Una secuencia famosa e importante es la secuencia de Fibonacci, que lleva el nombre del matemático italiano Leonardo Pisano, cuyo apodo era Fibonacci, y que vivió de 1170 a 1230. Esta secuencia es la siguiente:
\
Esta secuencia se define recursivamente. Esto significa que cada término está definido por los términos anteriores.
y así sucesivamente.
La secuencia de Fibonacci está definida por 
En otras palabras, para obtener el siguiente término de la secuencia, agregue los dos términos anteriores.
\
La notación que usaremos para representar la secuencia de Fibonacci es la siguiente:
\
Ejemplo \(\pageIndex{1}\): Búsqueda recursiva de Números de Fibonacci
Encuentre los números 13, 14 y 15 de Fibonacci utilizando la definición recursiva anterior para la secuencia de Fibonacci.
Primero, observe que ya hay 12 números de Fibonacci enumerados anteriormente, por lo que para encontrar los siguientes tres números de Fibonacci, simplemente agregamos los dos términos anteriores para obtener el siguiente término como indica la definición.
Por lo tanto, los números 13, 14 y 15 de Fibonacci son 233, 377 y 610 respectivamente.
Calcular los términos de la secuencia de Fibonacci puede ser tedioso cuando se usa la fórmula recursiva, especialmente cuando se encuentran términos con un n grande. Afortunadamente, un matemático llamado Leonhard Euler descubrió una fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci. Esta fórmula se perdió durante unos 100 años y fue redescubierta por otro matemático llamado Jacques Binet. La fórmula original, conocida como fórmula de Binet, se encuentra a continuación.
Fórmula de Binet: El enésimo número de Fibonacci viene dado por la siguiente fórmula:
\} {\sqrt{5}}\]
La fórmula de Binet es un ejemplo de una secuencia definida explícitamente. Esto significa que los términos de la secuencia no dependen de los términos anteriores.
A veces se usa una versión simplificada y un poco más fácil de usar de la fórmula de Binet en lugar de la anterior.
Fórmula simplificada de Binet: El enésimo número de Fibonacci viene dado por la siguiente fórmula:
Nota: El símbolo 
Ejemplo \(\pageIndex{2}\): Encontrar 
Encuentre el valor de
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. El número de ramas en algunos árboles o el número de pétalos de algunas margaritas a menudo son números de Fibonacci
Figura \(\pageIndex{4}\): Números de Fibonacci y margaritas
a. Margarita con 13 pétalos b. Margarita con 21 pétalos
a. 
(Margaritas, s. d.)
Los números de Fibonacci también aparecen en patrones de crecimiento en espiral, como el número de espirales en un cactus o en semilleros de girasoles.
Figura \(\Índice de página{5}\): Números de Fibonacci y Crecimiento en Espiral
a. Cactus con 13 espirales en el sentido de las agujas del reloj b. Girasol con 34 espirales en el sentido de las agujas del reloj y 55 espirales en el sentido contrario a las agujas del reloj
a. 
(Cactus, s. d.) (Girasol, s. d.)
Números de Fibonacci.
Parece que estas proporciones se acercan a un número. El número al que estas relaciones se están acercando es un número especial llamado Proporción Áurea que se denota por 
La Proporción áurea:
\
El Cociente de Oro tiene la aproximación decimal de \(\phi=1.6180339887\).
La Proporción áurea es un número especial por una variedad de razones. También se llama la proporción divina y aparece en el arte y la arquitectura. Algunos afirman que es la proporción más agradable a la vista. Para encontrar esta proporción, los griegos cortaron una longitud en dos partes, y dejaron que la pieza más pequeña equivaliera a una unidad. El corte más agradable es cuando la relación de la longitud completa 
La Proporción áurea es una solución de la ecuación cuadrática 
funcionó!
Otra relación interesante entre la Proporción Áurea y la secuencia de Fibonacci ocurre al tomar potencias de 
Y así sucesivamente.
Observe que los coeficientes de 
Regla de potencia dorada: \(\phi^{n} = f_{n} \phi+f_{n-1}\)
donde\(f_{n}\) es el enésimo número de Fibonacci y \(\phi\) es la Proporción Áurea.
Ejemplo \(\pageIndex{5}\): Potencias de la Proporción Áurea
Encuentre lo siguiente usando la regla de potencia áurea: a. 
