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Física

admin septiembre 19, 2021 0 Comment

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Calcular la velocidad de flujo.
  • Definir unidades de volumen.
  • Describir fluidos incompresibles.
  • Explicar las consecuencias de la ecuación de continuidad.

La velocidad de flujo Q se define como el volumen de fluido que pasa por algún lugar a través de un área durante un período de tiempo, como se ve en la Figura 1. En símbolos, esto puede ser escrito como

Q=\frac{V}{t}\\,

donde V es el volumen y t es el tiempo transcurrido. La unidad SI para el caudal es m3 / s, pero otras unidades para Q son de uso común. Por ejemplo, el corazón de un adulto en reposo bombea sangre a una velocidad de 5,00 litros por minuto (L/min). Tenga en cuenta que un litro (L) es 1/1000 de un metro cúbico o 1000 centímetros cúbicos (10-3 m3 o 103 cm3). En este texto usaremos las unidades métricas que sean más convenientes para una situación dada.

La figura muestra un líquido que fluye a través de un tubo cilíndrico abierto en ambos extremos. Una porción de la tubería cilíndrica con el fluido está sombreada por una longitud d. La velocidad del fluido en la región sombreada se muestra por v hacia la derecha. Las secciones transversales del cilindro sombreado están marcadas como A. Este cilindro de fluido fluye más allá de un punto P en el tubo cilíndrico. La velocidad v es igual a d sobre t.

Figura 1. El caudal es el volumen de fluido por unidad de tiempo que fluye más allá de un punto a través del área A. Aquí el cilindro sombreado del fluido fluye más allá del punto P en una tubería uniforme en el tiempo t. El volumen del cilindro es Ad y la velocidad promedio es \overline{v} = d / t\\, de modo que el caudal es Q=\text{Ad}/t=A\overline{v}\\ .

Ejemplo 1. Cálculo del Volumen a partir de la Velocidad de Flujo: El Corazón Bombea mucha Sangre en una vida

¿Cuántos metros cúbicos de sangre bombea el corazón en una vida de 75 años, suponiendo que la velocidad de flujo promedio sea de 5,00 L/min?

Estrategia

Se dan el tiempo y el caudal Q, por lo que el volumen V se puede calcular a partir de la definición de caudal.

Solución

Solución Q = V/t para el volumen da

V = Qt.

Sustituyendo los valores conocidos de los rendimientos

\begin{array}{lll}V&& \left(\frac{5.00\text{ L}}{\text{1 min}}\right)\left(\text{75}\text{y}\derecho)\left(\frac{1{\text{ m}}^{3}}{{\texto{10}}^{3}\text{ L}}\right)\left(5.26\times {\text{10}}^{5}\frac{\text{min}}{\text{y}}\derecho)\\ \text{}&& 2.0\times {\text{10}}^{5}{\text{m}}^{3}\end{array}\\.

Discusión

Esta cantidad es de aproximadamente 200,000 toneladas de sangre. A modo de comparación, este valor equivale aproximadamente a 200 veces el volumen de agua contenido en una piscina de entrenamiento de 6 carriles y 50 metros.

El caudal y la velocidad están relacionados, pero son cantidades físicas bastante diferentes. Para hacer la distinción clara, piense en el caudal de un río. Cuanto mayor sea la velocidad del agua, mayor será el caudal del río. Pero el caudal también depende del tamaño del río. Un rápido arroyo de montaña transporta mucha menos agua que el río Amazonas en Brasil, por ejemplo. La relación precisa entre la tasa de flujo Q y velocidad \bar{v}\\ se

Q=a\overline{v}\\,

donde a es el área de sección transversal y \bar{v}\\ es la velocidad promedio. Esta ecuación parece bastante lógica. La relación nos dice que la velocidad de flujo es directamente proporcional a la magnitud de la velocidad promedio (en adelante, la velocidad) y al tamaño de un río, tubería u otro conducto. Cuanto mayor sea el conducto, mayor será su área de sección transversal. La Figura 1 ilustra cómo se obtiene esta relación. La sombra de un cilindro tiene un volumen

V = Ad,

que pasa por el punto P en un tiempo t. Dividir ambos lados de esta relación por t da

\frac{V}{t}=\frac{Ad}{t}\\.

Observamos que Q = V/t y la velocidad media es \overline{v}=d / t\\. Así, la ecuación se convierte en Q = A \ overline{v}\\. La Figura 2 muestra un fluido incompresible que fluye a lo largo de una tubería de radio decreciente. Debido a que el fluido es incompresible, la misma cantidad de fluido debe fluir más allá de cualquier punto del tubo en un tiempo dado para garantizar la continuidad del flujo. En este caso, debido a que el área de la sección transversal de la tubería disminuye, la velocidad debe aumentar necesariamente. Esta lógica se puede extender para decir que el caudal debe ser el mismo en todos los puntos a lo largo de la tubería. En particular, para los puntos 1 y 2,

\begin{casos}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2} \end{casos}\\

Esta es conocida como la ecuación de continuidad y es válido para cualquier fluido incompresible. Las consecuencias de la ecuación de continuidad se pueden observar cuando el agua fluye de una manguera a una boquilla de pulverización estrecha: emerge con una gran velocidad, ese es el propósito de la boquilla. Por el contrario, cuando un río desemboca en un extremo de un embalse, el agua se ralentiza considerablemente, tal vez recuperando velocidad cuando sale del otro extremo del embalse. En otras palabras, la velocidad aumenta cuando disminuye el área de la sección transversal, y la velocidad disminuye cuando aumenta el área de la sección transversal.

en La figura se muestra un tubo cilíndrico amplio a la izquierda y estrecho en el derecho. Se muestra que el líquido fluye a través del tubo cilíndrico hacia la derecha a lo largo del eje del tubo. Un área sombreada está marcada en el cilindro más ancho a la izquierda. Una sección transversal está marcada como una. Un punto uno está marcado en esta sección transversal. La velocidad del fluido a través del área sombreada en el tubo estrecho está marcada por v one como una flecha hacia la derecha. Otra zona sombreada está marcada en el estrecho cilíndrico de la derecha. El área sombreada en el tubo estrecho es más larga que la del tubo más ancho para mostrar que cuando un tubo se estrecha, el mismo volumen ocupa una longitud mayor. Una sección transversal está marcada en el tubo cilíndrico estrecho como un dos. Un punto dos está marcado en esta sección transversal. La velocidad del fluido a través del área sombreada en el tubo estrecho está marcada v dos hacia la derecha. La flecha que representa v dos es más larga que para v uno, mostrando que v dos es mayor en valor que v uno.

Figura 2. Cuando un tubo se estrecha, el mismo volumen ocupa una longitud mayor. Para que el mismo volumen pase los puntos 1 y 2 en un tiempo dado, la velocidad debe ser mayor en el punto 2. El proceso es exactamente reversible. Si el fluido fluye en la dirección opuesta, su velocidad disminuirá cuando el tubo se ensancha. (Tenga en cuenta que los volúmenes relativos de los dos cilindros y las flechas de vectores de velocidad correspondientes no se dibujan a escala.)

Ya que los líquidos son esencialmente incompresible, la ecuación de continuidad es válido para todos los líquidos. Sin embargo, los gases son compresibles, por lo que la ecuación debe aplicarse con precaución a los gases si están sujetos a compresión o expansión.

Ejemplo 2. Cálculo de la velocidad del fluido: La velocidad Aumenta Cuando un tubo se Estrecha

Una boquilla con un radio de 0,250 cm está unida a una manguera de jardín con un radio de 0,900 cm. El caudal a través de la manguera y la boquilla es de 0,500 L/s. Calcule la velocidad del agua (a) en la manguera y (b) en la boquilla.

Estrategia

Podemos utilizar la relación entre caudal y velocidad para encontrar ambas velocidades. Utilizaremos el subíndice 1 para la manguera y 2 para la boquilla.

Solución de (a)

en Primer lugar, resolver Q=a\overline{v}\\ para v1 y tenga en cuenta que el área de sección transversal a = nr2, produciendo

{\overline{v}}_{1}=\frac{Q}{{A}_{1}}=\frac{Q}{{{{\pi r}}_{1}}^{2}}\\.

Sustituyendo valores conocidos y haciendo conversiones de unidades apropiadas se obtiene

\bar{v}_{1}=\frac{\left(0.500\text{ L/s}\right)\left(10^{-3}\text{ m}^{3}\text{L}\right)}{\pi \left(9.00\times 10^{-3}\text{ m}\right)^{2}}=1.96\text{ m/s}\\.

Solución para (b)

Podríamos repetir este cálculo para encontrar la velocidad en la boquilla \bar{v}_{2}\\, pero usaremos la ecuación de continuidad para dar una idea algo diferente. Utilizando la ecuación de la cual los estados

{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={A}_{2}{\overline{v}}_{2}\\,

la solución para {\overline{v}}_{2}\\ y la sustitución de nr2 para el área de la sección transversal de los rendimientos

\overline{v}_{2}=\frac{{A}_{1}}{{A}_{2}}\bar{v}_{1}=\frac{{\pi r_{1}}^{2}}{{\pi r_{2}}^{2}}\bar{v}_{1}=\frac{{r_{1}}^{2}}{{r_{2}}^{2}}\bar{v}_{1}\\.

Sustituyendo valores conocidos,

\ overline{v}_{2}=\frac {\left (0.900\text{ cm} \ right)^{2}} {\left(0.250\text{ cm}\right)^{2}} 1.96 \ text{ m/s}=25.5 \text{ m / s}\\.

Discusión

Una velocidad de 1,96 m/s es adecuada para el agua que sale de una manguera sin boquilla. La boquilla produce un flujo considerablemente más rápido simplemente al restringir el flujo a un tubo más estrecho.

La solución a la última parte de el ejemplo muestra que la velocidad es inversamente proporcional al cuadrado del radio del tubo, lo que para las grandes efectos cuando el radio varía. Podemos soplar una vela a una distancia considerable, por ejemplo, frunciendo los labios, mientras que soplar una vela con la boca bien abierta es bastante ineficaz. En muchas situaciones, incluso en el sistema cardiovascular, se produce una ramificación del flujo. La sangre se bombea desde el corazón a arterias que se subdividen en arterias más pequeñas (arteriolas) que se ramifican en vasos muy finos llamados capilares. En esta situación, se mantiene la continuidad del flujo, pero es la suma de los caudales en cada una de las ramas en cualquier porción a lo largo del tubo que se mantiene. La ecuación de continuidad en una forma más general se convierte en

{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2} {A}_{2} {\overline{v}}_{2}\\,

donde n1 y n2 son el número de ramas en cada una de las secciones a lo largo del tubo.

Ejemplo 3. Cálculo de la Velocidad de Flujo y el Diámetro del Vaso: Ramificación en el Sistema Cardiovascular

La aorta es el vaso sanguíneo principal a través del cual la sangre sale del corazón para circular por el cuerpo. a) Calcular la velocidad media de la sangre en la aorta si el caudal es de 5,0 L/min. La aorta tiene un radio de 10 mm. (b) La sangre también fluye a través de vasos sanguíneos más pequeños conocidos como capilares. Cuando la velocidad de flujo sanguíneo en la aorta es de 5,0 L/min, la velocidad de la sangre en los capilares es de aproximadamente 0,33 mm/s. Dado que el diámetro promedio de un capilar es de 8,0 µm, calcule el número de capilares en el sistema circulatorio sanguíneo.

Estrategia

Podemos usar Q = A\overline{v}\ \ para calcular la velocidad de flujo en la aorta y luego usar la forma general de la ecuación de continuidad para calcular el número de capilares como se conocen todas las demás variables.

Solución para (a)

El caudal viene dado por Q=A\overline{v}\\ o \overline{v}=\frac{Q}{{\pi r}^{2}}\\ para un recipiente cilíndrico. Sustituyendo los valores conocidos (convertidos a unidades de metros y segundos) da

\overline{v}=\frac{\left(5.0\text{ L/min}\derecho)\left(10^{-3}{\text{ m}}^{3}\text{/L}\derecho)\left(1\text{ min/}60\text{s}\derecho)}{\pi {\left(0.010\text{ m}\derecho)}^{2}}=0.27\text{ m/s}\\.

Solución de (b)

el Uso de {n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2}{A}_{2}{\overline{v}}_{1}\\, asignando el subíndice 1 a la aorta y 2 a los capilares, y la solución de n2 (el número de capilares) da {n}_{2}=\frac{{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}}{{A}_{2}{\overline{v}}_{2}}\\. La conversión de todas las cantidades en unidades de metros y segundos, y sustituyendo en la ecuación anterior da

{n}_{2}=\frac{\left(1\right)\left(\pi \right){\left(\text{10}\times {\text{10}}^{-3}\text{m}\right)}^{2}\left(0.27 \text{ m/s}\right)}{\left(pi \right){\left(4.0\times {\text{10}}^{-6}\text{m}\right)}^{2}\left(0.33\times {\text{10}}^{-3}\text{m/s}\right)}=5.0\times {\text{10}}^{9}\text{capilares}\\.

Discusión

Tenga en cuenta que la velocidad de flujo en los capilares se reduce considerablemente en relación con la velocidad en la aorta debido al aumento significativo en el área de la sección transversal total en los capilares. Esta baja velocidad es para permitir el tiempo suficiente para que se produzca un intercambio efectivo, aunque es igualmente importante que el flujo no se estacione para evitar la posibilidad de coagulación. ¿Parece razonable esta gran cantidad de capilares en el cuerpo? En el músculo activo, se encuentran aproximadamente 200 capilares por mm3, o aproximadamente 200 × 106 por 1 kg de músculo. Para 20 kg de músculo, esto equivale a aproximadamente 4 × 109 capilares.

Resumen de sección

  • El caudal Q se define como el volumen V que fluye más allá de un punto en el tiempo t, o Q = \ frac{V} {t}\ \ donde V es volumen y t es tiempo.
  • La unidad de volumen del SI es m3.
  • Otra unidad común es el litro (L), que es de 10-3 m3.
  • El caudal y la velocidad están relacionados por Q = A\overline{v} \ \ donde A es el área de la sección transversal del flujo y\overline{v}\ \ es su velocidad promedio.
  • Para fluidos incompresibles, el caudal en varios puntos es constante. That is,

\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2}\\ n_{1}A_{1}\bar{v}_{1} && n_{2}A_{2}\bar{v}_{2}\end{cases}\\.

Conceptual Questions

1. What is the difference between flow rate and fluid velocity? How are they related?

2. Many figures in the text show streamlines. Explique por qué la velocidad del fluido es mayor donde las líneas de corriente están más juntas. (Sugerencia: Considere la relación entre la velocidad del fluido y el área de la sección transversal a través de la cual fluye.)

3. Identificar algunas sustancias que son incompresibles y otras que no lo son.

Problemas & Ejercicios

1. ¿Cuál es el caudal promedio en cm3/s de gasolina al motor de un automóvil que viaja a 100 km/h si promedia 10.0 km / L?

2. El corazón de un adulto en reposo bombea sangre a una velocidad de 5.00 L / min. (a) Convertir esto a cm3/s. b) ¿Cuál es esta tasa en m3/s ?

3. La sangre se bombea desde el corazón a una velocidad de 5,0 L/min hacia la aorta (de radio de 1,0 cm). Determina la velocidad de la sangre a través de la aorta.

4. La sangre fluye a través de una arteria de radio de 2 mm a una velocidad de 40 cm/s. Determine la velocidad de flujo y el volumen que pasa a través de la arteria en un período de 30 s.

5. Las cataratas Huka, en el río Waikato, es una de las atracciones turísticas naturales más visitadas de Nueva Zelanda (véase la Figura 3). En promedio, el río tiene un caudal de unos 300.000 L / s. En la garganta, el río se estrecha a 20 m de ancho y un promedio de 20 m de profundidad. a) ¿Cuál es la velocidad media del río en el desfiladero? b) ¿Cuál es la velocidad media del agua en el río aguas abajo de las cataratas cuando se ensancha a 60 m y su profundidad aumenta a un promedio de 40 m?

El agua corre sobre una caída.

Figura 3. Las cataratas Huka en Taupo, Nueva Zelanda, demuestran el caudal. (crédito: RaviGogna, Flickr)

6. Una arteria mayor con un área de sección transversal de 1,00 cm2 se ramifica en 18 arterias más pequeñas, cada una con un área de sección transversal promedio de 0,400 cm2. ¿Por qué factor se reduce la velocidad media de la sangre cuando pasa a estas ramas?

7. a) A medida que la sangre pasa a través del lecho capilar de un órgano, los capilares se unen para formar vénulas (venas pequeñas). Si la velocidad de la sangre aumenta en un factor de 4,00 y el área de sección transversal total de las vénulas es de 10,0 cm2, ¿cuál es el área de sección transversal total de los capilares que alimentan estas vénulas? b) ¿Cuántos capilares están involucrados si su diámetro medio es de 10,0 µm?

8. El sistema de circulación humana tiene aproximadamente 1 × 109 vasos capilares. Cada recipiente tiene un diámetro de aproximadamente 8 µm. Suponiendo que el gasto cardíaco es de 5 L / min, determine la velocidad promedio del flujo sanguíneo a través de cada vaso capilar.

9. a) Calcular el tiempo que llevaría llenar una piscina privada con una capacidad de 80.000 litros con una manguera de jardín de 60 litros/min. (b) ¿Cuánto tardaría en llenarse si pudiera desviar un río de tamaño moderado, que fluye a 5000 m3/s, hacia él?

10. El caudal de sangre a través de un capilar de 2,00 × 10-6 radios es de 3,80 × 109. (a) ¿Cuál es la velocidad del flujo sanguíneo? (Esta pequeña velocidad permite tiempo para la difusión de materiales hacia y desde la sangre.(b) Suponiendo que toda la sangre en el cuerpo pasa a través de los capilares, ¿cuántos de ellos deben haber para llevar un flujo total de 90,0 cm3/s? (El gran número obtenido es una sobreestimación, pero sigue siendo razonable.)

11. (a) ¿Cuál es la velocidad del fluido en una manguera contra incendios con un diámetro de 9,00 cm que transporta 80,0 L de agua por segundo? b) ¿Cuál es el caudal en metros cúbicos por segundo? (c) ¿Sus respuestas serían diferentes si el agua salada reemplazara el agua dulce en la manguera de incendios?

12. El conducto de aire de captación principal de un calentador de gas de aire forzado tiene un diámetro de 0,300 m. ¿Cuál es la velocidad media del aire en el conducto si lleva un volumen igual al del interior de la casa cada 15 minutos? El volumen interior de la casa es equivalente a un sólido rectangular de 13,0 m de ancho por 20,0 m de largo por 2,75 m de alto.

13. El agua se mueve a una velocidad de 2,00 m / s a través de una manguera con un diámetro interno de 1,60 cm. (a) ¿Cuál es el caudal en litros por segundo? (b) La velocidad del fluido en la boquilla de esta manguera es de 15,0 m/s. ¿Cuál es el diámetro interior de la boquilla?

14. Demostrar que la velocidad de un fluido incompresible a través de una constricción, como en un tubo Venturi, aumenta en un factor igual al cuadrado del factor por el que disminuye el diámetro. (Lo contrario se aplica al flujo que sale de una constricción hacia una región de mayor diámetro.)

15. El agua emerge directamente de un grifo con un diámetro de 1,80 cm a una velocidad de 0,500 m/s. (Debido a la construcción del grifo, no hay variación en la velocidad a través del arroyo.) (a) ¿Cuál es el caudal en cm3/s? (b) ¿Cuál es el diámetro de la corriente 0,200 m por debajo del grifo? Descuide cualquier efecto debido a la tensión superficial.

16. Resultados irrazonables Un arroyo de montaña tiene 10,0 m de ancho y un promedio de 2,00 m de profundidad. Durante la escorrentía de primavera, el caudal en la corriente alcanza los 100.000 m3/s. a) ¿Cuál es la velocidad media de la corriente en esas condiciones? (b) ¿Qué es irrazonable de esta velocidad? c) ¿Qué es irrazonable o incoherente en los locales?

Glosario

caudal: abreviado Q, es el volumen V que fluye más allá de un punto particular durante un tiempo t, o Q = V/t litro: una unidad de volumen, igual a 10-3 m3

Soluciones seleccionadas a problemas & Ejercicios

1. 2,78 cm3 / s

3. 27 cm / s

5. a) 0,75 m/s b) 0,13 m/s

7. a) 40,0 cm2 b)5,09×107

9. a) 22 h b) 0.016 s

11. (a) 12,6 m/s (b) 0,0800 m3/s (c) No, independiente de la densidad.

13. a) 0,402 L/s b) 0,584 cm

15. (a) 128 cm3/s (b) 0.890 cm

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