een bekende en belangrijke reeks is de Fibonacci-reeks, vernoemd naar de Italiaanse wiskundige Leonardo Pisano, wiens bijnaam Fibonacci was, en die leefde van 1170 tot 1230. Deze reeks is:

\

Deze reeks wordt recursief gedefinieerd. Dit betekent dat elke term wordt gedefinieerd door de vorige termen.

enzovoort.

De Fibonacci-reeks wordt gedefinieerd door , voor alle , wanneer en .

met andere woorden, Voeg de twee voorgaande termen toe om de volgende term in de reeks te krijgen.

\

de notatie die we zullen gebruiken om de Fibonacci-reeks weer te geven is als volgt:

\

voorbeeld \(\Paginindex{1}\): recursief Fibonacci-getallen vinden

Zoek de 13e, 14e en 15e Fibonacci-getallen met behulp van de bovenstaande recursieve definitie voor de Fibonacci-reeks.

ten eerste, merk op dat er al 12 Fibonacci-getallen hierboven zijn vermeld, dus om de volgende drie Fibonacci-getallen te vinden, voegen we gewoon de twee voorgaande termen toe om de volgende term te krijgen zoals de definitie zegt.

daarom zijn de 13e, 14e en 15e Fibonacci-nummers respectievelijk 233, 377 en 610.

Het berekenen van termen van de Fibonacci-reeks kan vervelend zijn bij het gebruik van de recursieve formule, vooral bij het vinden van termen met een grote n. Gelukkig ontdekte een wiskundige genaamd Leonhard Euler een formule voor het berekenen van een Fibonacci-getal. Deze formule ging ongeveer 100 jaar verloren en werd herontdekt door een andere wiskundige genaamd Jacques Binet. De originele formule, bekend als de formule van Binet, is hieronder.

formule van Binet: het n-de Fibonacci-getal wordt gegeven door de volgende formule:

\}{\sqrt{5}}\]

De formule van Binet is een voorbeeld van een expliciet gedefinieerde reeks. Dit betekent dat de voorwaarden van de reeks niet afhankelijk zijn van eerdere voorwaarden.

een enigszins gebruiksvriendelijke, vereenvoudigde versie van de formule van Binet wordt soms gebruikt in plaats van de bovenstaande.

Binet ‘ s vereenvoudigde formule: het n-de Fibonacci-getal wordt gegeven door de volgende formule:

Opmerking: Het symbool betekent “rond naar het dichtstbijzijnde gehele getal.”

voorbeeld \(\Paginindex{2}\): expliciet

Zoek de waarde van met behulp van de vereenvoudigde formule van Binet.

Example \(\PageIndex{3}\): Finding Explicitly

Find the value of using Binet’s simplified formula.

Example \(\PageIndex{4}\): Finding Explicitly

Find the value of using Binet’s simplified formula.

All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. Het aantal takken van sommige bomen of het aantal bloemblaadjes van enkele madeliefjes zijn vaak Fibonacci-getallen

Figuur \(\Pagina{4}\): Fibonacci-Getallen en Madeliefjes

een. Daisy met 13 bloemblaadjes b. Daisy met 21 bloemblaadjes

een. b.

(Madeliefjes, n.d.)

Fibonacci nummers verschijnen ook in de spiraal van groei patronen zoals het aantal spiralen van een cactus of in zonnebloemen zaad bedden.

figuur \(\Paginindex{5}\): Fibonacci-getallen en spiraalvormige groei

a. Cactus met 13 spiralen met de klok mee B. Zonnebloem met 34 spiralen met de klok mee en 55 spiralen met de klok mee

a. b.

(Cactus, n.d.) (Zonnebloem, n.d.)

een ander interessant feit doet zich voor als we kijken naar de verhoudingen van opeenvolgende Fibonacci-getallen.

het lijkt erop dat deze ratio ‘ s een getal naderen. Het getal waar deze verhoudingen dichter bij komen is een speciaal getal dat de gulden snede wordt genoemd en dat wordt aangeduid met (de Griekse letter phi). Je hebt dit getal gezien in de formule van Binet.

De Gulden Snede:

\

De Gulden Snede heeft de decimale benadering van \(\phi=1.6180339887\).

De gulden snede is om verschillende redenen een speciaal getal. Het wordt ook wel de goddelijke proportie genoemd en het verschijnt in kunst en architectuur. Sommigen beweren dat het de meest aangename verhouding tot het oog. Om deze verhouding te vinden, snijden de Grieken een lengte in twee delen, en laten het kleinere stuk gelijk aan een eenheid. De meest aangename snede is wanneer de verhouding van de gehele lengte tot het lange stuk dezelfde is als de verhouding van het lange stuk tot het korte stuk 1.

1

cross-vermenigvuldig te krijgen

herschikken te krijgen

oplossen van deze kwadratische vergelijking met de abc-formule.

De gulden snede is een oplossing voor de kwadratische vergelijking wat betekent dat het de eigenschap heeft . Dit betekent dat als je de gulden snede wilt kwadrateren, je er gewoon één aan toevoegt. Om dit te controleren, plug je gewoon in.

het werkte!

een andere interessante relatie tussen de gulden snede en de Fibonacci-reeks treedt op bij het nemen van krachten van .

enzovoort.

merk op dat de coëfficiënten van en de aan de toegevoegde getallen Fibonacci-getallen zijn. Dit kan worden veralgemeend naar een formule die bekend staat als de Golden Power Rule.

gouden Machtregel: \(\phi^{n} = f_{n} \ phi + f_{n-1}\)

waarbij\(f_{n}\) het nde Fibonacci-getal is en \(\phi\) de gulden snede is.

voorbeeld \(\Paginindex{5}\): machten van de gulden snede

zoek het volgende met behulp van de gouden machtregel: a. en b.

1. 

1.