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Sección 3-4 : La Definición de una Función
Ahora tenemos que pasar al segundo tema de este capítulo. Sin embargo, antes de hacerlo, necesitamos una definición rápida.
Definición de Relación
Una relación es un conjunto de pares ordenados.
Esta parece una definición extraña, pero la necesitaremos para la definición de una función (que es el tema principal de esta sección). Sin embargo, antes de dar la definición de una función, veamos si podemos entender qué es una relación.
Piense en el ejemplo 1 en la sección de Gráficos de este capítulo. En ese ejemplo construimos un conjunto de pares ordenados que usamos para dibujar el gráfico de \(y = {\left( {x – 1} \ right)^2} – 4\). Aquí están los pares ordenados que usamos.
\
Cualquiera de las siguientes son relaciones porque consisten en un conjunto de pares ordenados.
\
Por supuesto, hay muchas más relaciones que podríamos formar de la lista de pares ordenados de arriba, pero solo queríamos enumerar algunas relaciones posibles para dar algunos ejemplos. Tenga en cuenta también que también podríamos obtener otros pares ordenados de la ecuación y agregarlos a cualquiera de las relaciones anteriores si quisiéramos.
Ahora, en este punto, probablemente te estés preguntando por qué nos preocupamos por las relaciones y esa es una buena pregunta. Algunas relaciones son muy especiales y se utilizan en casi todos los niveles de las matemáticas. La siguiente definición nos dice qué relaciones son estas relaciones especiales.
Definición de una función
Una función es una relación para la cual cada valor del conjunto de los primeros componentes de los pares ordenados está asociado con exactamente un valor del conjunto de los segundos componentes del par ordenado.
Bien, eso es una boca llena. Veamos si podemos averiguar qué significa. Echemos un vistazo al siguiente ejemplo que con suerte nos ayudará a resolver todo esto.
De estos pares ordenados tenemos los siguientes conjuntos de primeros componentes (es decir, el primer número de cada par ordenado) y segundos componentes (es decir, el segundo número de cada par ordenado).
\
Para el conjunto de segundos componentes, observe que el » -3 » se produjo en dos pares ordenados, pero solo lo enumeramos una vez.
Para ver por qué esta relación es una función, simplemente elija cualquier valor del conjunto de primeros componentes. Ahora, vuelve a la relación y encuentra cada par ordenado en el que este número es el primer componente y enumera todos los segundos componentes de esos pares ordenados. La lista de segundos componentes constará de exactamente un valor.
Por ejemplo, vamos a elegir 2 del conjunto de primeros componentes. De la relación vemos que hay exactamente un par ordenado con 2 como primer componente,\(\left ({2, – 3} \right)\). Por lo tanto, la lista de segundos componentes (i. e. la lista de valores del conjunto de segundos componentes) asociados a 2 es exactamente un número, -3.
Tenga en cuenta que no nos importa que -3 sea el segundo componente de un segundo par ordenado en la relación. Eso es perfectamente aceptable. Simplemente no queremos que haya más de un par ordenado con 2 como primer componente.
Observamos un solo valor del conjunto de primeros componentes para nuestro ejemplo rápido aquí, pero el resultado será el mismo para todas las demás opciones. Independientemente de la elección de los primeros componentes, habrá exactamente un segundo componente asociado.
por lo Tanto, esta relación es una función.
Para tener una idea de lo que la definición de una función nos está diciendo, probablemente también deberíamos ver un ejemplo de una relación que no es una función.
No se preocupe por el origen de esta relación. Es solo uno que inventamos para este ejemplo.
Aquí está la lista de primeros y segundos componentes
\
Del conjunto de primeros componentes, vamos a elegir 6. Ahora, si subimos a la relación vemos que hay dos pares ordenados con 6 como primer componente : \(\left( {6,10} \right)\) y \(\left( {6, – 4} \right)\). La lista de segundos componentes asociados con 6 es entonces: 10, -4.
La lista de segundos componentes asociados a 6 tiene dos valores y, por lo tanto, esta relación no es una función.
Tenga en cuenta que si elegimos -7 o 0 del conjunto de primeros componentes, solo hay un número en la lista de segundos componentes asociados a cada uno. Esto no importa. El hecho de que hayamos encontrado incluso un solo valor en el conjunto de los primeros componentes con más de un segundo componente asociado a él es suficiente para decir que esta relación no es una función.
Como comentario final sobre este ejemplo, notemos que si eliminamos el primer y/o el cuarto par ordenado de la relación, ¡tendríamos una función!
Así que, esperemos que al menos tiene una idea de lo que la definición de una función nos está diciendo.
Ahora que te hemos obligado a revisar la definición real de una función, vamos a dar otra definición «funcional» de una función que será mucho más útil para lo que estamos haciendo aquí.
La definición actual funciona en una relación. Sin embargo, como vimos con las cuatro relaciones que dimos antes de la definición de una función y la relación que usamos en el Ejemplo 1, a menudo obtenemos las relaciones de alguna ecuación.
Es importante tener en cuenta que no todas las relaciones provienen de ecuaciones! La relación del segundo ejemplo por ejemplo, fue sólo un conjunto de pares ordenados escribimos para el ejemplo y no de cualquier ecuación. Esto también puede ser cierto con las relaciones que son funciones. No tienen que provenir de ecuaciones.
Sin embargo, dicho esto, las funciones que vamos a usar en este curso provienen todas de ecuaciones. Por lo tanto, escribamos una definición de una función que reconozca este hecho.
Antes de dar la definición «de trabajo» de una función, necesitamos señalar que esta NO es la definición real de una función, que se da arriba. Esta es simplemente una buena «definición de trabajo» de una función que vincula las cosas a los tipos de funciones con las que trabajaremos en este curso.
«Definición de trabajo» de la función
Una función es una ecuación para la que cualquier \(x\) que se pueda conectar a la ecuación producirá exactamente una \(y\) de la ecuación.
Ahí está. Esa es la definición de funciones que vamos a usar y probablemente será más fácil descifrar lo que significa.
Antes de examinar esto un poco más, tenga en cuenta que usamos la frase «\(x\) que se puede conectar» en la definición. Esto tiende a implicar que no todos los \(x\) se pueden conectar a una ecuación y esto es de hecho correcto. Volveremos y discutiremos esto con más detalle hacia el final de esta sección, sin embargo, en este punto, solo recuerde que no podemos dividir por cero y si queremos números reales fuera de la ecuación, no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, con estos dos ejemplos está claro que no siempre podremos conectar cada \(x\) en cualquier ecuación.
Además, cuando se trata de funciones, siempre vamos a suponer que tanto \(x\) como \(y\) serán números reales. En otras palabras, vamos a olvidar que sabemos algo sobre números complejos durante un tiempo mientras tratamos con esta sección.
Bien, con eso fuera del camino volvamos a la definición de una función y veamos algunos ejemplos de ecuaciones que son funciones y ecuaciones que no son funciones.
- \(y = 5x + 1\)
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
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El «trabajo» de la definición de la función está diciendo es que si tomamos todos los posibles valores de \(x\) y conéctelos a la ecuación y resolver para \(y\) vamos a obtener exactamente un valor para cada valor de \(x\). En esta etapa del juego, puede ser bastante difícil demostrar que una ecuación es una función, por lo que en su mayoría hablaremos a través de ella. Por otro lado, a menudo es bastante fácil demostrar que una ecuación no es una función.
a \(y = 5x + 1\) Muestran Solución
por Lo tanto, necesitamos demostrar que no importa lo que \(x\) sustituimos en la ecuación y resolver para \(y\) sólo podemos obtener un único valor de \(y\). Tenga en cuenta también que el valor de \(y\) probablemente será diferente para cada valor de \(x\), aunque no tiene que serlo.
Comencemos conectando algunos valores de \(x\) y veamos qué sucede.
\
Por lo tanto, para cada uno de estos valores de \(x\) obtenemos un solo valor de \(y\) de la ecuación. Ahora, esto no es suficiente para afirmar que se trata de una función. Para demostrar oficialmente que esta es una función, necesitamos demostrar que funcionará sin importar el valor de \(x\) que conectemos a la ecuación.
Por supuesto, no podemos incluir todo el valor posible de \(x\) en la ecuación. Eso no es físicamente posible. Sin embargo, volvamos y veamos los que conectamos. Para cada \(x\), al conectarlo, primero multiplicamos el \(x\) por 5 y luego agregamos 1. Ahora, si multiplicamos un número por 5 obtendremos un solo valor de la multiplicación. Del mismo modo, solo obtendremos un solo valor si agregamos 1 a un número. Por lo tanto, parece plausible que basándonos en las operaciones involucradas con conectar \(x\) a la ecuación, solo obtendremos un único valor de \(y\) de la ecuación.
Por lo tanto, esta ecuación es una función.
b \(y = {x^2} + 1\) Show Solution
De nuevo, insertemos un par de valores de\ (x\) y resolvamos para\ (y\) para ver qué sucede.
\
Ahora, pensemos un poco en lo que estábamos haciendo con las evaluaciones. Primero, cuadramos el valor de \(x\) que conectamos. Cuando cuadramos un número, solo habrá un valor posible. Luego agregamos 1 a esto, pero nuevamente, esto producirá un solo valor.
Por lo tanto, parece que esta ecuación también es una función.
Tenga en cuenta que está bien obtener el mismo valor \(y\) para \(x\) diferentes. Por ejemplo,
\
Simplemente no podemos obtener más de un \(y\) de la ecuación después de enchufar el \(x\).
c \({y^2} = x + 1\) Show Solution
Como hemos hecho con las dos ecuaciones anteriores, insertemos un par de valores de \(x\), resolvamos para \(y\) y veamos qué obtenemos.
\
Ahora, recuerde que estamos resolviendo para \(y\) y eso significa que en el primer y último caso anterior obtendremos dos valores \(y\) diferentes de la \(x\) y, por lo tanto, esta ecuación NO es una función.
Tenga en cuenta que podemos tener valores de \(x\) que producirán un único \(y\) como hemos visto anteriormente, pero eso no importa. Si incluso un valor de \(x\) produce más de un valor de \(y\) al resolver la ecuación, no será una función.
Lo que esto realmente significa es que no necesitábamos ir más allá de la primera evaluación, ya que daba múltiples valores de \(y\).
d \({x^2} + {y^2} = 4\) Show Solution
En este caso usaremos la lección aprendida en la parte anterior y veremos si podemos encontrar un valor de \(x\) que dé más de un valor de \(y\) al resolverlo. Debido a que tenemos un y2 en el problema, esto no debería ser demasiado difícil de hacer, ya que resolver finalmente significará usar la propiedad raíz cuadrada que dará más de un valor de \(y\).
\
Por lo tanto, esta ecuación no es una función. Recuerde, que de la sección anterior esta es la ecuación de un círculo. Los círculos nunca son funciones.
Esperemos que estos ejemplos le hayan dado una mejor idea de lo que es en realidad una función.
Ahora necesitamos pasar a algo llamado notación de funciones. La notación de funciones se utilizará en gran medida en la mayoría de los capítulos restantes de este curso, por lo que es importante entenderla.
Comencemos con la siguiente ecuación cuadrática.
\
Podemos usar un proceso similar al que usamos en el conjunto de ejemplos anteriores para convencernos de que se trata de una función. Dado que esta es una función, la denotaremos de la siguiente manera,
\
Por lo tanto, reemplazamos la \(y\) con la notación \(f\left( x \right)\). Esto se lee como » f de \(x\)». Tenga en cuenta que no hay nada especial en la \(f\) que usamos aquí. Podríamos haber usado fácilmente cualquiera de los siguientes,
\
La letra que usemos no importa. Lo importante es la parte» \(\left( x \right)\)». La letra entre paréntesis debe coincidir con la variable utilizada en el lado derecho del signo igual.
Es muy importante tener en cuenta que \(f\left( x \right)\) no es nada más que una forma muy elegante de escribir \(y\). Si lo tiene en cuenta, puede encontrar que lidiar con la notación de funciones se vuelve un poco más fácil.
Además, esto NO es una multiplicación de \(f\) por \(x\)! Este es uno de los errores más comunes que cometen las personas cuando se ocupan por primera vez de las funciones. Esto es solo una notación utilizada para denotar funciones.
A continuación tenemos que hablar sobre las funciones de evaluación. Evaluar una función no es más que preguntar cuál es su valor para valores específicos de \(x\). Otra forma de verlo es que estamos preguntando cuál es el valor \(y\) para un \(x\) dado.
La evaluación es realmente bastante simple. Tomemos la función que estábamos viendo arriba
\
y preguntemos cuál es su valor para \(x = 4\). En términos de notación de funciones, «preguntaremos» esto usando la notación \(f\left( 4 \right)\). Por lo tanto, cuando hay algo más que la variable dentro del paréntesis, realmente estamos preguntando cuál es el valor de la función para esa cantidad en particular.
Ahora, cuando decimos el valor de la función, realmente estamos preguntando cuál es el valor de la ecuación para ese valor particular de \(x\). Aquí está \(f \ left (4 \right)\).
\
Observe que la evaluación de una función se realiza exactamente de la misma manera en que evaluamos ecuaciones. Todo lo que hacemos es conectar para \(x\) lo que esté en el interior del paréntesis de la izquierda. Aquí hay otra evaluación para esta función.
\
Así que, de nuevo, lo que está en el interior del paréntesis de la izquierda está conectado para \(x\) en la ecuación de la derecha. Echemos un vistazo a algunos ejemplos más.
- \(f\left( 3 \right)\) y \(g\left( 3 \right)\)
- \(f\left( { – 10} \right)\) y \(g\left( { – 10} \right)\)
- \(f\left( 0 \right)\)
- \(f\left( t \right)\)
- \(f\left( {t + 1} \right)\) y \(f\left( {x + 1} \right)\)
- \(f\left( {{x^3}} \right)\)
- \(g\left( {{x^2} – 5} \right)\)
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Bien tenemos dos función de las evaluaciones que hacer aquí y también tenemos dos funciones, a fin de que vamos a necesitar para decidir qué función para usar en las evaluaciones. La clave aquí es notar la letra que está delante del paréntesis. Por \(f\left( 3 \right)\) vamos a utilizar la función \(f\left( x \right)\) y \(g\left( 3 \right)\) usaremos \(g\left( x \right)\). En otras palabras, solo necesitamos asegurarnos de que las variables coincidan.
Aquí están las evaluaciones de esta parte.
\
b \(f\left( { – 10} \right)\) y \(g\left( { – 10} \right)\) Mostrar solución
Esta es prácticamente la misma que la parte anterior con una excepción que tocaremos cuando lleguemos a ese punto. Aquí están las evaluaciones.
\
Asegúrese de tratar correctamente los signos negativos aquí. Ahora el segundo.
\
Hemos alcanzado la diferencia. Recordemos que cuando empezamos a hablar de la definición de funciones, dijimos que solo íbamos a tratar con números reales. En otras palabras, solo conectamos números reales y solo queremos números reales como respuestas. Por lo tanto, dado que obtendríamos un número complejo de esto, no podemos conectar -10 a esta función.
c \(f \ left (0\ right)\) Mostrar la solución
No hay mucho que ver con este.
\
De nuevo, ¡no olvides que esto no es multiplicación! Por alguna razón, a los estudiantes les gusta pensar en esto como una multiplicación y obtener una respuesta de cero. Ten cuidado.
d\(f \left( t\ right)\) Show Solution
El resto de estas evaluaciones ahora van a ser un poco diferentes. Como muestra este, no necesitamos tener números entre paréntesis. Sin embargo, la evaluación funciona exactamente de la misma manera. Conectamos a las \(x\) ‘ s del lado derecho del signo igual lo que esté entre paréntesis. En este caso, eso significa que conectamos \(t\) para todos los \(x\).
Aquí está esta evaluación.
\
Tenga en cuenta que en este caso esto es más o menos lo mismo que nuestra función original, excepto que esta vez estamos usando \(t\) como variable.
e \(f \ left ({t + 1} \right)\) y \(f\left( {x + 1} \right)\) Mostrar solución
Ahora, pongámonos un poco más complicados, o al menos parezcan más complicados. Sin embargo, las cosas no son tan malas como pueden parecer. Primero evaluaremos \(f \ left ({t + 1} \right)\). Este funciona exactamente igual que la parte anterior. Todas las \(x\) de la izquierda serán reemplazadas por \(t + 1\). También tendremos que hacer algunas simplificaciones después de la sustitución.
\
tenga cuidado con los paréntesis en este tipo de evaluaciones. Es fácil meterse con ellos.
Ahora, echemos un vistazo a \(f \ left ({x + 1} \right)\). Con la excepción de \(x\), esto es idéntico a \(f\left( {t + 1} \right)\) y, por lo tanto, funciona exactamente de la misma manera.
\
No se entusiasme con el hecho de que hemos reutilizado los \(x\) en la evaluación aquí. En muchos lugares donde haremos esto en secciones posteriores, habrá \(x\) aquí y, por lo tanto, tendrá que acostumbrarse a verlo.
f \(f \ left ({{x^3}} \right)\) Show Solution
De nuevo, no te entusiasmes con las \(x\) entre paréntesis aquí. Solo evalúalo como si fuera un número.
\
g \ (g \ left ({{x^2} – 5} \right)\) Show Solution
Una evaluación más y esta vez usaremos la otra función.
\
La evaluación de funciones es algo que haremos mucho en secciones y capítulos posteriores, así que asegúrate de que puedes hacerlo. Encontrará varias secciones posteriores muy difíciles de entender y/o hacer el trabajo si no tiene una buena comprensión de cómo funciona la evaluación de funciones.
Mientras estamos en el tema de la evaluación de funciones, ahora deberíamos hablar de funciones por partes. En realidad, ya hemos visto un ejemplo de una función por partes, incluso si no la llamamos función (o función por partes) en ese momento. Recordemos la definición matemática del valor absoluto.
\
Esta es una función y si usamos notación de función podemos escribirla de la siguiente manera,
\
Este también es un ejemplo de una función por partes. Una función por partes no es más que una función que se divide en partes y la pieza que se utiliza depende del valor de \(x\). Por lo tanto, en el ejemplo de valor absoluto usaremos la pieza superior si \(x\) es positiva o cero y usaremos la pieza inferior si \(x\) es negativa.
Echemos un vistazo a la evaluación de una función por partes más complicada.
evalúe cada uno de los siguientes elementos.
- \(g\left( { – 6} \right)\)
- \(g\left( { – 4} \right)\)
- \(g\left( 1 \right)\)
- \(g\left( {15} \right)\)
- \(g\left( {21} \right)\)
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Antes de comenzar las evaluaciones aquí vamos a notar que estamos usando letras diferentes para la función y de la variable de la que hemos utilizado para este punto. Eso no cambiará el funcionamiento de la evaluación. No se quede tan atrapado en ver \(f\) para la función y \(x\) para la variable que no pueda hacer ningún problema que no tenga esas letras.
Ahora, para hacer cada una de estas evaluaciones, lo primero que tenemos que hacer es determinar qué desigualdad satisface el número, y solo satisfará una sola desigualdad. Cuando determinamos qué desigualdad satisface el número, usamos la ecuación asociada con esa desigualdad.
Entonces, hagamos algunas evaluaciones.
a \(g \ left ({- 6} \right)\) Show Solution
En este caso -6 satisface la desigualdad superior, por lo que usaremos la ecuación superior para esta evaluación.
\
b \(g \ left ({- 4} \right)\) Show Solution
Ahora tendremos que ser un poco cuidadosos con esta ya que -4 aparece en dos de las desigualdades. Sin embargo, solo satisface la desigualdad superior y, por lo tanto, utilizaremos una vez más la función superior para la evaluación.
\
c \(g\left (1 \right)\) Show Solution
En este caso, el número 1 satisface la desigualdad media, por lo que usaremos la ecuación media para la evaluación. Esta evaluación a menudo causa problemas a los estudiantes a pesar del hecho de que en realidad es una de las evaluaciones más fáciles que haremos. Sabemos que evaluamos funciones / ecuaciones conectando el número de la variable. En este caso no hay variables. Eso no es un problema. Dado que no hay ninguna variable, solo significa que en realidad no conectamos nada y obtenemos lo siguiente,
\
d \(g\left( {15} \right)\) Show Solution
de nuevo, al igual que con la segunda parte, debemos tener un poco de cuidado con esta. En este caso, el número satisface la desigualdad media, ya que es el que tiene el signo igual en él. Luego, al igual que la parte anterior, simplemente obtenemos,
\
No se entusiasme con el hecho de que las dos evaluaciones anteriores tenían el mismo valor. Esto sucederá de vez en cuando.
e \(g \ left ({21} \right)\) Show Solution
Para la evaluación final en este ejemplo, el número satisface la desigualdad inferior, por lo que usaremos la ecuación inferior para la evaluación.
\
Las funciones por partes no surgen muy a menudo en una clase de Álgebra, sin embargo, surgen en varios lugares en clases posteriores, por lo que es importante que las entiendas si vas a pasar a más clases de matemáticas.
Como tema final tenemos que volver y tocar el hecho de que no siempre podemos conectar cada \(x\) en cada función. Hablamos brevemente de esto cuando dimos la definición de la función y vimos un ejemplo de esto cuando estábamos evaluando funciones. Ahora tenemos que analizar esto con un poco más de detalle.
Primero, necesitamos sacar un par de definiciones del camino.
Dominio y rango
El dominio de una ecuación es el conjunto de todos los \(x\) que podemos insertar en la ecuación y obtener un número real para \(y\). El rango de una ecuación es el conjunto de todos los \(y\) que podemos salir de la ecuación.
Tenga en cuenta que queríamos usar ecuación en las definiciones anteriores en lugar de funciones. Estas son realmente definiciones para ecuaciones. Sin embargo, dado que las funciones también son ecuaciones, también podemos usar las definiciones para funciones.
Determinar el rango de una ecuación / función puede ser bastante difícil de hacer para muchas funciones, por lo que no vamos a entrar realmente en eso. Estamos mucho más interesados aquí en determinar los dominios de las funciones. A partir de la definición, el dominio es el conjunto de todos los \(x\) que podemos conectar a una función y recuperar un número real. En este punto, eso significa que necesitamos evitar la división por cero y tomar raíces cuadradas de números negativos.
Hagamos un par de ejemplos rápidos de búsqueda de dominios.
- \(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\)
- \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \)
- \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\)
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Los dominios de estas funciones son todos los valores de \(x\) para los que no tenemos la división por cero o la raíz cuadrada de un número negativo. Si recordamos estas dos ideas, encontrar los dominios será bastante fácil.
a \(\displaystyle g \ left (x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\) Muestra la solución
Por lo que, en este caso, no hay raíces cuadradas, por lo que no tenemos que preocuparnos por la raíz cuadrada de un número negativo. Sin embargo, existe la posibilidad de que tengamos un error de división por cero. Para determinar si lo haremos, tendremos que establecer el denominador igual a cero y resolver.
\
Por lo tanto, obtendremos la división por cero si conectamos \(x = – 5\) o \(x = 2\). Eso significa que tendremos que evitar esos dos números. Sin embargo, todos los demás valores de \(x\) funcionarán ya que no dan división por cero. El dominio es entonces,
\
b \ (f \ left (x \right) = \sqrt {5 – 3x} \) Show Solution
En este caso no tendremos problemas de división por cero ya que no tenemos fracciones. Tenemos una raíz cuadrada en el problema, por lo que tendremos que preocuparnos de tomar la raíz cuadrada de un número negativo.
Esta va a funcionar un poco diferente de la parte anterior. En esa parte determinamos el(los) valor(s) de \(x\) a evitar. En este caso, será igual de fácil obtener directamente el dominio. Para evitar raíces cuadradas de números negativos, todo lo que necesitamos hacer es requerir que
\
Esta es una desigualdad lineal bastante simple que deberíamos ser capaces de resolver en este punto.
\
El dominio de esta función es entonces,
\
c \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\) Mostrar Solución
En este caso tenemos una fracción, pero observe que el denominador nunca será cero para ningún número real, ya que se garantiza que x2 sea positivo o cero y agregar 4 a esto significará que el denominador siempre estará en al menos 4. En otras palabras, el denominador nunca será cero. Entonces, todo lo que tenemos que hacer es preocuparnos por la raíz cuadrada en el numerador.
Para hacer esto requeriremos,
\
Ahora, podemos insertar cualquier valor de \(x\) en el denominador, sin embargo, ya que tenemos la raíz cuadrada en el numerador, tendremos que asegurarnos de que todos los \(x\) satisfacen la desigualdad anterior para evitar problemas. Por lo tanto, el dominio de esta función es
\
d \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) Mostrar Solución
En esta parte final tenemos tanto una raíz cuadrada como una división por cero de lo que preocuparnos. Cuidemos primero de la raíz cuadrada, ya que esto probablemente pondrá la restricción más grande en los valores de \(x\). Por lo tanto, para mantener la raíz cuadrada feliz (es decir, sin raíz cuadrada de números negativos) necesitaremos requerir eso,
\
Por lo tanto, al menos necesitaremos requerir que \(x \ge \frac{1}{2}\) para evitar problemas con la raíz cuadrada.
Ahora, veamos si tenemos algún problema de división por cero. Una vez más, para hacer esto, simplemente establezca el denominador igual a cero y resuelva.
\
Ahora, observe que \(x = – 4\) no satisface la desigualdad que necesitamos para la raíz cuadrada, por lo que el valor de \(x\) ya ha sido excluido por la raíz cuadrada. Por otro lado, \(x = 4\) satisface la desigualdad. Esto significa que está bien enchufar \(x = 4\) en la raíz cuadrada, sin embargo, ya que daría división por cero, necesitaremos evitarlo.
El dominio de esta función es, entonces,
\