학습 목표
이 섹션에서,당신은 당신을 할 수 있습니다:
- 설명 중력 에너지의 관점에서 작업에 대해 수행됩니다.
- 는 지구상의 높이 h 에서 질량 m 의 물체의 중력 포텐셜 에너지가 PEg=mgh 에 의해 주어진다는 것을 보여줍니다.
- 는 방법을 보여 지식의 잠재적 에너지 함수로서의 위치를 단순화하는 데 사용할 수 있는 계산하고 물리적 현상을 설명.
작업 중력에 대해
등산 계단 및 드는 개체는 작업 모두에서 과학적이고 일상적인 의미—그것은 작업을 수행에 대한 중력의 힘입니다. 일이있을 때,에너지의 변형이 있습니다. 중력에 대해 수행 된 작업은 우리가이 섹션에서 탐구 할 중요한 형태의 저장된 에너지로 이동합니다.
그림 1. (a)무게를 들어 올리기 위해 수행 된 작업은 질량-지구 시스템에 중력 포텐셜 에너지로 저장됩니다. (b)무게가 아래로 이동함에 따라,이 중력 포텐셜 에너지는 뻐꾸기 시계로 전달됩니다.
그림 1 과 같이 높이 h 를 통해 질량 m 의 물체를 들어 올리는 작업을 계산해 보겠습니다. 물체가 일정한 속도로 똑바로 들어 올려지면 들어 올리는 데 필요한 힘은 무게 mg 과 같습니다. 질량에서 수행 된 작업은 W=Fd=mgh 입니다. 우리는 이것을 물체-지구 시스템에 넣은(또는 얻은)중력 포텐셜 에너지(PEg)라고 정의합니다. 이 에너지는 중력에 의해 서로 끌어 당기는 두 물체 사이의 분리 상태와 관련이 있습니다. 편의상,우리는 이것을 지구의 중력장에 저장된 에너지라는 것을 인식하여 물체가 얻은 말뚝으로 지칭합니다. 왜 우리는”시스템”이라는 단어를 사용합니까? 포텐셜 에너지는 물리적 위치 때문에 단일 물체가 아닌 시스템의 속성입니다. 물체의 중력 잠재력은 지구-물체 시스템 내의 주변 환경에 상대적인 위치 때문입니다. 물체에 가해지는 힘은 시스템 외부에서 오는 외부 힘입니다. 그것이 긍정적 인 일을 할 때 그것은 시스템의 중력 포텐셜 에너지를 증가시킵니다. 중력 포텐셜 에너지는 상대 위치에 의존하기 때문에 포텐셜 에너지를 0 과 동일하게 설정할 수있는 기준 레벨이 필요합니다. 우리는 일반적으로 선택하는 이점을 지구의 표면을,그러나 이점은 임의의;중요한 것이 무엇인가의 차이에 중력 에너지이기 때문에,이러한 차이는 무엇에 관한 작업을 수행 합니다. 차이에 중력 에너지의체(에서 지구-개체 시스템)사이에 두 개의 렁의 사다리 될 것 같은 처음 두 가로대로 마지막 두 개의 렁.
변환 사이에 잠재적인 에너지 및 운동 에너지
중력 에너지로 전환할 수 있습 다른 형태의 에너지 등과 같은 운동 에너지입니다. 면 우리는 출시,질량 중력을 할 것이 양의 일 같 mgh 에서 그를 증가,그것의 운동에너지에 의해 동일한 금액(의해 작동 에너지 정리). 우리는 작업의 중간 단계를 명시 적으로 고려하지 않고 PEg 의 KE 로의 변환 만 고려하는 것이 더 유용 할 것입니다. (예제 2 를 참조하십시오. 다)이 바로 가기를 만드는 것이 쉽 사용하여 문제를 해결하기 위해 에너지(가능하면)보를 사용하여 명시적으로 힘입니다.
더 정확하게,우리의 변화에 중력 에너지 ΔPEg 수 ΔPEg=mgh,어디서,단순화를 위해,우리는 나타내는 변경에서 높이에 의해서 보다 일반적인 Δh. 최종 높이가 초기 높이보다 크면 h 가 양수이고 그 반대도 마찬가지입니다. 예를 들어,뻐꾸기 시계에서 매달린 0.500kg 질량이 1 을 올리면.00m,다음의 변화에 중력 에너지입니다.
\을 시작{array}{lll}mgh&&(0.500\text{kg})(9.80\text{m/s}^2)(1.00\text{m})\\\text{}&&4.90\text{kg}\cdot\text{m}^2\text{/s}^2=4.90\text{J}\끝{array}\\
참고는 단위를 중력 에너지의 수를 설정 줄,동일한 작업 및 기타 형태의 에너지입니다. 시계가 달리면서 질량이 낮아집니다. 우리는 질량이 점차적으로 4 를 포기하는 것으로 생각할 수 있습니다.작업을 수행하는 중력의 힘을 직접 고려하지 않고 중력 포텐셜 에너지의 90J.
를 사용하여 잠재적 에너지를 계산을 단순화
그림 2. 점 A 와 B 사이의 중력 전위 에너지(ΔPEg)의 변화는 경로와 무관합니다.
방정식 ΔPEg=mgh 에 적용되는 모든 경로는 변경에서의 높이에서,단지 때의 질량은 바로 해제된다. (그림 2 참조.)복잡한 경로를 따라 수행 된 작업을 계산하는 것보다 mgh(간단한 곱셈)를 계산하는 것이 훨씬 쉽습니다. 중력 포텐셜 에너지의 아이디어는 매우 광범위하게 적용 할 수 있고 계산을 더 쉽게 할 수 있다는 이중 이점이 있습니다.
에서는 지금,우리는 것을 고려하는 어떤 변화를 수직 위치에서의 대량 m 반을 변경에 중력 에너지 mgh,그리고 우리는 것입을 피에 해당 하지만 더 어려운 작업의 계산에 의해 수행 된 작업에 대해 또는 중력의 힘입니다.두 점 사이의 경로에 대해
ΔPEg=mgh. 력은 하나의 작은 클래스의 힘은 어디에 의해 수행 된 작업에 대한 또는 강제에 의존하고 시작점과 끝점,에 없는 그들 사이의 경로.
실시예 1. 떨어지는 것을 멈추는 힘
A60.0-kg 사람이프에 지면 높이에서의 3.00m. 는 경우에는 토지를 다(자신의 무릎 관절을 압축하여 0.500cm),힘을 계산 무릎에 관절입니다.
전략
이 사람의 에너지가 가을 이 상황에 의해 수행 된 작업에 대하여 그를 바닥으로 그는 중지합니다. 초기 말뚝은 그가 떨어지면서 애로 변형됩니다. 바닥에서 수행 한 작업은이 운동 에너지를 0 으로 줄입니다.
솔루션
이 작품에서 수행하는 사람에 의하여 바닥으로 그 중지에 의해 주어진 W=Fd cos θ=−Fd,마이너스 등록하십시오기 때문에 변위를 중지에서 힘은 바닥에 있는 반대 방향으로(cos θ=cos180=-1). 바닥은 시스템에서 에너지를 제거하므로 부정적인 작업을합니다.
사람이 바닥에 도달 할 때 가지고있는 운동 에너지는 높이 h:KE=−ΔPEg=−mgh 를 통해 떨어지면서 손실 된 포텐셜 에너지의 양입니다.
의 거리는 사람의 무릎을 구부리보다 훨씬 작은 높이에서의 가을,그래서 추가적인 변화에 중력 에너지 중에 무릎을 구부리는 것은 무시됩니다.
사람 위에서 바닥에 의해 수행 된 작업 W 는 사람을 멈추고 사람의 운동 에너지를 0 으로 가져옵니다:W=-KE=mgh.
이 방정식을 W 에 대한 표현식과 결합하면−Fd=mgh 가됩니다.
리콜 h 은 부정적인 때문에 사람이 아래로 떨어졌다,힘은 무릎에 관절에 의해 주어집
\displaystyle{F}=-\frac{mgh}{d}=-\frac{\left(60.0\text{kg}\right)\left(9.80\text{m/s}^2\오른쪽)\left(-3.00\text{m}\right)}{5.00\times10^{-3}\text{m}}=3.53\times10^5\text{N}\\
토론
이러한 큰 힘을(500 배 이상이 사람의 무게) 을 통해 짧은 시간 침입에 충분하다. 충격을 완화시키는 훨씬 더 좋은 방법은 다리를 구부리거나 땅에 굴러서 힘이 작용하는 시간을 늘리는 것입니다. 이 방법으로 0.5m 의 굽힘 운동은 예제보다 100 배 작은 힘을 산출합니다. 캥거루의 호핑은이 방법을 행동으로 보여줍니다. 캥거루는 유일한 큰 동물을 사용하여 도약을 위한 운동이지만,이 충격에서 호핑이 션에 의하여 구부리는 그것의 뒷다리에서 각 점프. (그림 3 참조.)
그림 3. 캥거루에 땅에 의해 수행 된 작업은 착륙함에 따라 운동 에너지를 0 으로 줄입니다. 그러나 뒷다리에지면의 힘을 더 먼 거리에 가하면 뼈에 미치는 영향이 줄어 듭니다. (credit:Chris Samuel,Flickr)
예 2. 을 찾는 속도로 롤러코스터에서 높이
- 것은 최종 속도 롤러코스터에 표시된 그림 4 로 시작하면서 나머지 부분에서 최고의 20.0m 언덕에 의해 수행 된 작업 마찰력은 무시할 수?
- 초기 속도가 5.00m/s 인 경우 최종 속도(다시 무시할 수있는 마찰을 가정)는 무엇입니까?
그림 4. 롤러 코스터의 속도는 중력이 내리막 길을 당김에 따라 증가하며 가장 낮은 지점에서 가장 큽니다. 에너지 측면에서 볼 때,롤러 코스터-지구 시스템의 중력 포텐셜 에너지는 운동 에너지로 변환됩니다. 마찰에 의해 수행 된 작업이 무시할 만하다면,모든 ΔPEg 는 KE 로 변환된다.
전략
롤러 코스터는 내리막 길을 가면서 잠재적 인 에너지를 잃습니다. 상을 무시하는 마찰,그래서 그는 남아있는 힘에 의해 트랙이 정상적인 힘을 수직 방향으로의 움직임과가 없이 작동합니다. 롤러 코스터에 그물 작업은 다음 혼자 중력에 의해 이루어집니다. 거리 h 를 통해 아래쪽으로 이동하는 중력 포텐셜 에너지의 손실은 운동 에너지의 이득과 같습니다. 이것은 방정식 형태로−ΔPEg=ΔKE 로 쓸 수 있습니다. PEg 와 KE 에 대한 방정식을 사용하여 원하는 수량 인 최종 속도 v 에 대해 해결할 수 있습니다.
1 부에 대한 해결책
여기서 초기 운동 에너지는 0 이므로\Delta\text{KE}=\frac{1}{2}mv^2\\. 포텐셜 에너지의 변화에 대한 방정식은 ΔPEg=mgh 라고 말합니다. 이 경우 h 가 음수이기 때문에이를 ΔPEg=−mg|h|로 다시 작성하여 빼기 부호를 명확하게 표시합니다. 따라서-ΔPEg=ΔKE 는 mg|h|=\frac{1}{2}{mv}^2\\가됩니다.v 에 대해 해결하면 질량이 취소되고 v=\sqrt{2g|h|}\\라는 것을 알 수 있습니다.
대 알려진 값
\을 시작{array}{lll}v&&\sqrt{2\left(9.80\text{m/s}^2\오른쪽)\left(20.0\text{m}\right)}\\\text{}&&19.8\text{m/s}\끝{array}\\
솔루션에 대한 2 부
시 ΔPEg=ΔKE. 이 경우 초기 운동 에너지가 있으므로
\Delta\text{KE}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2\\.
따라서,mg|h/=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2\\.
정리를 제공\frac{1}{2}mv^2=mg|h|+\frac{1}{2}mv+0^2\\.이것은 최종 운동 에너지가 초기 운동 에너지와 중력 포텐셜 에너지의 합이라는 것을 의미합니다. 질량이 다시 취소되고 v=\sqrt{2g|h/+v_0^2}\\.
이 방정식이 매우 유사한 기구학 방정식 v=\sqrt{v_0^2+2ad 는}\\지만,그것은 더반—기구학 방정식에 대해서만 유효 일정 가속하는 반면,우리의 방정식을 위한 유효한 어떤 경로로는지 여부에 관계없이 이동 객체와 함께 일합니다. 지금은,대체 알려진 값을 제공합
\을 시작{array}{lll}v&&\sqrt{2\left(9.80\text{m/s}^2\오른쪽)\left(20.0\text{m}\right)+\left(5.00\text{m/s}\오른쪽)^2}\\\text{}&&20.4\text{m/s}\end{array}\\
토론 및 시사점
먼저 대량 취소에 유의하십시오. 이것은 매우 일관성 있으로 관찰에서 떨어지는 개체는 모든 개체가 가을에서 동일한 비율로 경찰은 무시할 수 있습니다. 둘째,롤러 코스터의 속도 만 고려되며,어느 시점에서든 그 방향에 대한 정보는 없습니다. 이것은 또 다른 일반적인 진실을 드러냅니다. 경찰은 무시할 수의 속도가 떨어지는 몸에 따라 초기의 속도와 높이,그리고 그것의 질량 이 경로. 예를 들어,롤러 코스터가 같은 최종 속도 여부는 그것이 떨어지 20.0m 바로운 또는 더 복잡한 경로에 있는 것과 같은 그림입니다. 세 번째,그리고 아마도 예기치 않은,최종 속도 2 부에서 큰 것보다 1 부에서 그러나보다 훨씬 적은 5.00m/s. 마지막으로,참고 속도에서 찾을 수 있습니다 어떤 높이와 함께하는 방법으로 단순히 사용하여 적절한 값 h 에 관심 지점을 형성하고 있습니다.
우리는 우리가 보는 것에 의해 수행 된 작업에 대해 또는 중력에 의존하고 시작점과 끝점에 사용할 수 있도록,우리의 단순화의 개념에 중력 에너지입니다. 우리는 같은 일을 할 수 있습에 대한 몇 가지 다른 힘,그리고 우리는 것을 볼에 이르게 공식적인 정의의 법률의 보호의 에너지입니다.
연결하기:Take-Home 조사—로 변환하 잠재력을 운동 에너지
중 하나를 공부할 수 있습의 변환에 중력 에너지 운동 에너지로 이 실험에서. 에 매끄러운 표면,사용자의 종류에 있는 홈을 따라 실행하고 그 길이와 책을 기울(그림 5 참조). 대리석을 눈금자의 10-cm 위치에 놓고 눈금자 아래로 굴러 가게하십시오. 레벨 표면에 닿으면 1 미터를 굴리는 데 걸리는 시간을 측정하십시오. 이제 대리석을 20cm 와 30cm 위치에 놓고 레벨 표면에 1m 를 굴리는 데 걸리는 시간을 다시 측정하십시오. 세 위치 모두에 대해 레벨 표면에서 대리석의 속도를 찾으십시오. 대리석에 의해 이동 한 거리 대 플롯 속도 제곱. 각 플롯의 모양은 무엇입니까? 모양이 직선 인 경우 플롯은 바닥에있는 대리석의 운동 에너지가 방출 지점에서의 포텐셜 에너지에 비례 함을 보여줍니다.
그림 5. 대리석이 통치자를 굴러 내려 가면 레벨 표면의 속도가 측정됩니다.
섹션에서 요약
- 작업을 수행에 대한 중력에 드는 객체가 잠재적 에너지의 객체-지구는 시스템입니다.
- 중력 포텐셜 에너지의 변화 인 ΔPEg 는 ΔPEg=mgh 이며,H 는 높이가 증가하고 g 는 중력으로 인한 가속도입니다.
- 지구 표면 근처에있는 물체의 중력 포텐셜 에너지는 질량-지구 시스템에서의 위치 때문입니다. 중력 포텐셜 에너지 인 ΔPEg 의 차이 만이 물리적 인 의미가 있습니다.
- 개체로 내려하지 않고 마찰,그 중력 에너지의 변화 운동 에너지로에 해당하는 증가하는 속도는,그래서는 ΔKE=−ΔPEg
개념 질문
- 예제 2 에서 우리는 계산이 최종 속도의 롤러 코스터가 내려 20m 높이고 있었는 초기의 속도는 5 개의 m/s 있습니다. 가 롤러 코스터했 초기의 속도는 5 개의 m/s uphill 대신,그리고 연한을 항해하는 오르막,중,그리고 다음 다시 최종점 20m 아래에 시작합니다. 우리는 그 경우에 그것이 동일한 최종 속도를 가졌음을 발견 할 것입니다. 에너지 보존 측면에서 설명하십시오.
- 선반 위에 올려 놓을 때 책에서하는 일은 취한 경로에 달려 있습니까? 촬영 시간에? 선반의 높이에? 책의 질량에?
문제를&연습
- 수력 발전 전원설비(그림 6)로 변환에 중력 에너지의 물 뒤에 댐을 전기 에너지입니다. (a)부피 50 의 호수의 발전기에 상대적인 중력 포텐셜 에너지는 무엇인가.0km3(질량=5.00×1013kg),호수가 발전기 위의 평균 높이가 40.0m 임을 감안할 때? (b)이것을 9 메가톤 융합 폭탄에 저장된 에너지와 비교하십시오.
그림 6. 수력설비(신용:Denis Belevich,위키미디어)
- (a)얼마나 중력 에너지(에 상대적인 지상에 내장)에 저장됩니다 위대한 피라미드 쿠푸는 것이 주어진,그것의 질량은 대략 7×109kg 고 그 중심의 질량은 36.주변 지상 5m 위? (b)이 에너지는 사람의 일일 음식 섭취량과 어떻게 비교됩니까?
- 350-g kookaburra(큰 물총새 새)가 75-g 뱀을 집어 들고 지상에서 2.5m 를 지상으로 올린다 고 가정합니다. (a)새가 뱀에 얼마나 많은 일을 했습니까? (b)지부에 자체 질량 중심을 높이기 위해 얼마나 많은 일을 했습니까?
- 예제 2 에서 우리가 발견되는 속도의 롤러 코스터가 내려왔 20.0m 만 약간 더했을 때 초기 속도 5.00m/s 을 때보다 그것은에서 시작했다. 이것은 ΔPE>>KEi 를 의미합니다. KEI 에 대한 ΔPE 의 비율을 취하여이 진술을 확인하십시오. (질량이 취소된다는 점에 유의하십시오.)
- 100-g 장난감 자동차는 압축 된 스프링에 의해 추진되어 움직이기 시작합니다. 자동차는 그림 7 의 곡선 트랙을 따릅니다. 는 최종 속도의 장난감 자동차 0.687m/s 는 경우는 초기 속도는 2.00m/s 그것은 해안은 마찰 슬로프를 얻고,0.180m 고도에 있습니다.
그림 7. 장난감 자동차 경사 트랙 위로 이동합니다. (신용:Leszek Leszczynski,Flickr)
- 에서 활강 스키 경주 놀라 울 정도로 작은 이점을 얻을 얻어서를 실행 시작합니다. (이것은 초기 운동 에너지가 작은 언덕에서도 중력 포텐셜 에너지의 이득과 비교하여 작기 때문입니다.)이 방법을 설명하기 위해 찾은 최종 속도와 촬영 시간에 대해 스키는 하늘 70.0m 따라 30°경사를 무시하는 마찰:(a)에서 시작하는 나머지입니다. (b)2.50m/s 의 초기 속도로 시작합니다.(c)대답이 당신을 놀라게합니까? 매우 경쟁적인 이벤트에서 달리기 시작을 얻는 것이 여전히 유리한 이유에 대해 토론하십시오.
용어
중력 에너지:에너지 개체고 있으로 인해 그 위치에서 중력장을
선택한 문제에 대한 솔루션을&연습
1. (a)1.96×1016J;(b)폭탄에 저장된 에너지에 대한 호수의 중력 포텐셜 에너지의 비율은 0.52 입니다. 즉,호수에 저장된 에너지는 9 메가톤 융합 폭탄의 절반 정도입니다.3. (a)1.8J;(b)8.6J
5. {v}_{f}=\sqrt{2gh+{v_0}^2}=\sqrt{2\left(9.80\text{m/s}^2\right)\left(-0.180\text{m}\right)+\left(2.00\text{m/s}\right)^2}=0.687\text{m/s}\\