En kjent og viktig sekvens er Fibonacci-sekvensen, oppkalt etter den italienske matematikeren Kjent som Leonardo Pisano, hvis kallenavn Var Fibonacci, og som levde fra 1170 til 1230. Denne sekvensen er:
\
denne sekvensen er definert rekursivt. Dette betyr at hvert begrep er definert av de tidligere vilkårene.
og så videre.
Fibonacci-sekvensen er definert av
Med andre ord, for å få neste term i sekvensen, legg til de to foregående vilkårene.notasjonen som vi vil bruke til å representere Fibonacci-sekvensen er som følger:
\
Eksempel \(\PageIndex{1}\): Finne Fibonacci-Tall Rekursivt
Finn 13., 14. og 15. Fibonacci-tall ved å bruke den rekursive definisjonen ovenfor for Fibonacci-sekvensen.legg Først merke til at det allerede er 12 Fibonacci-tall oppført ovenfor, så for å finne de neste Tre Fibonacci-tallene, legger vi ganske enkelt til de to foregående vilkårene for å få neste term som definisjonen sier.
Derfor Er De 13., 14. og 15. Fibonacci-tallene henholdsvis 233, 377 og 610.Beregning av vilkår For Fibonacci-sekvensen kan være kjedelig når du bruker rekursiv formel, spesielt når du finner vilkår med en stor n. Heldigvis oppdaget en matematiker Ved Navn Leonhard Euler en formel for å beregne Noe Fibonacci-tall. Denne formelen ble tapt i ca 100 år og ble gjenoppdaget av En annen matematiker Ved navn Jacques Binet. Den opprinnelige formelen, kjent Som Binets formel, er under.
Binets Formel: Det nte Fibonacci-tallet er gitt med følgende formel:
\}{\sqrt{5}}\]
Binets formel er et eksempel på en eksplisitt definert sekvens. Dette betyr at vilkårene i sekvensen ikke er avhengige av tidligere vilkår.
En noe mer brukervennlig, forenklet versjon av Binets formel brukes noen ganger i stedet for den ovenfor.
Binets Forenklede Formel: Det Nte Fibonacci-tallet er gitt med følgende formel:
Eksempel \(\PageIndex{2}\): Finne
Finn verdien av
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. Antall grener på noen trær eller antall kronblader av noen tusenfryd er Ofte Fibonacci tall
Figur \(\PageIndex{4}\): Fibonacci Tall og Tusenfryd
A. Daisy Med 13 petals b. Daisy med 21 petals
a. 
(Tusenfryd, nd.)
Fibonacci Tall Vises Også I Spiral Vekst Mønstre Som Antall Spiraler på en kaktus eller i solsikker frø Senger.
Figur \(\PageIndex{5}\): Fibonacci-Tall og Spiralvekst
a. Kaktus med 13 med klokken spiraler b. Solsikke med 34 med klokken spiraler og 55 mot klokken spiraler
a. 
(Kaktus, n.d.) (Solsikke, n.d.)
Et annet interessant faktum oppstår når man ser på forholdet mellom påfølgende fibonacci-tall.
det ser ut til at disse forholdene nærmer seg et tall. Tallet som disse forholdene nærmer seg er et spesielt tall kalt Golden Ratio som er betegnet med 
Det Gylne Snitt:
\
Det Gylne Snitt har desimal tilnærming av \(\phi=1,6180339887\).
Det Gylne Snitt er et spesielt tall for en rekke årsaker. Det kalles også den guddommelige proporsjon, og det vises i kunst og arkitektur. Det hevdes av noen å være det mest behagelige forholdet til øyet. For å finne dette forholdet, kutter Grekerne en lengde i to deler, og la det mindre stykket være en enhet. Det mest behagelige kuttet er når forholdet mellom hele lengden 
Det Gyldne Forholdet er en løsning på den kvadratiske ligningen
det fungerte!
Et annet interessant forhold mellom Det Gyldne Forholdet og Fibonacci-sekvensen oppstår når du tar krefter av 
Og Så videre.
Legg Merke til at koeffisientene til
Golden Power Rule: \(\phi^{n}=f_{n} \phi+f_{n-1}\)
hvor\(f_{n}\) er Det Nte Fibonacci-tallet og \(\phi\) Er Det Gylne Snitt.
Eksempel \(\PageIndex{5}\): Krefter I Det Gylne Snitt
Finn følgende ved hjelp av den gylne kraftregelen: a. 
