vă rugăm să citiți limitele (O introducere) mai întâi

infinitul este o idee foarte specială. Știm că nu putem ajunge la ea, dar putem încerca în continuare să elaborăm valoarea funcțiilor care au infinit în ele.

unul împărțit la infinit

să începem cu un exemplu interesant.

de ce nu știm?

cel mai simplu motiv este că infinitul nu este un număr, este o idee.

deci, 1 inkt este un pic ca a spune 1beauty sau 1tall.

Poate am putea spune că 1= 0, … dar și aceasta este o problemă, pentru că dacă împărțim 1 în bucăți infinite și ajung la 0 fiecare, ce s-a întâmplat cu 1?

de fapt, se știe că 1% este nedefinit.

dar ne putem apropia!

deci, în loc de a încerca să-l lucreze pentru infinit (pentru că nu putem obține un răspuns sensibil), să încercăm valori mai mari și mai mari de x:

x	1x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

acum putem vedea că pe măsură ce x devine mai mare, 1x tinde spre 0

ne confruntăm acum cu o situație interesantă:

• Nu putem spune ce se întâmplă când x ajunge la infinit
• dar putem vedea că 1x se îndreaptă spre 0

vrem să dăm răspunsul „0” dar nu putem, așa că în schimb matematicienii spun exact ce se întâmplă folosind cuvântul special „limită”

limita de 1x pe măsură ce X se apropie de infinit este 0

și scrie-o astfel:

cu alte cuvinte:

pe măsură ce x se apropie de infinit, apoi 1x se apropie de 0

când vedeți „limită”, gândiți-vă „apropiindu-vă”

este un mod matematic de a spune „nu vorbim despre când x= Ecuador, dar știm că pe măsură ce x devine mai mare, Răspunsul se apropie din ce în ce mai mult de 0”.

rezumat

deci, uneori infinitul nu poate fi folosit direct, dar putem folosi o limită.

ceea ce se întâmplă la acest moment este nedefinit …		1∞
… dar noi știm că 1/x se apropie de 0 ca X se apropie de infinit		limx (1x) = 0

limite care se apropie de infinit

care este limita acestei funcții pe măsură ce X se apropie de infinit?

y = 2x

evident, pe măsură ce „x” devine mai mare, la fel și „2x”:

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
…	…

Deci, pe măsură ce „x” se apropie de infinit, atunci „2x” se apropie și de infinit. Noi scriem acest lucru:

dar nu te lăsa păcălit de”=”. Nu putem ajunge de fapt la infinit, dar în limbajul „limită” limita este infinitul (ceea ce spune cu adevărat că funcția este nelimitată).

infinit și grad

am văzut două exemple, unul a mers la 0, celălalt a mers la infinit.

de fapt, multe limite infinite sunt de fapt destul de ușor de rezolvat, atunci când ne dăm seama „în ce direcție merge”, astfel:

funcții precum abordarea 1 / x 0 pe măsură ce x se apropie de infinit. Acest lucru este valabil și pentru 1/x2 etc

o funcție precum x se va apropia de infinit, precum și de 2x sau x/9 și așa mai departe. De asemenea, funcțiile cu x2 sau x3 etc se vor apropia și de infinit.

dar fii atent, o funcție ca „−x” se va apropia de „−infinit”, așa că trebuie să ne uităm la semnele lui x.

de fapt, când ne uităm la gradul funcției (cel mai mare exponent din funcție) putem spune ce se va întâmpla:

când gradul funcției este mai mare decât cel al funcției:

• mai mare de 0, limita este infinit (sau −infinit)
• mai mică de 0, limita este 0

dar dacă gradul este 0 sau necunoscut, atunci avem nevoie pentru a lucra un pic mai greu pentru a găsi o limită.

funcții raționale

o funcție rațională este una care este raportul dintre două polinoame:		f(x) = P(x)Q(x)
de exemplu, aici p(x) = x3 + 2x − 1 și Q(X) = 6×2:		x3 + 2x − 16×2

pornind de la ideea noastră despre gradul ecuației, primul pas pentru a găsi limita este să …

comparați gradul de P(x) cu gradul de Q(x):

… limita este 0.

… împărțiți coeficienții Termenilor cu cel mai mare exponent, astfel:

(rețineți că cei mai mari exponenți sunt egali, deoarece gradul este egal)

… atunci limita este infinitatea pozitivă …

… sau poate infinit negativ. Trebuie să ne uităm la semne!

putem rezolva semnul (pozitiv sau negativ) uitându − ne la semnele Termenilor cu cel mai mare exponent, la fel cum am găsit coeficienții de mai sus:

x3 + 2x-16×2		de exemplu, acest lucru va merge la infinit pozitiv, deoarece ambele … x3 (termenul cu cel mai mare exponent în partea de sus) și 6×2 (termenul cu cel mai mare exponent în partea de jos) … sunt pozitive.
−2×2 + x5x − 3		dar acest lucru se va îndrepta spre infinit negativ, deoarece -2 / 5 este negativ.

un exemplu mai greu: elaborarea „e”

această formulă se apropie de valoarea e (numărul lui Euler) pe măsură ce n crește:

la infinit:

nu știm!

So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100.000	2.71827

da, se îndreaptă spre valoarea 2.71828… care este e (numărul lui Euler)

deci din nou avem o situație ciudată:

• nu știm care este valoarea când n=infinit
• dar putem vedea că se stabilește spre 2.71828…

deci folosim limite pentru a scrie răspunsul astfel:

este un mod matematic de a spune „nu vorbim despre momentul în care n= XV, dar știm că n devine mai mare, Răspunsul se apropie din ce în ce mai mult de valoarea lui e”.

evaluarea limitelor

am adoptat o abordare blândă a limitelor până acum și am arătat tabele și grafice pentru a ilustra punctele.

dar pentru a” evalua ” (cu alte cuvinte calcula) valoarea unei limite poate dura un pic mai mult efort. Aflați mai multe la evaluarea limitelor.