Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes
3-4. szakasz : A függvény meghatározása
most be kell lépnünk a fejezet második témájába. Mielőtt ezt megtesszük, azonban szükségünk van egy gyors meghatározásra.
A reláció meghatározása
a reláció rendezett Párok halmaza.
Ez furcsa definíciónak tűnik, de szükségünk lesz rá egy függvény meghatározásához (amely a szakasz fő témája). Mielőtt azonban ténylegesen megadnánk egy függvény meghatározását, nézzük meg, hogy tudunk-e kezelni azt, hogy mi a kapcsolat.
gondolj vissza az 1. példára a fejezet grafikus szakaszában. Ebben a példában a \(y = {\left( {x – 1} \right)^2} – 4\grafikon rajzolásához használt rendezett Párok halmazát készítettük. Itt vannak a megrendelt párok, amelyeket használtunk.
\
az alábbiak bármelyike akkor kapcsolatok, mert rendezett párokból állnak.
\
természetesen még sok más kapcsolat is létezik, amelyeket a fenti rendezett Párok listájából alakíthatunk ki, de csak néhány lehetséges kapcsolatot akartunk felsorolni, hogy néhány példát adjunk. Vegye figyelembe azt is, hogy más rendezett párokat is szerezhetünk az egyenletből, és ezeket hozzáadhatjuk a fenti kapcsolatok bármelyikéhez, ha akarjuk.
Most, ezen a ponton valószínűleg azt kérdezi, hogy miért törődünk a kapcsolatokkal, ez egy jó kérdés. Néhány kapcsolat nagyon különleges, a matematika szinte minden szintjén használják. A következő meghatározás azt mondja nekünk, hogy mely kapcsolatok ezek a különleges kapcsolatok.
függvény meghatározása
a függvény egy olyan kapcsolat, amelyre a készlet minden egyes értéke a megrendelt Párok első összetevőit pontosan egy értékhez társítja a megrendelt pár második összetevőinek készletéből.
Oké, ez egy teli száj. Lássuk, kitaláljuk-e, hogy mit jelent. Vessünk egy pillantást a következő példára, amely remélhetőleg segít nekünk kitalálni mindezt.
ezekből a megrendelt párokból az alábbi első komponensek (azaz az első szám minden megrendelt párból) és a második komponensek (azaz a második szám minden megrendelt párból) vannak.
\
a második komponensek halmazához vegye figyelembe, hogy a” -3 ” két rendezett párban történt, de csak egyszer soroltuk fel.
annak megtekintéséhez, hogy ez a kapcsolat miért függvény, egyszerűen válasszon bármilyen értéket az első komponensek készletéből. Most menj vissza a kapcsolathoz, és keress meg minden rendezett párt, amelyben ez a szám az első komponens, és sorold fel az összes második komponenst a megrendelt párokból. A második összetevők listája pontosan egy értékből áll.
például válasszunk 2-et az első komponensek közül. A kapcsolatból azt látjuk, hogy pontosan egy rendezett pár van 2-vel, mint első komponens,\(\bal ({2, – 3}\jobb)\). Ezért a második összetevők listája (azaz a 2-hez társított második komponensek értékeinek listája pontosan egy szám, -3.
vegye figyelembe, hogy nem érdekel, hogy a -3 a második rendezett par második összetevője a kapcsolatban. Ez teljesen elfogadható. Csak nem akarjuk, hogy egynél több megrendelt pár legyen 2 mint első komponens.
az első komponensek készletéből egyetlen értéket néztünk meg a gyors példánkhoz, de az eredmény ugyanaz lesz az összes többi választásnál. Az első komponensek megválasztásától függetlenül pontosan egy második komponens kapcsolódik hozzá.
ezért ez a kapcsolat függvény.
annak érdekében, hogy valóban érezzük, hogy egy függvény definíciója azt mondja nekünk, valószínűleg egy olyan kapcsolat példáját is meg kell vizsgálnunk, amely nem függvény.
ne aggódj, honnan származik ez a kapcsolat. Ez csak egy, hogy mi tette fel ezt a példát.
itt található az első és a második komponensek listája
\
az első összetevők halmazából válasszunk 6-ot. Most, ha felmegyünk a kapcsolathoz, látjuk, hogy két rendezett pár van, amelyek első komponensként 6-ot tartalmaznak: \(\left ({6,10} \right)\) and \(\left ({6, – 4} \right)\). A 6-hoz társított második összetevők listája ezután: 10, -4.
a 6-hoz társított második komponensek listája két értékkel rendelkezik, tehát ez a kapcsolat nem függvény.
vegye figyelembe, hogy az a tény, hogy ha az első komponensek halmazából -7 vagy 0-t választottunk, csak egy szám van az egyes komponensekhez társított második összetevők listájában. Ez nem számít. Az a tény, hogy még egyetlen értéket is találtunk Az első komponensek halmazában, amelyhez több mint egy második komponens kapcsolódik, elegendő azt mondani, hogy ez a kapcsolat nem függvény.
a példával kapcsolatos utolsó megjegyzésként jegyezzük meg, hogy ha eltávolítanánk az első és/vagy a negyedik rendezett párt a kapcsolatból, akkor lenne egy függvényünk!
tehát remélhetőleg legalább egy érzése van annak, amit egy függvény meghatározása mond nekünk.
most, hogy arra kényszerítettük Önt, hogy menjen át egy függvény tényleges meghatározásán, adjunk egy másik” működő ” definíciót egy olyan funkcióról, amely sokkal hasznosabb lesz ahhoz, amit itt csinálunk.
a tényleges meghatározás egy kapcsolaton működik. Azonban, mint láttuk a négy kapcsolatok adtunk meghatározása előtt egy függvény, valamint a kapcsolat használtunk példa 1 gyakran kap a kapcsolatok valamilyen egyenlet.
fontos megjegyezni, hogy nem minden kapcsolat származik egyenletekből! A kapcsolat a második példa például csak egy sor rendeltem pár írtuk le a példát, de nem jött semmilyen egyenlet. Ez igaz lehet A funkciókkal rendelkező kapcsolatokra is. Nem kell egyenletekből származniuk.
azonban, miután azt mondta, hogy a függvények, amelyeket ebben a kurzusban fogunk használni, mind egyenletekből származnak. Ezért írjuk le egy olyan funkció meghatározását, amely elismeri ezt a tényt.
mielőtt megadnánk egy függvény” működő ” meghatározását, rámutatnunk kell arra, hogy ez nem egy függvény tényleges meghatározása, amelyet fent adunk meg. Ez egyszerűen egy jó” működő meghatározás ” egy olyan funkcióról, amely összekapcsolja a dolgokat azokkal a funkciókkal, amelyekkel ezen a kurzuson fogunk dolgozni.
A függvény
“Munkadefiníciója” a függvény olyan egyenlet, amelyre az egyenletbe csatlakoztatható \(x\) pontosan egy \(y\) értéket ad ki az egyenletből.
ott van. Ez azoknak a funkcióknak a meghatározása, amelyeket használni fogunk, és valószínűleg könnyebb lesz megfejteni, hogy mit jelent.
mielőtt megvizsgálnánk ezt egy kicsit, vegye figyelembe, hogy a definícióban a “\(x\) kifejezést használtuk. Ez arra utal, hogy nem minden\(x\)’s csatlakoztatható egy egyenlethez, és ez valójában helyes. Visszatérünk, és részletesebben megbeszéljük ezt a szakasz vége felé, de ezen a ponton ne felejtsük el, hogy nem oszthatunk nullával, és ha valódi számokat akarunk az egyenletből, akkor nem tudjuk a negatív szám négyzetgyökét venni. Tehát ezzel a két példával egyértelmű, hogy nem mindig tudunk minden \(x\) – t beilleszteni semmilyen egyenletbe.
továbbá, a funkciók kezelése során mindig feltételezzük, hogy mind a \(x\), mind a \(y\) valós számok lesznek. Más szavakkal, el fogjuk felejteni, hogy egy kicsit tudunk valamit a komplex számokról, miközben foglalkozunk ezzel a szekcióval.
Oké, ezzel az útból térjünk vissza egy függvény definíciójához, és nézzünk néhány példát olyan egyenletekre, amelyek függvények és egyenletek, amelyek nem függvények.
- \(y = 5x + 1\)
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
Összes Megoldások Elrejtése az Összes Megoldások
A “munka” meghatározása funkció azt mondja, hogy ha minden lehetséges értékei \(x\), majd csatlakoztassa őket az egyenlet megoldásához a \(i\) mi lesz pontosan egy értéket minden érték a \(x\). Ebben a szakaszban a játék lehet elég nehéz, hogy valóban azt mutatják, hogy egy egyenlet egy függvény, így majd többnyire beszélni végig rajta. Másrészt gyakran elég könnyű megmutatni, hogy az egyenlet nem függvény.
A \(y = 5x + 1\) megoldás megjelenítése
tehát meg kell mutatnunk, hogy nem számít, mi \(x\) csatlakozunk az egyenlethez, és megoldjuk a \(y\) csak egyetlen értéket kapunk \(y\). Vegye figyelembe azt is, hogy a \(y\) értéke valószínűleg különbözik a \(x\) minden értékétől, bár nem kell.
kezdjük azzal, hogy bedugunk néhány \(x\) értéket, és meglátjuk, mi történik.
\
tehát a \(x\) mindegyik értékéhez egyetlen \(y\) értéket kaptunk az egyenletből. Ez nem elég ahhoz, hogy azt állítsuk, ez egy funkció. Annak hivatalos bizonyítása érdekében, hogy ez egy függvény, meg kell mutatnunk, hogy ez működni fog, függetlenül attól, hogy a \(x\) értéket csatlakoztatjuk az egyenlethez.
természetesen nem tudjuk a \(x\) összes lehetséges értékét beilleszteni az egyenletbe. Ez fizikailag nem lehetséges. Azonban, menjünk vissza, és nézd meg az is, hogy mi dugó. Minden \(x\) esetében a csatlakoztatás után először megszorozzuk a \(x\) értéket 5-tel, majd hozzáadunk 1-et rá. Most, ha egy számot 5-tel szorozunk, egyetlen értéket kapunk a szorzásból. Hasonlóképpen, csak akkor kapunk egyetlen értéket, ha 1-et adunk hozzá egy számhoz. Ezért valószínűnek tűnik, hogy a \(x\) egyenletbe történő beillesztésével kapcsolatos műveletek alapján csak egy \(y\) értéket kapunk az egyenletből.
tehát ez az egyenlet függvény.
a b \(y = {x^2} + 1\) Térkép
Ismét kapcsoljuk pár értékek a \(x\), majd oldja meg a \(i\), hogy lássuk, mi történik.
\
most gondolkodjunk egy kicsit arról, hogy mit tettünk az értékelésekkel. Először a \(x\) értékét négyzetre osztottuk, amelyet bedugtunk. Amikor egy számot négyzetbe helyezünk, csak egy lehetséges érték lesz. Ezután hozzáadunk 1-et ehhez, de ez ismét egyetlen értéket eredményez.
tehát úgy tűnik, hogy ez az egyenlet is függvény.
vegye figyelembe, hogy rendben van, ha ugyanazt a \(y\) értéket kapjuk a különböző \(x\)’s-ekhez. például
\
csak nem tudunk egynél több \(y\) – t kihúzni az egyenletből, miután csatlakoztattuk a \(x\) – t.
a c \({y^2} = x + 1\) Térkép
Ahogy az előző két egyenlet, kapcsoljuk be egy pár értékét \(x\), megoldani a \(i\), majd meglátjuk.
\
most ne feledje, hogy \(y\) megoldásra kerülünk, tehát ez azt jelenti, hogy a fenti első és utolsó esetben valójában két különböző \(y\) értéket kapunk a \(x\) értékből, tehát ez az egyenlet nem függvény.
vegye figyelembe, hogy \(x\) értékeink lehetnek, amelyek egyetlen \(y\) értéket eredményeznek, amint azt fentebb láttuk, de ez nem számít. Ha még egy értéke \(x\) hozamok több mint egy értéke \(y\) megoldásakor az egyenlet nem lesz függvény.
Ez valójában azt jelenti, hogy nem kellett tovább mennünk, mint az első értékelés, mivel ez több értéket adott \(y\).
d \({x^2} +{y^2} = 4\) a megoldás megjelenítése
ebben az esetben az előző részben megtanult leckét használjuk, és megnézzük, hogy találunk-e \(x\) értéket, amely több \(y\) értéket ad a megoldáskor. Mivel van egy y2 a problémában, ezt nem szabad túl nehéz megtenni, mivel a megoldás végül azt jelenti, hogy a négyzetgyök tulajdonságot használjuk, amely egynél több értéket ad \(y\).
\
tehát ez az egyenlet nem függvény. Emlékezzünk arra, hogy az előző szakaszból ez egy kör egyenlete. A körök soha nem működnek.
remélhetőleg ezek a példák jobb érzést adtak neked arról, hogy mi a funkció valójában.
most át kell lépnünk valami úgynevezett funkciójelölésre. A funkciójelölést a kurzus fennmaradó fejezeteinek nagy részében erősen használják, ezért fontos megérteni.
kezdjük a következő kvadratikus egyenletekkel.
\
használhatunk egy olyan folyamatot, amely hasonló ahhoz, amit az előző példákban használtunk, hogy meggyőzzük magunkat arról, hogy ez egy funkció. Mivel ez egy olyan függvény, amelyet a következőképpen jelölünk:
\
tehát a \(y\) – t a \(f\bal( x \jobb)\jelöléssel helyettesítettük. Ezt úgy kell értelmezni, mint “f \(x\)”. Ne feledje, hogy nincs semmi különös az itt használt \(f\). Egyszerűen használhattuk volna a következők bármelyikét,
\
az általunk használt levél nem számít. Ami fontos, az a” \(\bal (x \ jobb)\) ” rész. A zárójelben lévő betűnek meg kell egyeznie az egyenlő jel jobb oldalán használt változóval.
nagyon fontos megjegyezni, hogy \(F \ bal (x \ jobb)\) valójában nem más, mint egy igazán divatos írásmód \(y\). Ha ezt szem előtt tartja, előfordulhat, hogy a funkciójelöléssel való foglalkozás kicsit könnyebbé válik.
Továbbá ez nem \(f\) szorzata \(x\) – val! Ez az egyik leggyakoribb hiba, amelyet az emberek tesznek, amikor először foglalkoznak a funkciókkal. Ez csak egy jelölés, amelyet a funkciók jelölésére használnak.
ezután beszélnünk kell a funkciók értékeléséről. A függvény értékelése valójában nem más, mint a \(x\) konkrét értékeinek megkérdezése. Egy másik módja annak, hogy megnézzük, hogy megkérdezzük, mi az adott\ (y\) érték egy adott\ (x\) esetében.
Az értékelés nagyon egyszerű. Vegyük azt a funkciót, amelyet fent néztünk
\
, és kérdezzük meg, mi az értéke \(x = 4\). A funkciójelzés szempontjából ezt a \(f\Bal( 4 \jobb) \ jelöléssel “kérdezzük”. Tehát, ha van valami más, mint a zárójelben lévő változó, akkor valóban megkérdezzük, hogy mi a függvény értéke az adott mennyiséghez.
Most, amikor a függvény értékét mondjuk, valóban megkérdezzük, hogy mi az egyenlet értéke a \(x\) adott értékéhez. Itt van \(F \ Bal (4 \ jobb)\).
\
vegye figyelembe, hogy egy függvény értékelése pontosan ugyanúgy történik, ahogyan az egyenleteket értékeljük. Csak annyit teszünk, hogy bedugjuk a\ (x\) – t, ami a bal oldali zárójel belsejében van. Itt van egy másik értékelés erre a funkcióra.
\
tehát ismét, bármi is van a bal oldali zárójel belsejében, a jobb oldali egyenletben \(x\) van csatlakoztatva. Vessünk egy pillantást néhány további példára.
- \(F\left( 3 \right)\) and \(G\left( 3 \right)\)
- \(F\left( { – 10} \right)\) and \(G\left( { – 10} \right)\)
- \(f\left( 0 \right)\)
- \(F\right)\)
- (F\left ({t + 1}\Right)\) és \(f\ left ({x + 1} \right)\)
- \(F\left ({{x^3}}\right)\)
- \(g\left ({x^2} – 5}\right)\)
összes megoldás megjelenítése az összes megoldás elrejtése
oké van két funkció értékelések csinálni itt, és mi is van két funkció, így fogunk kell eldönteni, hogy melyik funkció használni az értékelésekhez. A legfontosabb itt az, hogy észrevegyük a zárójel előtt lévő levelet. Mert \ (F \ bal (3 \ jobb)\) fogjuk használni a függvény \(f \ bal (x \ jobb)\) és a \(G \ bal( 3 \ jobb)\) fogjuk használni \(g \ bal (x \ jobb)\). Más szavakkal, csak meg kell győződnünk arról, hogy a változók megegyeznek-e.
itt vannak az értékelések erre a részre.
\
b \ (f \ left ({- 10} \right)\) and \(G\left ({- 10} \right)\) show Solution
ez nagyjából ugyanaz, mint az előző rész egy kivétellel, amelyet megérintünk, amikor elérjük ezt a pontot. Itt vannak az értékelések.
\
győződjön meg róla, hogy itt megfelelően kezeli a negatív jeleket. Most a második.
\
már elérte a különbséget. Emlékezzünk vissza, hogy amikor először beszéltünk a funkciók meghatározásáról, kijelentettük, hogy csak a valós számokkal fogunk foglalkozni. Más szóval, csak a valós számokat dugjuk be, és csak a valós számokat akarjuk visszaadni válaszként. Tehát, mivel egy komplex számot kapnánk ebből, nem tudjuk beépíteni a -10-et ebbe a funkcióba.
c \ (F \ bal (0 \ jobb)\) a megoldás megjelenítése
nem sok ehhez.
\
ismét ne felejtsük el, hogy ez nem szorzás! Valamilyen oknál fogva a diákok szeretik ezt szorzásnak tekinteni, és nulla választ kapnak. Légy óvatos.
d \(F \ left (t\ right)\) show Solution
a többi értékelés most egy kicsit más lesz. Ahogy ez is mutatja, nem kell csak számokat a zárójelben. Az értékelés azonban pontosan ugyanúgy működik. Mi csatlakoztassa a \(x\) ” s a jobb oldalon az egyenlő jel bármi van a zárójelben. Ebben az esetben ez azt jelenti, hogy a \(T\) – t az összes \(x\) – hez csatlakoztatjuk.
itt van ez az értékelés.
\
vegye figyelembe, hogy ebben az esetben ez nagyjából ugyanaz, mint az eredeti funkciónk, kivéve ezúttal a \(t\) változót használjuk.
e \(a f\left( {t + 1} \right)\), valamint a \(a f\left( {x + 1} \right)\) Térkép
Most, menjünk egy kicsit bonyolultabb, vagy legalábbis úgy tűnik, hogy sokkal bonyolultabb. A dolgok azonban nem olyan rosszak, mint amilyennek látszanak. Először értékeljük \(F \ bal ({t + 1}\ jobb)\). Ez pontosan ugyanúgy működik, mint az előző rész. Az összes\(x\)’s a bal oldalon lesz helyébe \ (t + 1\). A helyettesítés után is lesz némi egyszerűsítés.
\
legyen óvatos zárójelben az ilyen típusú értékelések. Könnyű elrontani őket.
most vessünk egy pillantást \(F\bal( {x + 1} \jobb)\). A \(x\) kivételével ez megegyezik a \(f\bal( {t + 1} \jobb)\ – val), így pontosan ugyanúgy működik.
\
nem kap izgatott az a tény, hogy mi újrafelhasznált \(x\) ” s Az értékelés itt. Sok helyen, ahol ezt a későbbi szakaszokban fogjuk csinálni, itt lesz \(x\), ezért meg kell szoknia ezt látni.
f \(F \ bal ({{x^3}} \ jobb)\) a megoldás megjelenítése
ismét ne izguljon a zárójelben lévő \(x\)’s-ek miatt. Csak értékelje úgy, mintha szám lenne.
\
G \ (G \ bal ({{x^2} – 5} \jobb)\) megoldás megjelenítése
még egy értékelés, és ezúttal a másik funkciót fogjuk használni.
\
a Funkcióértékelés olyan dolog, amit a későbbi szakaszokban és fejezetekben sokat fogunk csinálni, ezért győződjön meg róla, hogy meg tudja csinálni. Meg fogja találni több későbbi szakaszok nagyon nehéz megérteni, és/vagy nem a munka, ha nincs egy jó felfogni, hogyan működik a funkció értékelése.
amíg a funkcióértékelés témájában vagyunk, most a darabonkénti funkciókról kell beszélnünk. Valójában már láttunk egy példát egy darabonkénti funkcióra, még akkor is, ha akkor nem hívtuk függvénynek (vagy darabonkénti függvénynek). Emlékezzünk az abszolút érték matematikai meghatározására.
\
Ez egy függvény, és ha függvényjelölést használunk, akkor a következőképpen írhatjuk le,
\
Ez egy példa egy darabonkénti függvényre is. A darabonkénti függvény nem más, mint egy darabra bontott függvény, amely a \(x\) értékétől függ. Tehát az abszolút érték példában a felső darabot használjuk, ha\ (x\) pozitív vagy nulla, akkor az alsó darabot használjuk, ha\ (x\) negatív.
vessünk egy pillantást egy bonyolultabb darabonkénti funkció értékelésére.
értékelje az alábbiak mindegyikét.
- \(g\left( { – 6} \right)\)
- \(g\left( { – 4} \right)\)
- \(g\left( 1 \right)\)
- \(g\left( {15} \right)\)
- \(g\left( {21} \right)\)
Összes Megoldások Elrejtése az Összes Megoldások
megkezdése Előtt az értékelések itt észre, hogy mi vagyunk a különböző betűk a funkció változó, mint az is, hogy már régen ez a lényeg. Ez nem változtat az értékelés működésén. Ne zárja be annyira a függvény \(f\), a változó \(x\) látását, hogy nem tehet olyan problémát, amely nem rendelkezik ezekkel a betűkkel.
most, hogy ezeket az értékeléseket elvégezzük, az első dolog, amit meg kell tennünk, hogy meghatározzuk, melyik egyenlőtlenséget elégíti ki a szám, és csak egyetlen egyenlőtlenséget fog kielégíteni. Amikor meghatározzuk, hogy melyik egyenlőtlenséget kielégíti a szám, az egyenlőtlenséghez kapcsolódó egyenletet használjuk.
tehát tegyünk néhány értékelést.
a \ (G \ left ({- 6} \ right)\) megoldás megjelenítése
ebben az esetben -6 kielégíti a felső egyenlőtlenséget, ezért a felső egyenletet használjuk az értékeléshez.
\
b \ (g \ Bal ({- 4} \ jobb)\) megoldás megjelenítése
most egy kicsit óvatosnak kell lennünk ezzel, mivel -4 két egyenlőtlenségben jelenik meg. Ez azonban csak a felső egyenlőtlenséget elégíti ki, ezért ismét a felső funkciót használjuk az értékeléshez.
\
c \ (G \ bal (1 \ jobb)\) megoldás megjelenítése
ebben az esetben a szám, 1, kielégíti a középső egyenlőtlenséget, ezért a középső egyenletet használjuk az értékeléshez. Ez az értékelés gyakran problémákat okoz a diákok annak ellenére, hogy ez valójában az egyik legegyszerűbb értékelés, amit valaha is csinálunk. Tudjuk, hogy a függvényeket/egyenleteket a változó számának csatlakoztatásával értékeljük. Ebben az esetben nincsenek változók. Ez nem probléma. Mivel nincsenek változók, ez csak azt jelenti, hogy valójában nem csatlakoztatunk semmit, és megkapjuk a következőket:
\
d \(G\bal( {15} \jobb)\) a megoldás megjelenítése
ismét, mint a második résznél, kissé óvatosnak kell lennünk ezzel. Ebben az esetben a szám kielégíti a középső egyenlőtlenséget, mivel ez az egyenlő jel. Akkor, mint az előző rész, amit csak kapunk,
\
ne izgulj azon a tényen, hogy az előző két értékelés azonos értékű volt. Ez időnként megtörténik.
e \ (G \ left ({21} \ right)\) megoldás megjelenítése
a végső értékeléshez ebben a példában a szám megfelel az alsó egyenlőtlenségnek, ezért az alsó egyenletet használjuk az értékeléshez.
\
a darabonkénti függvények nem merülnek fel olyan gyakran egy Algebra osztályban, azonban a későbbi osztályokban több helyen is felmerülnek, ezért fontos, hogy megértse őket, ha több matematikai osztályba lép.
végső témaként vissza kell térnünk, és meg kell érintenünk azt a tényt, hogy nem mindig tudunk minden \(x\) – t minden funkcióba bedugni. Röviden beszéltünk erről, amikor megadtuk a függvény definícióját, és egy példát láttunk erre a funkciók kiértékelésekor. Most egy kicsit részletesebben meg kell vizsgálnunk ezt.
először el kell távolítanunk néhány meghatározást az útból.
Domain and Range
az egyenlet tartománya az összes \(x\) halmaza, amelyet be tudunk illeszteni az egyenletbe, és vissza tudunk állítani egy valós számot \(y\). Az egyenlet tartománya az összes \(y\) halmaza, amit valaha is ki tudunk venni az egyenletből.
vegye figyelembe, hogy a fenti definíciókban egyenletet értünk a függvények helyett. Ezek valóban definíciók egyenletek. Mivel azonban a függvények is egyenletek, a definíciókat a függvényekhez is felhasználhatjuk.
Az egyenlet/függvény tartományának meghatározása sok funkció esetében elég nehéz lehet, ezért nem fogunk igazán belemenni ebbe. Itt sokkal jobban érdekli a funkciók tartományainak meghatározása. A definíció alapján a tartomány az összes \(x\) halmaza, amit egy függvényhez csatlakoztathatunk, és egy valós számot kapunk vissza. Ezen a ponton ez azt jelenti, hogy el kell kerülnünk a nullával való osztást és a negatív számok négyzetgyökét.
tegyünk néhány gyors példát a domainek megtalálására.
- \(\displaystyle g\left( x \jobbra) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\)
- \(a f\left( x \jobbra) = \sqrt {5 – 3x} \)
- \(\displaystyle h\left( x \jobbra) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle R\left( x \jobbra) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\)
Összes Megoldások Elrejtése az Összes Megoldások
A tartományokat ezek a funkciók mind az értékek, a \(x\) ahol nincs nullával, vagy a négyzetgyök egy negatív szám. Ha emlékszünk erre a két ötletre, a domainek megtalálása nagyon egyszerű lesz.
a \(\displaystyle g \ left (x \ right) = \ frac{{x + 3}} {{{{{x^2} + 3x – 10}}}\) megoldás megjelenítése
tehát ebben az esetben nincsenek négyzetgyökerek, így nem kell aggódnunk egy negatív szám négyzetgyöke miatt. Van azonban egy lehetőség, hogy lesz egy osztás nulla hiba. Annak megállapításához, hogy meg kell-e állítanunk a nevezőt nullának, és meg kell oldanunk.
\
tehát nulla osztást kapunk, ha csatlakoztatjuk a \(x = – 5\) vagy \(x = 2\) elemet. Ez azt jelenti, hogy el kell kerülnünk ezt a két számot. A \(x\) összes többi értéke azonban működni fog, mivel nem adnak osztást nullával. A tartomány ekkor,
\
b \(f\left( x \right) = \ sqrt {5 – 3x}\) megoldás megjelenítése
ebben az esetben nem lesz Osztás nulla probléma, mivel nincs frakciónk. Van egy négyzetgyök a problémában, ezért aggódnunk kell, hogy a negatív számok négyzetgyökét vesszük.
Ez egy kicsit másképp fog működni, mint az előző rész. Ebben a részben meghatároztuk a \(x\) értékét(értékeit), hogy elkerüljük. Ebben az esetben ugyanolyan könnyű lesz közvetlenül megszerezni a domaint. A negatív számok négyzetgyökének elkerülése érdekében mindössze annyit kell tennünk, hogy
\
Ez egy meglehetősen egyszerű lineáris egyenlőtlenség, amelyet ezen a ponton meg kell tudnunk oldani.
\
A domain ez a funkció akkor,
\
a c \(\displaystyle h\left( x \jobbra) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\) Térkép
ebben Az esetben van egy frakció, de vegyük észre, hogy a nevező sosem lesz nulla bármely valós szám, mivel x2 garantáltan pozitív vagy nulla, hozzátéve, 4-ra ez azt jelenti, hogy a nevező mindig legalább 4. Más szóval, a nevező soha nem lesz nulla. Tehát csak annyit kell tennünk, hogy aggódunk a számlálóban lévő négyzetgyök miatt.
ehhez szükségünk lesz,
\
most már ténylegesen beilleszthetjük a \(x\) értéket a nevezőbe, azonban mivel a számlálóban van a négyzetgyök, meg kell győződnünk arról, hogy minden \(x\) megfelel a fenti egyenlőtlenségnek a problémák elkerülése érdekében. Ezért a domain ezt a funkciót
\
d \(\displaystyle R\left( x \jobbra) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) Térkép
ebben Az utolsó része van, mind egy négyzetgyök, valamint nullával kell aggódni. Először gondoskodjunk a négyzetgyökről, mivel ez valószínűleg a legnagyobb korlátozást teszi a \(x\) értékekre. Tehát ahhoz, hogy a négyzetgyöke boldog legyen (azaz nincs negatív számok négyzetgyöke), meg kell követelnünk, hogy
\
tehát legalább ezt a \(x \ge \frac{1}{2}\) megköveteljük a négyzetgyökével kapcsolatos problémák elkerülése érdekében.
most nézzük meg, hogy van-e bármilyen osztásunk nulla problémával. Ismét ehhez egyszerűen állítsa be a nevezőt nullának, majd oldja meg.
\
most vegye figyelembe, hogy \(x = – 4\) nem felel meg a négyzetgyökhöz szükséges egyenlőtlenségnek, így a \(x\) értékét a négyzetgyök már kizárta. Másrészt a\ (x = 4\) kielégíti az egyenlőtlenséget. Ez azt jelenti, hogy rendben van a \(x = 4\) beillesztése a négyzetgyökbe, mivel ez nullával osztást adna, el kell kerülnünk.
a függvény tartománya ekkor:
\