A híres, fontos a sorrend a Fibonacci-sorozat, a neve után az olasz matematikus néven Leonardo Pisano, akinek a beceneve volt, Fibonacci, aki élt a 1170, hogy 1230. Ez a szekvencia:
\
ezt a szekvenciát rekurzívan definiáljuk. Ez azt jelenti, hogy minden kifejezést az előző kifejezések határoznak meg.
stb.
a Fibonacci szekvenciát a
más szóval, ha a következő kifejezést a sorrendben szeretné megkapni, adja hozzá a két előző kifejezést.
\
A jelölést fogjuk használni, hogy képviselje a Fibonacci-sorozat a következő:
\
Például a \(\PageIndex{1}\): Megtalálni a Fibonacci Számok Rekurzívan
keresse meg a 13., 14., 15 Fibonacci-számok segítségével a fenti rekurzív definíció a Fibonacci-sorozat.
először vegye figyelembe, hogy már 12 Fibonacci-szám szerepel a fent, így a következő három Fibonacci-szám megtalálásához egyszerűen hozzáadjuk a két korábbi kifejezést, hogy a következő kifejezést a meghatározás szerint megkapjuk.
ezért a 13., 14. és 15. Fibonacci-szám 233, 377, illetve 610.
a Fibonacci-szekvencia feltételeinek kiszámítása unalmas lehet a rekurzív képlet használatakor, különösen akkor, ha nagy N-vel rendelkező kifejezéseket talál. Szerencsére egy Leonhard Euler nevű matematikus felfedezte a Fibonacci-szám kiszámításának képletét. Ezt a képletet körülbelül 100 éve veszítették el, és egy másik matematikus, Jacques Binet fedezte fel újra. Az eredeti képlet, az úgynevezett Binet formula, az alábbiakban található.
Binet képlete: az n-edik Fibonacci-számot a következő képlet adja meg:
\}{\sqrt{5}}}\]
Binet képlete egy kifejezetten meghatározott szekvencia példája. Ez azt jelenti, hogy a szekvencia feltételei nem függenek a korábbi feltételektől.
a Binet képletének valamivel felhasználóbarátabb, egyszerűsített változatát használják a fentiek helyett.
Binet egyszerűsített képlete: az n-edik Fibonacci-számot a következő képlet adja meg:
megjegyzés: a 
Example \(\PageIndex{2}\): Finding
keresse meg a
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. A fiókok száma egyes fák vagy a szám a szirmok egy kis margaréták gyakran Fibonacci-számok
Szám \(\PageIndex{4}\): Fibonacci-Számok Százszorszépek
a. Daisy 13 szirmok b. Daisy 21 szirmok
a. 
(Százszorszép, n.d.)
Fibonacci-számok is szerepelnek, a spirál növekedési minták, mint például a szám a spirál egy kaktusz, vagy a napraforgó vetőmag ágy.
ábra \ (\PageIndex{5}\): Fibonacci számok és spirális növekedés
a. Kaktusz 13 óramutató járásával megegyező spirállal b. napraforgó 34 óramutató járásával megegyező spirállal és 55 az óramutató járásával ellentétes spirállal
a. 
(kaktusz, n.d.) (napraforgó, n.d.)
egy másik érdekes tény merül fel, ha megnézzük a Fibonacci számok.
úgy tűnik, hogy ezek az arányok egy számhoz közelednek. A szám, amelyhez ezek az arányok közelebb kerülnek, egy speciális szám, az arany arány, amelyet 
az Aranyarány:
\
az Aranyarány decimális közelítése \(\phi=1.6180339887\).
Az arany arány számos okból különleges szám. Isteni aránynak is nevezik, és a művészetben és az építészetben is megjelenik. Egyesek azt állítják, hogy a leginkább kellemes arány a szemhez. Ennek az aránynak a megtalálásához a görögök két részre vágtak egy hosszúságot, majd a kisebb darabot egy egy egységgel egyenlővé tették. A legkellemesebb vágás az, amikor a teljes hossz aránya 
Az arany arány a 
működött!
egy másik érdekes kapcsolat az Aranyarány és a Fibonacci szekvencia között akkor fordul elő, amikor
stb.
vegye figyelembe, hogy a
Golden Power Rule: \(\phi^{n} = F_{n} \ phi + F_{n-1}\)
ahol\(F_{n}\) az nth Fibonacci szám és \(\phi\) az arany arány.
Example \(\PageIndex{5}\): Powers of the Golden Ratio
Find the following using the golden power rule: a. 
