Toon oplossing
in dit geval hebben we een breuk, maar merk op dat de noemer nooit nul zal zijn voor een reëel getal omdat x2 gegarandeerd positief of nul is en het optellen van 4 betekent dat de noemer is altijd minstens 4. Met andere woorden, de noemer zal nooit nul zijn. Het enige wat we dan moeten doen is ons zorgen maken over de wortel in de teller.
hiervoor hebben we nodig,
\
nu kunnen we eigenlijk elke waarde van \(x\) in de noemer steken, maar omdat we de vierkantswortel in de teller hebben moeten we ervoor zorgen dat alle \(x\)’s voldoen aan de ongelijkheid hierboven om problemen te voorkomen. Daarom is het domein van deze functie
\
d \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) Toon oplossing
in dit laatste deel hebben we zowel een vierkantswortel als een deling door nul om ons zorgen over te maken. Laten we eerst voor de vierkantswortel zorgen omdat dit waarschijnlijk de grootste beperking zal geven aan de waarden van \(x\). Dus, om de vierkantswortel gelukkig te houden (dus geen vierkantswortel van negatieve getallen) moeten we dat vereisen,
\
dus, op zijn minst moeten we dat \(x \ge \frac{1}{2}\) vereisen om problemen met de vierkantswortel te voorkomen.
nu, laten we eens kijken of we delen door nul problemen hebben. Nogmaals, om dit te doen, stel gewoon de noemer gelijk aan nul en los.
\
merk nu op dat \(x = – 4\) niet voldoet aan de ongelijkheid die we nodig hebben voor de vierkantswortel en dus is de waarde van \(x\) al uitgesloten door de vierkantswortel. Aan de andere kant voldoet \(x = 4\) wel aan de ongelijkheid. Dit betekent dat het goed is om \(x = 4\) in de vierkantswortel te steken, maar omdat het deling door nul zou geven, moeten we het vermijden.
het domein voor deze functie is dan,
\