Por favor, lea primero los límites (Una Introducción)

Infinity es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero aún podemos tratar de calcular el valor de las funciones que tienen infinidad en ellas.

Uno dividido por Infinito

Comencemos con un ejemplo interesante.

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que el Infinito no es un número, es una idea.

Así que 1∞ es un poco como decir 1 beauty o 1tall.

Tal vez podríamos decir que 1∞ = 0, … pero eso también es un problema, porque si dividimos 1 en piezas infinitas y terminan 0 cada una, ¿qué pasó con el 1?

De hecho, se sabe que 1∞ es indefinido.

¡Pero Podemos Acercarnos!

Así que en lugar de intentar resolverlo para infinito (porque no podemos obtener una respuesta sensata), intentemos valores cada vez más grandes de x:

x	1x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

Ahora podemos ver que a medida que x se hace más grande, 1x tiende a 0

Ahora nos enfrentamos a una situación interesante:

• No podemos decir qué sucede cuando x llega al infinito
• Pero podemos ver que 1x es yendo hacia 0

Queremos dar la respuesta «0» pero no podemos, por lo que los matemáticos dicen exactamente lo que está pasando usando la palabra especial «limit»

El límite de 1x cuando x se acerca al infinito es 0

y lo escriben así:

En otras palabras:

Cuando x se acerca al infinito, entonces 1x se acerca a 0

Cuando ves «límite», piensa «acercándote»

Es una forma matemática de decir «no estamos hablando de cuando x=∞, pero sabemos que a medida que x se hace más grande, la respuesta se acerca cada vez más a 0».

Resumen

Por lo tanto, a veces el infinito no se puede usar directamente, pero podemos usar un límite.

Lo que sucede en ∞ es indefinido …		1∞
… pero sabemos que 1/x se aproxima a 0 a medida que x se aproxima a infinito		limx→∞ (1x) = 0

Límites Aproxima a Infinito

¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende a infinito?

y = 2x

Obviamente a medida que» x «se hace más grande, también lo hace «2x»:

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
…	…

Así como» x «se acerca al infinito, entonces» 2x » también se acerca al infinito. Escribimos esto:

Pero no se deje engañar por el»=». En realidad no podemos llegar al infinito, pero en el lenguaje «límite» el límite es infinito (lo que en realidad está diciendo que la función es ilimitada).

Infinito y Grado

Hemos visto dos ejemplos, uno fue a 0, el otro fue al infinito.

De hecho, muchos límites infinitos son en realidad bastante fáciles de resolver, cuando averiguamos «hacia dónde va», como esto:

Funciones como 1/x enfoque 0 cuando x se acerca al infinito. Esto también es cierto para 1 / x2 etc

Una función como x se acercará al infinito, así como a 2x, o x/9 y así sucesivamente. Asimismo funciones con x2 o x3 etc también enfoque infinito.

Pero cuidado, una función como «−x» enfoque «−infinito», por lo que tenemos que buscar los signos de x.

De hecho, cuando nos fijamos en el Grado de la función (el más alto exponente de la función) nos puede decir lo que va a suceder:

Cuando el Grado de la función es:

• mayor que 0, el límite es infinito (o −infinito)
• menor que 0, el límite es 0

Pero si el grado es 0 o desconocido, entonces necesitamos trabajar un poco más para encontrar un límite.

Funciones Racionales

Una Función Racional es aquel que es el cociente de dos polinomios:		f(x) = P(x)Q(x)
Por ejemplo, aquí P(x) = x3 + 2x − 1 y Q(x) = 6×2:		x3 + 2x − 16×2

después de nuestra idea del Grado de la Ecuación, el primer paso para encontrar el límite …

Comparar el Grado de P(x) el Grado de Q(x):

… el límite es 0.

… divida los coeficientes de los términos con el exponente más grande, así:

(tenga en cuenta que los exponentes más grandes son iguales, ya que el grado es igual)

… entonces el límite es infinito positivo …

… o tal vez infinito negativo. ¡Tenemos que mirar las señales!

Podemos calcular el signo (positivo o negativo) mirando los signos de los términos con el exponente más grande, al igual que encontramos los coeficientes anteriores:

x3 + 2x − 16×2		Por ejemplo, esto irá a infinito positivo, porque ambos … x3 (el término con el exponente más grande en la parte superior) y 6×2 (el término con el exponente más grande en la parte inferior) … son positivos.
−2×2 + x5x − 3		, Pero esto va de cabeza para el infinito negativo, debido a que -2/5 es negativo.

Un Ejemplo más Difícil: Trabajando «e»

Esta fórmula se aproxima al valor de e (el número de Euler) como n aumenta:

En el infinito:

¡No lo sabemos!

So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100,000	2.71827

Sí, se dirige hacia el valor 2.71828… que es e (Número de Euler)

Así que de nuevo tenemos una situación extraña:

• No sabemos cuál es el valor cuando n=infinito
• Pero podemos ver que se asienta hacia 2.71828…

Así que usamos límites para escribir la respuesta de esta manera:

Es una forma matemática de decir «no estamos hablando de cuando n=∞, pero sabemos que a medida que n se hace más grande, la respuesta se acerca cada vez más al valor de e».

Evaluación de límites

He adoptado un enfoque suave de los límites hasta ahora, y he mostrado tablas y gráficos para ilustrar los puntos.

Pero «evaluar» (en otras palabras, calcular) el valor de un límite puede requerir un poco más de esfuerzo. Obtenga más información en Evaluación de límites.