La portata Q è definita come il volume di fluido che passa da una certa posizione attraverso un’area durante un periodo di tempo, come si vede nella Figura 1. Nei simboli, questo può essere scritto come

dove V è il volume e t è il tempo trascorso. L’unità SI per la portata è m3 / s, ma un certo numero di altre unità per Q sono di uso comune. Ad esempio, il cuore di un adulto a riposo pompa il sangue ad una velocità di 5,00 litri al minuto (L/min). Si noti che un litro (L) è 1/1000 di un metro cubo o 1000 centimetri cubici (10-3 m3 o 103 cm3). In questo testo useremo qualsiasi unità metrica sia più conveniente per una determinata situazione.

Figura 1. Portata è il volume di fluido per unità di tempo che scorre oltre un punto attraverso l’area A. Qui il cilindro ombreggiato del fluido scorre oltre il punto P in un tubo uniforme nel tempo t. Il volume del cilindro è Ad e la velocità media è \ overline{v} = d / t\\in modo che la portata sia Q=\ text{Ad}/t=A\ overline{v}\\.

La portata e la velocità sono grandezze fisiche correlate, ma molto diverse. Per rendere chiara la distinzione, pensa alla portata di un fiume. Maggiore è la velocità dell’acqua, maggiore è la portata del fiume. Ma la portata dipende anche dalle dimensioni del fiume. Un rapido torrente di montagna trasporta molta meno acqua del Rio delle Amazzoni in Brasile, per esempio. La relazione precisa tra portata Q e velocità \bar{v}\\ è

dove A è l’area della sezione trasversale e \bar{v}\\ è la velocità media. Questa equazione sembra abbastanza logica. La relazione ci dice che la portata è direttamente proporzionale sia alla grandezza della velocità media (di seguito denominata velocità) che alla dimensione di un fiume, di un tubo o di un altro condotto. Più grande è il condotto, maggiore è la sua area della sezione trasversale. La figura 1 illustra come si ottiene questa relazione. Il cilindro ombreggiato ha un volume

V = Ad,

che scorre oltre il punto P in un tempo t. Dividendo entrambi i lati di questa relazione per t dà

\frac{V}{t}=\frac{Ad}{t}\\.

Notiamo che Q = V / t e la velocità media è \ overline{v} = d / t\\. Quindi l’equazione diventa Q=A \ overline{v}\\. La figura 2 mostra un fluido incomprimibile che scorre lungo un tubo di raggio decrescente. Poiché il fluido è incomprimibile, la stessa quantità di fluido deve scorrere oltre qualsiasi punto del tubo in un dato tempo per garantire la continuità del flusso. In questo caso, poiché l’area della sezione trasversale del tubo diminuisce, la velocità deve necessariamente aumentare. Questa logica può essere estesa per dire che la portata deve essere la stessa in tutti i punti lungo il tubo. In particolare, per i punti 1 e 2,

\begin{casi}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2} \end{casi}\\

Questo è chiamato l’equazione di continuità ed è valido per qualsiasi fluido incomprimibile. Le conseguenze dell’equazione di continuità possono essere osservate quando l’acqua scorre da un tubo in un ugello a spruzzo stretto: emerge con una grande velocità—questo è lo scopo dell’ugello. Al contrario, quando un fiume si svuota in un’estremità di un serbatoio, l’acqua rallenta considerevolmente, forse riprendendo velocità quando lascia l’altra estremità del serbatoio. In altre parole, la velocità aumenta quando l’area della sezione trasversale diminuisce e la velocità diminuisce quando l’area della sezione trasversale aumenta.

Figura 2. Quando un tubo si restringe, lo stesso volume occupa una lunghezza maggiore. Affinché lo stesso volume superi i punti 1 e 2 in un dato tempo, la velocità deve essere maggiore al punto 2. Il processo è esattamente reversibile. Se il fluido scorre nella direzione opposta, la sua velocità diminuirà quando il tubo si allarga. (Si noti che i volumi relativi dei due cilindri e le corrispondenti frecce vettoriali di velocità non sono disegnati in scala.)

Poiché i liquidi sono essenzialmente incomprimibili, l’equazione di continuità è valida per tutti i liquidi. Tuttavia, i gas sono comprimibili e quindi l’equazione deve essere applicata con cautela ai gas se sono sottoposti a compressione o espansione.

La soluzione all’ultima parte dell’esempio mostra che la velocità è inversamente proporzionale al quadrato del raggio del tubo, creando effetti di grandi dimensioni quando il raggio varia. Possiamo spegnere una candela a una certa distanza, ad esempio, stringendo le labbra, mentre soffiare su una candela con la bocca spalancata è piuttosto inefficace. In molte situazioni, anche nel sistema cardiovascolare, si verifica la ramificazione del flusso. Il sangue viene pompato dal cuore in arterie che si suddividono in arterie più piccole (arteriole) che si diramano in vasi molto fini chiamati capillari. In questa situazione, la continuità del flusso viene mantenuta ma è la somma delle portate in ciascuno dei rami in qualsiasi porzione lungo il tubo che viene mantenuta. L’equazione di continuità in una forma più generale diventa

{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2}{A}_{2}{\overline{v}}_{2}\\,

dove n1 e n2 sono il numero di filiali in ciascuna delle sezioni lungo il tubo.

Riepilogo della sezione

• La portata Q è definita come il volume V che scorre oltre un punto nel tempo t, o Q=\frac{V}{t}\\ dove V è il volume e t è il tempo.
• L’unità di volume SI è m3.
• Un’altra unità comune è il litro (L), che è 10-3 m3.
• La portata e la velocità sono correlate da Q=A \ overline {v}\\ dove A è l’area della sezione trasversale del flusso e\overline{v}\\ è la sua velocità media.
• Per fluidi incomprimibili, la portata in vari punti è costante. That is,

\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2}\\ n_{1}A_{1}\bar{v}_{1} && n_{2}A_{2}\bar{v}_{2}\end{cases}\\.

Conceptual Questions

1. What is the difference between flow rate and fluid velocity? How are they related?

2. Many figures in the text show streamlines. Spiega perché la velocità del fluido è maggiore dove le linee di corrente sono più vicine tra loro. (Suggerimento: considera la relazione tra la velocità del fluido e l’area della sezione trasversale attraverso la quale scorre.)

3. Identificare alcune sostanze che sono incomprimibili e alcune che non lo sono.

Problemi& Esercizi

1. Qual è la portata media in cm3 / s di benzina al motore di un’auto che viaggia a 100 km / h se ha una media di 10,0 km/L?

2. Il cuore di un adulto a riposo pompa il sangue ad una velocità di 5.00 L/min. (a) Convertire questo in cm3/s . (b) Qual è questo tasso in m3/s ?

3. Il sangue viene pompato dal cuore ad una velocità di 5,0 L/min nell’aorta (di raggio 1,0 cm). Determina la velocità del sangue attraverso l’aorta.

4. Il sangue scorre attraverso un’arteria di raggio 2 mm ad una velocità di 40 cm / s. Determinare la portata e il volume che passa attraverso l’arteria in un periodo di 30 s.

5. La Huka Falls sul fiume Waikato è una delle attrazioni turistiche naturali più visitate della Nuova Zelanda (vedi Figura 3). In media il fiume ha una portata di circa 300.000 L / s. Alla gola, il fiume si restringe a 20 m di larghezza e in media 20 m di profondità. (a) Qual è la velocità media del fiume nella gola? (b) Qual è la velocità media dell’acqua nel fiume a valle delle cascate quando si allarga a 60 m e la sua profondità aumenta a una media di 40 m?

Figura 3. Le cascate Huka a Taupo, Nuova Zelanda, dimostrano la portata. (credito: RaviGogna, Flickr)

6. Un’arteria principale con un’area della sezione trasversale di 1,00 cm2 si dirama in 18 arterie più piccole, ciascuna con un’area della sezione trasversale media di 0,400 cm2. Con quale fattore si riduce la velocità media del sangue quando passa in questi rami?

7. (a) Mentre il sangue passa attraverso il letto capillare in un organo, i capillari si uniscono per formare venule (piccole vene). Se la velocità del sangue aumenta di un fattore di 4,00 e l’area totale della sezione trasversale delle venule è di 10,0 cm2, qual è l’area totale della sezione trasversale dei capillari che alimentano queste venule? (b) Quanti capillari sono coinvolti se il loro diametro medio è di 10,0 µm?

8. Il sistema di circolazione umana ha circa 1 × 109 vasi capillari. Ogni vaso ha un diametro di circa 8 µm. Supponendo che la gittata cardiaca sia di 5 L / min, determinare la velocità media del flusso sanguigno attraverso ciascun vaso capillare.

9. (a) Stimare il tempo necessario per riempire una piscina privata con una capacità di 80.000 L utilizzando un tubo da giardino che eroga 60 L/min. (b) Quanto tempo ci vorrebbe per riempire se si potesse deviare un fiume di dimensioni moderate, che scorre a 5000 m3/s, in esso?

10. La portata del sangue attraverso un capillare di 2,00 × 10-6 raggi è 3,80 × 109. (a) Qual è la velocità del flusso sanguigno? (Questa piccola velocità consente il tempo per la diffusione dei materiali da e verso il sangue.) (b) Supponendo che tutto il sangue nel corpo passi attraverso i capillari, quanti di essi devono esserci per trasportare un flusso totale di 90,0 cm3/s? (Il gran numero ottenuto è una sovrastima, ma è ancora ragionevole.)

11. (a) Qual è la velocità del fluido in una manichetta antincendio con un diametro di 9,00 cm che trasporta 80,0 L di acqua al secondo? (b) Qual è la portata in metri cubi al secondo? (c) Le vostre risposte sarebbero diverse se l’acqua salata sostituisse l’acqua fresca nella manichetta antincendio?

12. Il condotto principale dell’aria di assorbimento di una stufa a gas ad aria forzata ha un diametro di 0,300 m. Qual è la velocità media dell’aria nel condotto se trasporta un volume pari a quello dell’interno della casa ogni 15 min? Il volume interno della casa è equivalente a un solido rettangolare di 13,0 m di larghezza per 20,0 m di lunghezza per 2,75 m di altezza.

13. L’acqua si muove ad una velocità di 2,00 m/s attraverso un tubo con un diametro interno di 1,60 cm. (a) Qual è la portata in litri al secondo? (b) La velocità del fluido nell’ugello di questo tubo è di 15,0 m/s. Qual è il diametro interno dell’ugello?

14. Dimostrare che la velocità di un fluido incomprimibile attraverso una costrizione, come in un tubo Venturi, aumenta di un fattore pari al quadrato del fattore con cui il diametro diminuisce. (Il contrario si applica per il flusso da una costrizione in una regione di diametro maggiore.)

15. L’acqua emerge direttamente da un rubinetto con un diametro di 1,80 cm ad una velocità di 0,500 m / s. (A causa della costruzione del rubinetto, non vi è alcuna variazione di velocità attraverso il flusso.) (a) Qual è la portata in cm3/s? (b) Qual è il diametro del flusso 0.200 m sotto il rubinetto? Trascurare eventuali effetti dovuti alla tensione superficiale.

16. Risultati irragionevoli Un torrente di montagna è largo 10,0 m e profondo in media 2,00 m. Durante il deflusso primaverile, il flusso nel flusso raggiunge i 100.000 m3 / s. (a) Qual è la velocità media del flusso in queste condizioni? (b) Cosa c’è di irragionevole in questa velocità? (c) Cosa c’è di irragionevole o incoerente nei locali?

Glossario

portata: abbreviata Q, è il volume V che scorre oltre un punto particolare durante un tempo t, o Q = V/t litro: un’unità di volume, pari a 10-3 m3

Soluzioni selezionate ai problemi& Esercizi

1. 2,78 cm3/s

3. 27 cm/s

5. (a) 0,75 m/s (b) 0,13 m/s

7. (a)40,0 cm2 (b) 5,09×107

9. a) 22 ore b) 0.016 s

11. (a) 12,6 m/s (b) 0,0800 m3/s (c) No, indipendente dalla densità.

13. (a) 0,402 L/s (b) 0,584 cm

15. (a) 128 cm3/s (b) 0.890 cm