有名で重要な数列は、フィボナッチ数列であり、1170年から1230年まで住んでいたイタリアの数学者レオナルドピサーノにちなんで命名された。 このシーケンスは次のとおりです。
\
このシーケンスは再帰的に定義されます。 これは、各用語が前の用語によって定義されることを意味します。p>
というように。
フィボナッチ数列は、
つまり、シーケンス内の次の用語を取得するには、前の二つの用語を追
\
フィボナッチ数列を表すために使用する表記法は次のとおりです。
\
例\(\PageIndex{1}\):フィボナッチ数を再帰的に見つける
上記のフィボナッチ数列の再帰的な定義を使用して、13番目、14番目、15番目のフィボナッチ数を見つける。
まず、上にリストされている12のフィボナッチ数がすでにあることに注意してくださいので、次の三つのフィボナッチ数を見つけるには、前の二つの項を追加して、定義の状態として次の項を取得するだけです。p>
したがって、13番目、14番目、15番目のフィボナッチ数はそれぞれ233、377、610です。
フィボナッチ数列の項の計算は、再帰式を使用するとき、特に大きなnを持つ項を見つけるときに面倒なことがあります。
フィボナッチ数列の項 幸いなことに、レオンハルト-オイラーという数学者は、任意のフィボナッチ数を計算するための公式を発見しました。 この公式は約100年間失われ、Jacques Binetという名前の別の数学者によって再発見されました。 Binetの公式として知られている元の公式は以下の通りです。 Binetの式：n番目のフィボナッチ数は次の式で与えられます：
\}{\sqrt{5}}\]
Binetの式は明示的に定義されたシーケンスの例です。 これは、シーケンスの用語が以前の用語に依存しないことを意味します。
上記のものの代わりに、Binetの式のややユーザーフレンドリーで簡略化されたバージョンが使用されることがあります。
ビネットの簡略化された式：n番目のフィボナッチ数は次の式で与えられます：
注：記号
の値を検索します。
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. いくつかの木の枝の数やいくつかのヒナギクの花びらの数は、多くの場合、フィボナッチ数です
Figure\(\PageIndex{4}\):フィボナッチ数とヒナギク
a.13花びらのデイジー b.21花びらのデイジー
a.
（ヒナギク、N.D.）
フィボナッチ数はまた、サボテンやヒマワリの種子ベッドの螺旋の数などの螺旋成長パターンに表示されます。P>
図\(\PageIndex{5}\):フィボナッチ数とスパイラル成長
a. 13の時計回りの螺旋を持つサボテンb.34の時計回りの螺旋と55の反時計回りの螺旋を持つヒマワリ
a.
（サボテン、n.d.）（ヒマワリ、n.d.）
フィボナッチ数。
これらの比率は数に近づいているようです。 これらの比率が近づいている数は、黄金比と呼ばれる特別な数であり、
\
黄金比は\(\phi=1.6180339887\)の小数近似を持ちます。
黄金比はさまざまな理由で特別な数です。 それは神の割合とも呼ばれ、芸術と建築に現れます。 それは目に最も楽しい比率であることをいくつかによって主張されています。 この比率を見つけるために、ギリシャ人は二つの部分に長さをカットし、小さな部分が一つの単位に等しいようにします。 最も喜ばれるカットは、全長の比率が長い部分
それは働いた！
黄金比とフィボナッチ数列の間の別の興味深い関係は、
というように。
黄金のべき乗ルールを使用して、次のものを見つけます。a.
