Zobrazit Mobilní Oznámení, Zobrazit Všechny Poznámky, Skrýt Všechny Poznámky,
sekce 3-4 : Definice funkce
nyní se musíme přesunout do druhého tématu této kapitoly. Než to však uděláme, potřebujeme rychlou definici.
definice vztahu
relace je množina uspořádaných párů.
vypadá to jako lichá definice, ale budeme ji potřebovat pro definici funkce(což je hlavní téma této části). Než však definujeme funkci, podívejme se, zda můžeme zvládnout to, co je relace.
Vzpomeňte si na příklad 1 v části grafy této kapitoly. V tomto příkladu jsme vytvořili množinu uspořádaných párů, které jsme použili k načrtnutí grafu \(y = {\left ({x – 1} \right)^2} – 4\). Zde jsou uspořádané páry, které jsme použili.
\
některé z následujících jsou pak relace, protože se skládají z množiny uspořádaných párů.
\
existuje samozřejmě mnoho dalších vztahů, které bychom mohli vytvořit ze seznamu uspořádaných párů výše, ale chtěli jsme uvést několik možných vztahů, abychom uvedli několik příkladů. Všimněte si také, že bychom mohli také získat další uspořádané páry z rovnice a přidat je do kterékoli z výše uvedených vztahů, pokud bychom chtěli.
V tuto chvíli se pravděpodobně ptáte, proč nám záleží na vztazích, a to je dobrá otázka. Některé vztahy jsou velmi zvláštní a používají se téměř na všech úrovních matematiky. Následující definice nám říká, které vztahy jsou tyto zvláštní vztahy.
Definice Funkce
funkce je vztah, pro který každé hodnoty z množiny první komponent objednaných párů je spojena s právě jednu hodnotu z množiny druhé komponenty objednat pár.
dobře, to je plná ústa. Uvidíme, jestli zjistíme, co to znamená. Podívejme se na následující příklad, který nám snad pomůže přijít na to všechno.
Z těchto objednané páry máme tyto sady první komponenty (tj. první číslo z každé objednal pár) a druhé složky (tj. druhé číslo z každé objednal pár).
\
pro sadu druhých komponent si všimněte, že “ -3 “ se vyskytla ve dvou uspořádaných párech, ale uvedli jsme ji pouze jednou.
Chcete-li zjistit, proč je tato relace funkcí, jednoduše vyberte libovolnou hodnotu ze sady prvních komponent. Nyní, vrátit se do vztahu a najít všechny objednané páry, v nichž toto číslo je první komponenta, a seznam se všechny druhé složky z těch objednaných párů. Seznam druhých komponent bude obsahovat přesně jednu hodnotu.
například vyberme 2 ze sady prvních komponent. Z relace vidíme, že existuje přesně jeden uspořádaný pár s 2 jako první složkou,\(\left ({2, – 3} \right)\). Proto seznam druhých složek (tj. seznam hodnot ze sady druhých komponent) spojených s 2 je přesně jedno číslo, -3.
Všimněte si, že nám je jedno, že -3 je druhá složka druhého uspořádaného par v relaci. To je naprosto přijatelné. Jen nechceme, aby existoval více než jeden objednaný pár s 2 jako první složkou.
podívali jsme se na jednu hodnotu ze sady prvních komponent pro náš rychlý příklad zde, ale výsledek bude stejný pro všechny ostatní volby. Bez ohledu na výběr prvních komponent bude s ním spojena přesně jedna druhá složka.
proto je tato relace funkcí.
abychom skutečně získali představu o tom, co nám definice funkce říká, Měli bychom se také podívat na příklad relace, která není funkcí.
nebojte se, odkud tato relace pochází. Je to jen jeden, který jsme si vymysleli pro tento příklad.
zde je seznam první a druhé komponenty
\
ze sady prvních komponent vyberme 6. Nyní, když jdeme nahoru k relaci, vidíme, že existují dva uspořádané páry s 6 jako první složkou: \(\left ({6,10} \right)\) a \(\left ({6, – 4} \right)\). Seznam druhých komponent spojených s 6 je pak: 10, -4.
seznam druhých komponent přidružených k 6 má dvě hodnoty, takže tato relace není funkcí.
Všimněte si, že pokud bychom zvolili -7 nebo 0 ze sady prvních komponent, existuje pouze jedno číslo v seznamu druhých komponent přidružených ke každému. Na tom nezáleží. Skutečnost, že jsme našli i jednu hodnotu v sadě prvních komponent s více než jednou druhou složkou, která je s ní spojena, stačí říci, že tento vztah není funkcí.
jako poslední komentář k tomuto příkladu si všimněme, že kdybychom odstranili první a / nebo čtvrtý uspořádaný pár z relace, měli bychom funkci!
doufejme, že máte alespoň pocit, co nám definice funkce říká.
nyní, když jsme vás přinutili projít skutečnou definicí funkce, dejme další“ pracovní “ definici funkce, která bude mnohem užitečnější pro to, co zde děláme.
skutečná definice funguje na relaci. Nicméně, jak jsme viděli u čtyř vztahů, které jsme dali před definicí funkce a vztahu, který jsme použili v příkladu 1, často dostáváme vztahy z nějaké rovnice.
je důležité si uvědomit, že ne všechny vztahy pocházejí z rovnic! Vztah z druhého příkladu byl například jen množina uspořádaných párů, které jsme si pro příklad zapsali a nepocházely z žádné rovnice. To může platit i pro vztahy, které jsou funkcemi. Nemusí pocházet z rovnic.
nicméně, když jsem řekl, že funkce, které budeme používat v tomto kurzu, pocházejí z rovnic. Proto si zapište definici funkce, která tuto skutečnost uznává.
než uvedeme“ pracovní “ definici funkce, musíme zdůraznit, že toto není skutečná definice funkce, která je uvedena výše. Toto je prostě dobrá „pracovní definice“ funkce, která spojuje věci s druhy funkcí, se kterými budeme v tomto kurzu pracovat.
„Pracovní Definice“ Funkce
funkce je rovnice, pro které žádné \(x\), který může být zapojen do rovnice přinese přesně jeden \(y\) z rovnice.
tady to je. To je definice funkcí, které budeme používat a pravděpodobně bude snazší rozluštit, co to znamená.
než to prozkoumáme, trochu si všimněte, že jsme v definici použili frázi „\(x\), do které lze připojit“. To znamená, že ne všechny \(x\) mohou být zapojeny do rovnice a to je ve skutečnosti správné. Jsme se vrátit a probrat to podrobněji ke konci této části, nicméně v tuto chvíli jen nezapomeňte, že nemůžeme dělit nulou a chceme-li reálná čísla z rovnice nemůžeme odmocnit záporné číslo. Takže s těmito dvěma příklady je jasné, že nebudeme vždy schopni zapojit každý \(x\) do jakékoli rovnice.
dále při práci s funkcemi budeme vždy předpokládat, že jak \(x\), tak \(y\) budou reálná čísla. Jinými slovy, zapomeneme, že o komplexních číslech víme něco, zatímco se zabýváme touto částí.
dobře, s tím z cesty vraťme se k definici funkce a podívejme se na některé příklady rovnic, které jsou funkce a rovnice, které nejsou funkce.
- \(y = 5x + 1\)
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
Zobrazit Všechna Řešení Skrýt Všechna Řešení
„pracovní“ definice funkce říká, že pokud vezmeme všechny možné hodnoty \(x\) a zapojte je do rovnice a vyřešit pro \(y\), budeme dostat přesně jednu hodnotu pro každou hodnotu \(x\). V této fázi hry může být docela obtížné skutečně ukázat, že rovnice je funkce, takže si ji většinou promluvíme. Na druhou stranu je často docela snadné ukázat, že rovnice není funkce.
\(y = 5x + 1\) Ukazují Řešení
Takže, musíme ukázat, že bez ohledu na to, jaké \(x\) dosadíme do rovnice a vyřešit pro \(y\) dostaneme jen jednu hodnotu z \(y\). Všimněte si také, že hodnota \(y\) bude pravděpodobně odlišná pro každou hodnotu \(x\), i když to nemusí být.
Začněme tím, že zapojíme některé hodnoty \(x\) a uvidíme, co se stane.
\
takže pro každou z těchto hodnot \(x\) jsme dostali jednu hodnotu \(y\) z rovnice. To nestačí k tvrzení, že se jedná o funkci. Za účelem úředně dokázat, že to je funkce, musíme ukázat, že to bude fungovat bez ohledu na to, které hodnoty \(x\) dosadíme do rovnice.
samozřejmě nemůžeme zapojit všechny možné hodnoty \(x\) do rovnice. To prostě není fyzicky možné. Vraťme se však zpět a podívejme se na ty, které jsme zapojili. Pro každý \(x\) jsme po připojení nejprve vynásobili \(x\) číslem 5 a poté jsme na něj přidali 1. Nyní, pokud vynásobíme číslo 5, získáme jednu hodnotu z násobení. Stejně tak získáme pouze jednu hodnotu, pokud přidáme 1 na číslo. Zdá se tedy věrohodné, že na základě operací spojených se zapojením \(x\) do rovnice dostaneme z rovnice pouze jednu hodnotu \(y\).
takže tato rovnice je funkce.
b \(y = {x^2} + 1\) Zobrazit řešení
znovu připojíme několik hodnot \(x\) a vyřešíme pro \(y\), abychom viděli, co se stane.
\
nyní se trochu zamysleme nad tím, co jsme dělali s hodnocením. Nejprve jsme na druhou hodnotu \(x\), kterou jsme zapojili. Když jsme čtverec číslo tam bude jen jedna možná hodnota. Pak k tomu přidáme 1, ale opět to přinese jednu hodnotu.
zdá se tedy, že tato rovnice je také funkcí.
Všimněte si, že je v pořádku získat stejnou hodnotu \(y\) pro různé \(x\). například
\
prostě nemůžeme získat více než jednu \(y\) z rovnice poté, co zapojíme \(x\).
c \({y^2} = x + 1\) Ukazují Řešení
Jako jsme udělali s předchozí dvě rovnice pojďme připojit pár hodnota \(x\), řešit na \(y\) a uvidíme, co dostaneme.
\
nezapomeňte, že řešíme pro \(y\) a to znamená, že v prvním a posledním případě výše dostaneme dvě různé \(y\) hodnoty z \(x\), takže tato rovnice není funkcí.
Všimněte si, že můžeme mít hodnoty \(x\), které přinesou jeden \(y\), jak jsme viděli výše, ale na tom nezáleží. Pokud i jedna hodnota \(x\) získá více než jednu hodnotu \(y\) při řešení rovnice nebude funkcí.
to ve skutečnosti znamená, že jsme nemuseli jít dál než první hodnocení, protože to dalo více hodnot \(y\).
d \({x^2} + {y^2} = 4\) Ukazují Řešení
tento případ použijeme lekci naučili v předchozí části, a uvidíme, jestli můžeme najít hodnotu \(x\), který bude dávat více než jednu hodnotu \(y\) na řešení. Protože máme v problému y2, nemělo by to být příliš těžké, protože řešení bude nakonec znamenat použití vlastnosti druhé odmocniny, která dá více než jednu hodnotu \(y\).
\
takže tato rovnice není funkcí. Připomeňme, že z předchozí části je to rovnice kruhu. Kruhy nejsou nikdy funkce.
doufejme, že tyto příklady vám daly lepší pocit z toho, co funkce ve skutečnosti je.
nyní se musíme přesunout na něco, co se nazývá notace funkcí. Funkční notace bude použita ve většině zbývajících kapitol v tomto kurzu, a proto je důležité jí porozumět.
začněme následující kvadratickou rovnicí.
\
můžeme použít proces podobný tomu, který jsme použili v předchozí sadě příkladů, abychom se přesvědčili, že se jedná o funkci. Protože se jedná o funkci, označíme ji následovně,
\
takže jsme nahradili \(y\) notací \(f\left (x \right)\). Toto se čte jako “ f z \(x\)“. Všimněte si, že na \(f\), který jsme zde použili, není nic zvláštního. Mohli jsme jednoduše použít některý z následujících,
\
písmeno, které používáme, nezáleží. Důležitá je část“ \(\left( x \right)\)“. Písmeno v závorce se musí shodovat s proměnnou použitou na pravé straně znaménka rovnosti.
je velmi důležité si uvědomit, že \(f\left (x \right)\) není nic jiného než opravdu efektní způsob psaní \(y\). Pokud to budete mít na paměti, možná zjistíte, že řešení notace funkcí se stává o něco jednodušší.
také se nejedná o násobení \(f\) \(x\)! To je jedna z nejčastějších chyb, které lidé dělají, když se poprvé zabývají funkcemi. Toto je pouze notace používaná k označení funkcí.
dále musíme mluvit o hodnocení funkcí. Vyhodnocení funkce není nic jiného než ptát se, jaká je její hodnota pro konkrétní hodnoty \(x\). Dalším způsobem, jak se na to dívat, je, že se ptáme, jaká je hodnota \(y\) pro daný \(x\).
vyhodnocení je opravdu poměrně jednoduché. Vezměme si funkci, na kterou jsme se dívali výše
\
, a zeptáme se, jaká je její hodnota pro \(x = 4\). Pokud jde o notaci funkcí, budeme se na to“ ptát “ pomocí notace \(f\left (4 \right)\). Takže, když je v závorce něco jiného než proměnná, opravdu se ptáme, jaká je hodnota funkce pro danou veličinu.
Nyní, když říkáme hodnotu funkce, opravdu se ptáme, jaká je hodnota rovnice pro tuto konkrétní hodnotu \(x\). Zde je \(f\left (4 \right)\).
\
Všimněte si, že vyhodnocení funkce se provádí přesně stejným způsobem, jakým vyhodnocujeme rovnice. Vše, co děláme, je připojit Pro \(x\), co je na vnitřní straně závorky na levé straně. Zde je další hodnocení této funkce.
\
takže opět vše, co je na vnitřní straně závorky vlevo, je zapojeno pro \(x\) v rovnici vpravo. Podívejme se na další příklady.
- \(f\left( 3 \right)\) a \(g\left( 3 \right)\)
- \(f\left( { – 10} \right)\) a \(g\left( { – 10} \right)\)
- \(f\left( 0 \right)\)
- \(f\left( t \right)\)
- \(f\left( {t + 1} \right)\) a \(f\left( {x + 1} \right)\)
- \(f\left( {{x^3}} \right)\)
- \(g\left( {{x^2} – 5} \right)\)
Zobrazit Všechna Řešení Skrýt Všechna Řešení
v pohodě, máme dvě funkce hodnocení, aby se dělat tady, a máme také dvě funkce, takže budeme muset rozhodnout, které funkce použít pro hodnocení. Klíčem je zde všimnout si dopisu, který je před závorkou. Pro \(f\left( 3 \right)\), budeme používat funkce \(f\left( x \right)\) a pro \(g\left( 3 \right)\), použijeme \(g\left( x \right)\). Jinými slovy, Musíme se jen ujistit, že se proměnné shodují.
zde jsou hodnocení pro tuto část.
\
b \(f\left( { – 10} \right)\) a \(g\left( { – 10} \right)\) Ukazují Řešení
Tohle je skoro stejný jako předchozí díl s jednou výjimkou, že se dotkneme, když jsme se do toho bodu. Zde jsou hodnocení.
\
ujistěte se, že se zde správně zabýváte negativními znaky. Teď ten druhý.
\
nyní jsme dosáhli rozdílu. Připomeňme, že když jsme poprvé začali mluvit o definici funkcí, uvedli jsme, že se budeme zabývat pouze reálnými čísly. Jinými slovy, připojujeme pouze reálná čísla a chceme pouze reálná čísla zpět jako odpovědi. Protože z toho dostaneme komplexní číslo, nemůžeme do této funkce zapojit -10.
c \(f \ left (0 \right)\) Zobrazit řešení
není moc k tomuto.
\
znovu nezapomeňte, že se nejedná o násobení! Z nějakého důvodu si studenti rádi myslí, že je to násobení a dostanou odpověď nula. Buď opatrný.
d \(f\left (t \ right)\) Zobrazit řešení
zbytek těchto hodnocení bude nyní trochu jiný. Jak ukazuje tento, nemusíme mít jen čísla v závorce. Hodnocení však funguje přesně stejným způsobem. Zapojíme do \(x\) ‚ s na pravé straně rovného znaménka, co je v závorce. V tomto případě to znamená, že připojíme \(t\) pro všechny \(x\).
zde je toto hodnocení.
\
Všimněte si, že v tomto případě je to v podstatě totéž jako naše původní funkce, kromě toho, že tentokrát používáme \(t\) jako proměnnou.
e \(f\left( {t + 1} \right)\) a \(f\left( {x + 1} \right)\) Ukazují Řešení
Teď pojďme trochu složitější, nebo alespoň se zdají být složitější. Věci nejsou tak špatné, jak se však mohou zdát. Nejprve vyhodnotíme \(f\left ({t + 1} \right)\). Tenhle funguje přesně stejně jako předchozí část. Všechny \(x\)’S na levé straně budou nahrazeny \(t + 1\). Po nahrazení budeme mít také nějaké zjednodušení.
\
buďte opatrní s závorkami v těchto druzích hodnocení. Je snadné se s nimi pohrávat.
nyní se podívejme na \(f\left ({x + 1} \right)\). S výjimkou \(x\) je to identické s \(f \ left ({t + 1} \right)\) a tak to funguje úplně stejně.
\
nenechte se nadchnout tím, že jsme znovu použili \(x\) v hodnocení zde. Na mnoha místech, kde to budeme dělat v pozdějších sekcích, bude zde \(x\), takže si na to budete muset zvyknout.
f \(f \ left ({{x^3}} \right)\) Zobrazit řešení
znovu se nenechte nadchnout \(x\) v závorce zde. Jen to vyhodnoťte, jako by to bylo číslo.
\
g \(g\left ({{x^2} – 5} \right)\) Zobrazit řešení
ještě jedno vyhodnocení a tentokrát použijeme druhou funkci.
\
vyhodnocení funkce je něco, co budeme dělat hodně v pozdějších sekcích a kapitolách, takže se ujistěte, že to můžete udělat. Najdete několik pozdějších sekcí velmi obtížné pochopit a / nebo dělat práci, pokud nemáte dobrý přehled o tom, jak funguje hodnocení funkcí.
zatímco se zabýváme hodnocením funkcí, měli bychom nyní hovořit o funkcích po částech. Ve skutečnosti jsme již viděli příklad funkce po částech, i když jsme ji v té době nenazývali funkcí (nebo funkcí po částech). Připomeňme matematickou definici absolutní hodnoty.
\
Toto je funkce a pokud použijeme notaci funkcí, můžeme ji napsat následovně,
\
Toto je také příklad funkce po částech. Funkce po částech není nic jiného než funkce, která je rozdělena na kousky a která část, kterou používáte, závisí na hodnotě \(x\). Takže v příkladu absolutní hodnoty použijeme horní díl, pokud \(x\) je kladný nebo nulový a použijeme spodní díl, pokud \(x\) je záporný.
pojďme se podívat na vyhodnocení složitější funkce po částech.
vyhodnoťte každou z následujících možností.
- \(g\left( { – 6} \right)\)
- \(g\left( { – 4} \right)\)
- \(g\left( 1 \right)\)
- \(g\left( {15} \right)\)
- \(g\left( {21} \right)\)
Zobrazit Všechna Řešení Skrýt Všechna Řešení
Před zahájením hodnocení zde poznamenejme, že jsme použili různé dopisy pro funkce a proměnné než ty, které jsme použili k tomuto bodu. To nic nezmění na tom, jak hodnocení funguje. Nenechte se tak zamčené do vidění \(f\) pro funkci a \(x\) pro proměnnou, že nemůžete dělat žádný problém, který nemá tato písmena.
nyní, abychom provedli každé z těchto hodnocení, musíme nejprve určit, kterou nerovnost číslo splňuje, a uspokojí pouze jednu nerovnost. Když určíme, kterou nerovnost číslo splňuje, použijeme rovnici spojenou s touto nerovností.
takže pojďme udělat nějaké hodnocení.
a \(g\left ({- 6} \right)\) Zobrazit řešení
v tomto případě -6 splňuje horní nerovnost, a proto pro toto vyhodnocení použijeme horní rovnici.
\
b \(g \ left ({- 4} \right)\) Show Solution
nyní budeme muset být trochu opatrní s tímto, protože -4 se objeví ve dvou nerovnostech. Splňuje však pouze horní nerovnost, a tak pro vyhodnocení opět použijeme horní funkci.
\
c \(g \ left (1 \right)\) Zobrazit řešení
v tomto případě číslo, 1, splňuje střední nerovnost, a proto pro vyhodnocení použijeme střední rovnici. Toto hodnocení často způsobuje problémy studentům navzdory skutečnosti, že je to vlastně jedno z nejjednodušších hodnocení, jaké kdy uděláme. Víme, že vyhodnocujeme funkce / rovnice zapojením čísla pro proměnnou. V tomto případě neexistují žádné proměnné. To není problém. Protože tam nejsou žádné proměnné, jen to znamená, že vlastně nevíme plug v nic a dostaneme následující,
\
d \(g\left( {15} \right)\) Ukazují Řešení
Opět, stejně jako s druhou částí musíme být trochu opatrní s tímto jeden. V tomto případě číslo splňuje střední nerovnost, protože to je číslo se znaménkem rovnosti. Pak stejně jako předchozí část dostaneme,
\
nenechte se nadchnout skutečností, že předchozí dvě hodnocení měla stejnou hodnotu. To se občas stane.
e \(g \ left ({21} \right)\) Show Solution
pro konečné vyhodnocení v tomto příkladu číslo splňuje spodní nerovnost, a proto pro vyhodnocení použijeme dolní rovnici.
\
po Částech funkce nevznikají tak často v hodinách Algebry, nicméně, oni vzniknout na několika místech v pozdějších tříd, a proto je důležité pro vás pochopit, je, pokud se chystáte být pohybující se na další matematické třídy.
jako poslední téma se musíme vrátit a dotknout se skutečnosti, že nemůžeme vždy zapojit každý \(x\) do každé funkce. Krátce jsme o tom mluvili, když jsme dali definici funkce, a viděli jsme příklad toho, když jsme hodnotili funkce. Nyní se na to musíme podívat trochu podrobněji.
nejprve musíme dostat pár definic z cesty.
Doména a rozsah
doména rovnice je množina všech \(x\), které můžeme zapojit do rovnice a získat zpět reálné číslo pro \(y\). Rozsah rovnice je množina všech \(y\)’s, které můžeme někdy dostat z rovnice.
Všimněte si, že jsme chtěli použít rovnici ve výše uvedených definicích místo funkcí. To jsou opravdu definice rovnic. Nicméně, protože funkce jsou také rovnice, můžeme použít definice pro funkce také.
určení rozsahu rovnice/funkce může být pro mnoho funkcí docela obtížné, takže se do toho opravdu nedostaneme. Zde se mnohem více zajímáme o určení domén funkcí. Z definice je doména množina všech \(x\), které můžeme zapojit do funkce a získat zpět reálné číslo. V tomto bodě to znamená, že se musíme vyhnout dělení nulou a brát odmocniny záporných čísel.
udělejme pár rychlých příkladů hledání domén.
- \(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\)
- \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \)
- \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7 x + 8} }}{{{x,^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10 x – 5} }}{{{x,^2} – 16}}\)
Zobrazit Všechna Řešení Skrýt Všechna Řešení
domény pro tyto funkce jsou všechny hodnoty \(x\), pro které nemáme dělení nulou, nebo odmocninu ze záporného čísla. Pokud si pamatujeme tyto dva nápady, nalezení domén bude docela snadné.
\(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\) Ukazují Řešení
Takže, v tomto případě, nejsou tam žádné odmocniny, takže se nemusíme starat o odmocninu ze záporného čísla. Existuje však možnost, že budeme mít dělení nulovou chybou. Abychom zjistili, zda budeme, musíme nastavit jmenovatele rovného nule a vyřešit.
\
takže dostaneme dělení nulou, pokud zapojíme \(x = – 5\) nebo \(x = 2\). To znamená, že se budeme muset vyhnout těmto dvěma číslům. Všechny ostatní hodnoty \(x\) však budou fungovat, protože nedávají dělení nulou. Doména je pak,
\
b \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \) Ukazují Řešení
V tomto případě nebudeme mít dělení nulou problémy, protože nemáme žádné frakce. Máme druhou odmocninu v problému, a tak se budeme muset starat o druhou odmocninu záporných čísel.
Tento bude fungovat trochu jinak než předchozí část. V této části jsme určili hodnotu(Y) \(x\), abychom se vyhnuli. V tomto případě bude stejně snadné přímo získat doménu. Aby se zabránilo náměstí kořeny negativních čísel, vše, co musíme udělat, je vyžadují, aby
\
To je docela jednoduché lineární nerovnosti, že bychom měli být schopni vyřešit v tomto bodě.
\
doména této funkce je pak,
\
c \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7 x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\) Ukazují Řešení
V tomto případě máme zlomek, ale všimněte si, že jmenovatel bude nikdy být nulový pro libovolné reálné číslo, neboť x2 je zaručeno, že být pozitivní nebo nula a přidání 4 na to bude znamenat, že jmenovatel je vždy nejméně 4. Jinými slovy, jmenovatel nikdy nebude nulový. Takže vše, co musíme udělat, je starat se o druhou odmocninu v čitateli.
K tomu budeme potřebovat,
\
Nyní, můžeme připojit jakékoliv hodnoty \(x\) do jmenovatele, nicméně, když jsme dostali odmocninu v čitateli budeme muset ujistěte se, že všechny \(x\)’s splňují nerovnost výše, aby se zabránilo problémy. Proto doménou této funkce je
\
d \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10 x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) Ukazují Řešení
V této závěrečné části máme oba odmocnina a dělení nulou bát. Pojďme se nejprve postarat o druhou odmocninu, protože to pravděpodobně způsobí největší omezení hodnot \(x\). Takže, aby odmocnina šťastný (tj. ne odmocnina záporného čísla) musíme požadovat, aby,
\
Takže, alespoň budeme potřebovat, vyžadovat, že \(x \ge \frac{1}{2}\), aby se předešlo problémům s odmocninou.
nyní se podívejme, jestli máme nějaké dělení nulovými problémy. Znovu, k tomu jednoduše nastavte jmenovatel rovný nule a vyřešte.
\
nyní si všimněte, že \(x = – 4\) nesplňuje nerovnost, kterou potřebujeme pro druhou odmocninu, a tak tato hodnota \(x\) již byla vyloučena druhou odmocninou. Na druhou stranu \(x = 4\) uspokojuje nerovnost. To znamená, že je v pořádku zapojit \(x = 4\) do druhé odmocniny, protože by to dalo dělení nulou, musíme se tomu vyhnout.
doménou této funkce je pak
\