Afișați Notificarea mobilă Afișați toate notele ascundeți toate notele
secțiunea 3-4 : Definiția unei funcții
acum trebuie să trecem la al doilea subiect al acestui capitol. Înainte de a face acest lucru, însă avem nevoie de o definiție rapidă luate grijă de.
definiția relației
o relație este un set de perechi ordonate.
aceasta pare o definiție ciudată, dar vom avea nevoie de ea pentru definirea unei funcții (care este subiectul principal al acestei secțiuni). Cu toate acestea, înainte de a da de fapt definiția unei funcții să vedem dacă putem obține un mâner pe doar ceea ce este o relație.
gândiți-vă la exemplul 1 din secțiunea Grafică a acestui capitol. În acest exemplu am construit un set de perechi ordonate pe care le – am folosit pentru a schița graficul lui \(y = {\left( {x – 1} \right)^2} – 4\). Iată perechile comandate pe care le-am folosit.
\
oricare dintre următoarele sunt atunci relații deoarece constau dintr-un set de perechi ordonate.
\
există desigur mult mai multe relații pe care le-am putea forma din lista perechilor ordonate de mai sus, dar am vrut doar să enumerăm câteva relații posibile pentru a da câteva exemple. Rețineți, de asemenea, că am putea obține și alte perechi ordonate din ecuație și le-am adăuga în oricare dintre relațiile de mai sus, dacă am dori.
acum, în acest moment vă întrebați probabil de ce ne pasă de relații și aceasta este o întrebare bună. Unele relații sunt foarte speciale și sunt folosite la aproape toate nivelurile matematicii. Următoarea definiție ne spune doar ce relații sunt aceste relații speciale.
definiția unei funcții
o funcție este o relație pentru care fiecare valoare din set primele componente ale perechilor ordonate este asociată cu exact o valoare din setul de componente secundare ale perechii ordonate.
bine, asta e o gură plină. Să vedem dacă ne putem da seama ce înseamnă. Să aruncăm o privire la următorul exemplu care, sperăm, ne va ajuta să ne dăm seama de toate acestea.
Din aceste perechi ordonate avem următoarele seturi de primele componente (adică primul număr din fiecare pereche ordonată) și a doua componente (adică al doilea număr din fiecare pereche ordonată).
\
pentru setul de componente secundare observați că „-3” a avut loc în două perechi ordonate, dar l-am enumerat o singură dată.
pentru a vedea de ce această relație este o funcție pur și simplu alege orice valoare din setul de primele componente. Acum, reveniți la relație și găsiți fiecare pereche ordonată în care acest număr este prima componentă și enumerați toate cele două componente din acele perechi ordonate. Lista celor două componente va consta dintr-o singură valoare.
de exemplu, să alegem 2 din setul primelor componente. Din relație vedem că există exact o pereche ordonată cu 2 ca primă componentă,\(\stânga( {2, – 3} \dreapta)\). Prin urmare, lista a doua componente (adică. lista valorilor din setul de componente secundare) asociate cu 2 este exact un număr, -3.
rețineți că nu ne pasă că -3 este a doua componentă a unui al doilea par ordonat în relație. Acest lucru este perfect acceptabil. Pur și simplu nu vrem să existe mai mult de o pereche comandată cu 2 ca primă componentă.
am analizat o singură valoare din setul primelor componente pentru exemplul nostru rapid aici, dar rezultatul va fi același pentru toate celelalte opțiuni. Indiferent de alegerea primelor componente, va exista exact o a doua componentă asociată cu aceasta.
prin urmare, această relație este o funcție.
pentru a obține cu adevărat o idee despre ceea ce ne spune definiția unei funcții, ar trebui probabil să verificăm și un exemplu de relație care nu este o funcție.
nu vă faceți griji cu privire la cazul în care această relație a venit de la. Este doar unul pe care l-am făcut pentru acest exemplu.
aici este lista de prima și a doua componente
\
Din setul de primele componente să alegem 6. Acum, dacă urcăm la relație, vedem că există două perechi ordonate cu 6 ca primă componentă : \(\stânga( {6,10} \dreapta)\) și \(\stânga( {6, – 4} \dreapta)\). Lista a doua componente asociate cu 6 este apoi: 10, -4.
lista componentelor secundare asociate cu 6 are două valori și astfel această relație nu este o funcție.
rețineți că faptul că dacă am fi ales -7 sau 0 din setul primelor componente există un singur număr în lista celor două componente asociate cu fiecare. Asta nu contează. Faptul că am găsit chiar și o singură valoare în setul primelor componente cu mai mult de o a doua componentă asociată cu aceasta este suficient să spunem că această relație nu este o funcție.
ca un comentariu final despre acest exemplu să observăm că, dacă am eliminat prima și/sau a patra pereche ordonată din relație, am avea o funcție!
deci, sperăm că aveți cel puțin un sentiment pentru ceea ce ne spune definiția unei funcții.
acum că v-am forțat să treceți prin definiția reală a unei funcții, să dăm o altă definiție „funcțională” a unei funcții care va fi mult mai utilă pentru ceea ce facem aici.
definiția reală funcționează pe o relație. Cu toate acestea, așa cum am văzut cu cele patru relații pe care le-am dat înainte de definirea unei funcții și relația pe care am folosit-o în exemplul 1, obținem adesea relațiile dintr-o ecuație.
este important să rețineți că nu toate relațiile provin din ecuații! Relația din al doilea exemplu, de exemplu, a fost doar un set de perechi ordonate pe care le-am notat pentru exemplu și nu au venit din nicio ecuație. Acest lucru poate fi valabil și în cazul relațiilor care sunt funcții. Nu trebuie să provină din ecuații.
cu toate acestea, acestea fiind spuse, funcțiile pe care le vom folosi în acest curs provin toate din ecuații. Prin urmare, să scriem o definiție a unei funcții care recunoaște acest fapt.
înainte de a da definiția „de lucru” a unei funcții, trebuie să subliniem că aceasta nu este definiția reală a unei funcții, care este dată mai sus. Aceasta este pur și simplu o bună „definiție de lucru” a unei funcții care leagă lucrurile de tipurile de funcții cu care vom lucra în acest curs.
„definiție de lucru” a funcției
o funcție este o ecuație pentru care orice \(x\) care poate fi conectat la ecuație va produce exact un \(y\) din ecuație.
acolo este. Aceasta este definiția funcțiilor pe care le vom folosi și va fi, probabil, mai ușor să descifreze doar ceea ce înseamnă.
înainte de a examina acest lucru, rețineți că am folosit expresia „\(x\) care poate fi conectată” în definiție. Acest lucru tinde să sugereze că nu toate \(x\)’s poate fi conectat la o ecuație și acest lucru este de fapt corect. Vom reveni și vom discuta acest lucru mai detaliat spre sfârșitul acestei secțiuni, totuși, în acest moment, amintiți-vă că nu putem împărți la zero și dacă vrem numere reale din ecuație nu putem lua rădăcina pătrată a unui număr negativ. Deci, cu aceste două exemple este clar că nu vom putea întotdeauna să conectăm fiecare \(x\) în orice ecuație.
Mai mult, atunci când avem de-a face cu funcții, vom presupune întotdeauna că atât \(x\), cât și \(y\) vor fi numere reale. Cu alte cuvinte, vom uita că știm ceva despre numere complexe pentru un pic în timp ce ne ocupăm de această secțiune.
bine, cu asta din drum să ne întoarcem la definiția unei funcții și să ne uităm la câteva exemple de ecuații care sunt funcții și ecuații care nu sunt funcții.
- \(y = 5x + 1\)
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
arată toate soluțiile ascunde toate soluțiile
definiția „de lucru” a funcției spune este că, dacă luăm toate valorile posibile ale \(X\) și conectați-le în ecuație și rezolvați pentru \(y\) vom obține exact o valoare pentru fiecare valoare a \(X\). În această etapă a jocului poate fi destul de dificil să arătăm de fapt că o ecuație este o funcție, așa că vom vorbi mai ales prin ea. Pe de altă parte, este adesea destul de ușor să arăți că o ecuație nu este o funcție.
A \(y = 5x + 1\) arată soluție
deci, avem nevoie pentru a arăta că, indiferent de ceea ce \(x\) vom conecta în ecuația și de a rezolva pentru \(y\) vom primi doar o singură valoare de \(y\). Rețineți, de asemenea, că valoarea lui \(y\) va fi probabil diferită pentru fiecare valoare a lui \(x\), deși nu trebuie să fie.
să începem prin conectarea unor valori ale lui \(x\) și să vedem ce se întâmplă.
\
deci, pentru fiecare dintre aceste valori ale lui \(x\) am obținut o singură valoare a lui \(y\) din ecuație. Acum, acest lucru nu este suficient pentru a pretinde că aceasta este o funcție. Pentru a dovedi oficial că aceasta este o funcție, trebuie să arătăm că aceasta va funcționa indiferent de valoarea lui \(x\) pe care o conectăm la ecuație.
desigur, nu putem conecta toate valorile posibile ale lui \(x\) în ecuație. Acest lucru nu este posibil din punct de vedere fizic. Cu toate acestea, să ne întoarcem și să ne uităm la cele pe care le-am conectat. Pentru fiecare \(x\), la conectare, am înmulțit mai întâi \(x\) cu 5 și apoi am adăugat 1 pe el. Acum, dacă înmulțim un număr cu 5, vom obține o singură valoare din înmulțire. De asemenea, vom obține o singură valoare numai dacă adăugăm 1 pe un număr. Prin urmare, pare plauzibil că, pe baza operațiunilor implicate în conectarea \(x\) în ecuație, vom obține doar o singură valoare a \(y\) din ecuație.
deci, această ecuație este o funcție.
b \(y = {x^2} + 1\) Afișați soluția
Din nou, să conectăm câteva valori ale \(x\) și să rezolvăm pentru \(y\) pentru a vedea ce se întâmplă.
\
acum, să ne gândim puțin la ceea ce făceam cu evaluările. În primul rând, am pătrat valoarea \(x\) pe care am conectat-o. Când vom pătrat un număr va exista doar o singură valoare posibilă. Apoi adăugăm 1 pe aceasta, dar din nou, aceasta va produce o singură valoare.
deci, se pare că această ecuație este, de asemenea, o funcție.
rețineți că este în regulă să obțineți aceeași valoare \(y\) pentru diferiți \(x\). de exemplu,
\
Nu putem scoate mai mult de un \(y\) din ecuație după ce conectăm \(x\).
c \({y^2} = x + 1\) arată soluție
așa cum am făcut cu cele două ecuații anterioare să conectați o pereche de valoare de \(x\), rezolva pentru \(y\) și să vedem ce obținem.
\
acum, amintiți-vă că rezolvăm pentru \(y\) și asta înseamnă că în primul și ultimul caz de mai sus vom obține de fapt două valori \(y\) diferite din \(x\) și astfel această ecuație nu este o funcție.
rețineți că putem avea valori de \(x\) care vor produce un singur \(y\) așa cum am văzut mai sus, dar asta nu contează. Dacă chiar și o valoare a lui \(x\) produce mai mult de o valoare a lui \(y\) la rezolvarea ecuației nu va fi o funcție.
ceea ce înseamnă cu adevărat este că nu a fost nevoie să mergem mai departe decât prima evaluare, deoarece aceasta a dat valori multiple ale lui \(y\).
d \({x^2} + {y^2} = 4\) arată soluția
cu acest caz vom folosi lecția învățată în partea anterioară și vom vedea dacă putem găsi o valoare a lui \(x\) care va da mai mult de o valoare a lui \(y\) la rezolvare. Pentru că avem un Y2 în problemă, acest lucru nu ar trebui să fie prea greu de făcut, deoarece rezolvarea va însemna în cele din urmă utilizarea proprietății rădăcină pătrată care va da mai mult de o valoare a \(y\).
\
deci, această ecuație nu este o funcție. Reamintim că din secțiunea anterioară aceasta este ecuația unui cerc. Cercurile nu sunt niciodată funcții.
sperăm că aceste exemple v-au oferit o idee mai bună despre ceea ce este de fapt o funcție.
acum trebuie să trecem la ceva numit notație funcțională. Notația funcției va fi utilizată intens în majoritatea capitolelor rămase din acest curs și de aceea este important să o înțelegem.
să începem cu următoarea ecuație pătratică.
\
putem folosi un proces similar cu ceea ce am folosit în setul anterior de exemple pentru a ne convinge că aceasta este o funcție. Deoarece aceasta este o funcție, o vom denumi după cum urmează,
\
deci, am înlocuit \(y\) cu notația \(F\stânga( x \dreapta)\). Acest lucru este citit ca ” f de \(x\)”. Rețineți că nu există nimic special în ceea ce privește \(f\) pe care l-am folosit aici. Am fi putut folosi cu ușurință oricare dintre următoarele:
\
litera pe care o folosim nu contează. Ceea ce este important este partea „\(\stânga( x \dreapta)\)”. Litera din paranteză trebuie să se potrivească cu variabila utilizată în partea dreaptă a semnului egal.
este foarte important să rețineți că \(F\stânga( x \dreapta)\) nu este altceva decât un mod foarte fantezist de a scrie \(y\). Dacă vă păstrați că în minte s-ar putea găsi că se ocupă cu notație funcție devine un pic mai ușor.
De asemenea, aceasta nu este o multiplicare a \(f\) cu \(x\)! Aceasta este una dintre cele mai frecvente greșeli pe care le fac oamenii atunci când se ocupă mai întâi de funcții. Aceasta este doar o notație folosită pentru a desemna funcții.
în continuare trebuie să vorbim despre evaluarea funcțiilor. Evaluarea unei funcții nu este altceva decât să întrebi Care este valoarea sa pentru valorile specifice ale \(x\). Un alt mod de a privi este că ne întrebăm care este valoarea \(y\) pentru un anumit \(x\).
evaluarea este într-adevăr destul de simplu. Să luăm funcția la care ne uităm mai sus
\
și să întrebăm pentru ce este valoarea sa \(x = 4\). În ceea ce privește notația funcției, vom „întreba” acest lucru folosind notația \(F\Stânga( 4 \dreapta)\). Deci, atunci când există altceva decât variabila din paranteză, ne întrebăm cu adevărat care este valoarea funcției pentru acea cantitate particulară.
acum, când spunem valoarea funcției, ne întrebăm cu adevărat care este valoarea ecuației pentru acea valoare particulară a lui \(x\). Aici este \(f \ Stânga (4\dreapta)\).
\
observați că evaluarea unei funcții se face exact în același mod în care evaluăm ecuațiile. Tot ce facem este să conectăm pentru \(x\) orice se află în interiorul parantezei din stânga. Iată o altă evaluare pentru această funcție.
\
deci, din nou, orice este în interiorul parantezei din stânga este conectat pentru \(x\) în ecuația din dreapta. Să aruncăm o privire la câteva exemple.
- \(F\stânga( 3 \dreapta)\) și \(G\stânga( 3 \dreapta)\)
- \(F\stânga( { – 10} \dreapta)\) și \(G\stânga( { – 10} \dreapta)\)
- \(F\stânga( 0 \dreapta)\)
- \(F\stânga( t \dreapta)\)
- \(F\stânga (t \dreapta)\)
- \(F\stânga ({t + 1} \dreapta)\) și\(f\stânga ({x + 1} \dreapta)\)
- \(f\stânga ({{x^3}} \dreapta)\)
- \(g\stânga ({{x^2} – 5} \dreapta)\)
arată toate soluțiile ascunde toate soluțiile
bine, avem două evaluări ale funcțiilor de făcut aici și avem și două funcții, așa că va trebui să decidem ce funcție pentru a utiliza pentru evaluările. Cheia aici este să observați litera care se află în fața parantezei. Pentru \(F \stânga(3\ dreapta)\) vom folosi funcția\(f \stânga(x\ dreapta)\) și pentru\(G \stânga(3\ dreapta)\) vom folosi\(g \stânga (x\dreapta)\). Cu alte cuvinte, trebuie doar să ne asigurăm că variabilele se potrivesc.
aici sunt evaluările pentru această parte.
\
b \(F\stânga( { – 10} \dreapta)\) și \(G\stânga( { – 10} \dreapta)\) arată soluție
aceasta este destul de mult la fel ca partea anterioară, cu o excepție pe care o vom atinge atunci când vom ajunge la acel punct. Iată evaluările.
\
asigurați-vă că vă ocupați corect de semnele negative aici. Acum al doilea.
\
am ajuns acum la diferența. Amintiți-vă că atunci când am început să vorbim despre definiția funcțiilor, am declarat că vom avea de-a face doar cu numere reale. Cu alte cuvinte, conectăm doar numere reale și vrem doar numere reale înapoi ca răspunsuri. Deci, din moment ce am obține un număr complex din aceasta, nu putem conecta -10 la această funcție.
c \(F\stânga( 0 \dreapta)\) arată soluție
nu de mult la aceasta.
\
Din nou, nu uitați că aceasta nu este multiplicare! Din anumite motive, elevilor le place să se gândească la aceasta ca la multiplicare și să obțină un răspuns de zero. Ai grijă.
d \(F\stânga( t \dreapta)\) arată soluție
restul acestor evaluări sunt acum va fi un pic diferit. După cum arată acesta, nu trebuie să avem doar numere între paranteze. Cu toate acestea, evaluarea funcționează exact în același mod. Conectăm la \(x\) ‘ s pe partea dreaptă a semnului egal orice este în paranteză. În acest caz, asta înseamnă că conectăm \(t\) pentru toate \(x\).
iată această evaluare.
\
rețineți că, în acest caz, acest lucru este destul de mult același lucru ca și funcția noastră originală, cu excepția de data aceasta folosim \(t\) ca o variabilă.
e \(F\left( {t + 1} \right)\) și \(F\left( {x + 1} \right)\) arată soluție
acum, să ne un pic mai complicat, sau cel puțin ele par a fi mai complicate. Cu toate acestea, lucrurile nu sunt atât de rele pe cât ar putea părea. Vom evalua mai întâi \(F\stânga( {t + 1} \dreapta)\). Acesta funcționează exact la fel ca partea anterioară. Toate \(x\) din stânga vor fi înlocuite cu \(t + 1\). Vom avea o simplificare de făcut și după înlocuire.
\
fii atent cu paranteze în aceste tipuri de evaluări. Este ușor să te încurci cu ei.
acum, să aruncăm o privire la \(F\stânga( {x + 1} \dreapta)\). Cu excepția \(x\) Acest lucru este identic cu \(F\stânga( {t + 1} \dreapta)\) și deci funcționează exact în același mod.
\
nu vă entuziasmați de faptul că am reutilizat \(x\) în evaluarea de aici. În multe locuri unde vom face acest lucru în secțiunile ulterioare vor fi \(x\)’S aici și deci va trebui să vă obișnuiți să vedeți asta.
f \(F\stânga( {{x^3}} \dreapta)\) arată soluție
Din nou, nu te entuziasmat de \(x\) e în paranteză aici. Evaluează-l ca și cum ar fi un număr.
\
g \(G\stânga( {{x^2} – 5} \dreapta)\) arată soluție
încă o evaluare și de data aceasta vom folosi cealaltă funcție.
\
evaluarea funcției este ceva ce vom face o mulțime de secțiuni și capitole ulterioare, astfel asigurați-vă că o puteți face. Veți găsi mai multe secțiuni ulterioare foarte greu de înțeles și/sau de a face munca în dacă nu aveți o bună înțelegere cu privire la modul în care funcționează evaluarea funcției.
în timp ce suntem pe tema evaluării funcției, ar trebui să vorbim acum despre funcții în bucăți. De fapt, am văzut deja un exemplu de funcție în bucăți, chiar dacă nu am numit-o funcție (sau o funcție în bucăți) la momentul respectiv. Amintiți-vă definiția matematică a valorii absolute.
\
aceasta este o funcție și dacă folosim notația funcției o putem scrie după cum urmează,
\
acesta este, de asemenea, un exemplu de funcție în bucăți. O funcție în bucăți nu este altceva decât o funcție care este ruptă în bucăți și care piesă pe care o utilizați depinde de valoarea lui \(x\). Deci, în exemplul de valoare absolută vom folosi piesa de sus dacă \(x\) este pozitiv sau zero și vom folosi piesa de jos dacă \(x\) este negativ.
Să aruncăm o privire la evaluarea unei funcții mai complicate în bucăți.
evaluați fiecare dintre următoarele.
- \(g\stânga( { – 6} \dreapta)\)
- \(g\Stânga( { – 4} \dreapta)\)
- \(g\stânga( 1 \dreapta)\)
- \(g\stânga( {15} \dreapta)\)
- \(g\stânga( {21} \dreapta)\)
arată toate soluțiile ascunde toate soluțiile
înainte de a începe evaluările aici să observăm că folosim litere diferite pentru funcție și variabilă decât cele pe care le-am folosit până acum. Asta nu va schimba modul în care funcționează evaluarea. Nu te atât de blocat în a vedea \(f\) pentru funcția și \(x\) pentru variabila pe care nu se poate face nici o problemă care nu are aceste litere.acum ,pentru a face fiecare dintre aceste evaluări, primul lucru pe care trebuie să-l facem este să determinăm ce inegalitate satisface numărul și va satisface doar o singură inegalitate. Când determinăm ce inegalitate satisface numărul, folosim ecuația asociată cu acea inegalitate.
deci, hai să facem niște evaluări.
A \(G\left( { – 6} \right)\) arată soluție
în acest caz -6 satisface inegalitatea de sus și așa vom folosi ecuația de sus pentru această evaluare.
\
b \(g\Stânga( { – 4} \dreapta)\) arată soluție
acum va trebui să fie un pic mai atent cu asta, deoarece -4 apare în două dintre inegalitățile. Cu toate acestea, satisface doar inegalitatea de top și astfel vom folosi din nou funcția de top pentru evaluare.
\
c \(G\stânga( 1 \dreapta)\) arată soluție
în acest caz, numărul, 1, satisface inegalitatea de mijloc și așa vom folosi ecuația de mijloc pentru evaluare. Această evaluare cauzează adesea probleme studenților, în ciuda faptului că este de fapt una dintre cele mai ușoare evaluări pe care le vom face vreodată. Știm că evaluăm funcțiile / ecuațiile prin conectarea numărului pentru variabilă. În acest caz nu există variabile. Asta nu e o problemă. Deoarece nu există variabile, înseamnă doar că nu conectăm nimic și obținem următoarele:
\
d \(G\left( {15} \right)\) Afișați soluția
Din nou, ca și în a doua parte, trebuie să fim puțin atenți cu aceasta. În acest caz, numărul satisface inegalitatea mijlocie, deoarece acesta este cel cu semnul egal în el. Apoi, la fel ca partea anterioară, obținem,
\
nu vă entuziasmați de faptul că cele două evaluări anterioare au avut aceeași valoare. Acest lucru se va întâmpla ocazional.
e \(G\stânga( {21} \dreapta)\) arată soluție
pentru evaluarea finală în acest exemplu numărul satisface inegalitatea de jos și așa vom folosi ecuația de jos pentru evaluare.
\
funcțiile în bucăți nu apar atât de des într-o clasă de algebră cu toate acestea, ele apar în mai multe locuri în clasele ulterioare și de aceea este important să le înțelegeți dacă veți trece la mai multe clase de matematică.
ca subiect final trebuie să revenim și să atingem faptul că nu putem conecta întotdeauna fiecare \(x\) în fiecare funcție. Am vorbit pe scurt despre acest lucru când am dat definiția funcției și am văzut un exemplu în acest sens când evaluam funcțiile. Acum trebuie să analizăm acest lucru într-un pic mai detaliat.
În primul rând, avem nevoie pentru a obține o serie de definiții din drum.
domeniul și intervalul
domeniul unei ecuații este mulțimea tuturor \(x\) pe care le putem conecta în ecuație și să ne întoarcem un număr real pentru \(y\). Gama de o ecuație este setul de toate \(y\) pe care le putem obține vreodată din ecuație.
rețineți că am vrut să folosim ecuația în definițiile de mai sus în loc de funcții. Acestea sunt într-adevăr definiții pentru ecuații. Cu toate acestea, deoarece funcțiile sunt și ecuații, putem folosi și definițiile pentru funcții.
determinarea intervalului unei ecuații / funcții poate fi destul de dificil de făcut pentru multe funcții și deci nu vom intra cu adevărat în asta. Suntem mult mai interesați aici de determinarea domeniilor funcțiilor. Din Definiția domeniul este setul de toate \(x\) pe care le putem conecta într-o funcție și de a lua înapoi un număr real. În acest moment, asta înseamnă că trebuie să evităm împărțirea la zero și să luăm rădăcini pătrate de numere negative.
să facem câteva exemple rapide de găsire a domeniilor.
- \(\displaystyle G \ stânga (x \ dreapta) = \ frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x-10}}\)
- \(F \ stânga (x \dreapta) = \ sqrt {5-3x}\)
- \(\displaystyle H \ stânga (x \ dreapta) = \ frac {{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle r \ stânga (x \ dreapta) = \ frac {{\sqrt {10x-5} }} {{{x^2} – 16}}\)
Afișați toate soluțiile ascundeți toate soluțiile
domeniile pentru aceste funcții sunt toate valorile \(x\) pentru care nu avem diviziune la zero sau rădăcina pătrată a unui număr negativ. Dacă ne amintim aceste două idei găsirea domeniilor va fi destul de ușoară.
A \(\displaystyle G\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\) afișează soluția
Deci, în acest caz nu există rădăcini pătrate, deci nu trebuie să ne facem griji cu privire la rădăcina pătrată a unui număr negativ. Cu toate acestea, există posibilitatea ca vom avea o diviziune de eroare la zero. Pentru a determina dacă vom avea nevoie pentru a seta numitorul egal cu zero și de a rezolva.
\
deci, vom obține împărțirea la zero dacă conectăm \(x = – 5\) sau \(x = 2\). Asta înseamnă că va trebui să evităm aceste două numere. Cu toate acestea, toate celelalte valori ale lui \(x\) vor funcționa, deoarece nu dau diviziune la zero. Domeniul este apoi,
\
b \(F\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \) arată soluție
în acest caz, nu vom avea diviziune de zero probleme, deoarece nu avem nici fracții. Avem o rădăcină pătrată în problema și așa va trebui să vă faceți griji cu privire la luarea rădăcina pătrată a unui număr negativ.
acesta va funcționa puțin diferit față de partea anterioară. În acea parte am determinat valoarea(valorile) lui \(x\) de evitat. În acest caz, va fi la fel de ușor să obțineți direct domeniul. Pentru a evita rădăcinile pătrate ale numerelor negative, tot ce trebuie să facem este să cerem ca
\
aceasta să fie o inegalitate liniară destul de simplă pe care ar trebui să o putem rezolva în acest moment.
\
domeniul acestei funcții este atunci,
\
c \(\displaystyle H\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\) arată soluție
în acest caz, avem o fracție, dar observați că numitorul nu va fi niciodată zero pentru orice număr real, deoarece x2 este garantat a fi pozitiv sau zero și adăugarea 4 pe aceasta va însemna numitorul este întotdeauna cel puțin 4. Cu alte cuvinte, numitorul nu va fi niciodată zero. Deci, tot ce trebuie să facem atunci este să vă faceți griji cu privire la rădăcina pătrată din numărător.
pentru a face acest lucru vom cere,
\
acum, putem conecta de fapt orice valoare a lui \(x\) la numitor, totuși, deoarece avem rădăcina pătrată în numărător, va trebui să ne asigurăm că toți \(x\) satisfac inegalitatea de mai sus pentru a evita problemele. Prin urmare, domeniul acestei funcții este
\
d \(\displaystyle r\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) arată soluția
în această parte finală avem atât o rădăcină pătrată, cât și o împărțire cu zero de care să ne facem griji. Să avem grijă mai întâi de rădăcina pătrată, deoarece aceasta va pune probabil cea mai mare restricție asupra valorilor \(x\). Deci, pentru a menține rădăcina pătrată fericită(adică fără rădăcină pătrată de numere negative) va trebui să solicităm asta,
\
deci, cel puțin va trebui să solicităm asta \(x \ge \frac{1}{2}\) pentru a evita problemele cu rădăcina pătrată.
acum, să vedem dacă avem vreo diviziune prin zero probleme. Din nou, pentru a face acest lucru pur și simplu setați numitorul egal cu zero și rezolvați.
\
acum, observați că \(x = – 4\) nu satisface inegalitatea de care avem nevoie pentru rădăcina pătrată și astfel valoarea lui \(x\) a fost deja exclusă de rădăcina pătrată. Pe de altă parte, \(x = 4\) satisface inegalitatea. Aceasta înseamnă că este bine să conectați \(x = 4\) la rădăcina pătrată, totuși, deoarece ar da diviziune la zero, va trebui să o evităm.
domeniul pentru această funcție este atunci,
\