o secvență faimoasă și importantă este secvența Fibonacci, numită după matematicianul Italian cunoscut sub numele de Leonardo Pisano, a cărui poreclă era Fibonacci și care a trăit între 1170 și 1230. Această secvență este:
\
această secvență este definită recursiv. Aceasta înseamnă că fiecare termen este definit de termenii anteriori.
și așa mai departe.
secvența Fibonacci este definită de
cu alte cuvinte, pentru a obține următorul termen în secvență, adăugați cei doi termeni anteriori.
\
notația pe care o vom folosi pentru a reprezenta secvența Fibonacci este următoarea:
\
exemplu \(\PageIndex{1}\): Găsirea numerelor Fibonacci recursiv
găsiți numerele Fibonacci 13, 14 și 15 folosind definiția recursivă de mai sus pentru secvența Fibonacci.
în primul rând, observați că există deja 12 numere Fibonacci enumerate mai sus, astfel încât pentru a găsi următoarele trei numere Fibonacci, adăugăm pur și simplu cei doi termeni anteriori pentru a obține următorul termen după cum afirmă definiția.
prin urmare, numerele Fibonacci 13, 14 și 15 sunt 233, 377 și, respectiv, 610.
calculul Termenilor secvenței Fibonacci poate fi obositor atunci când se utilizează formula recursivă, în special atunci când se găsesc termeni cu un n mare. Din fericire, un matematician pe nume Leonhard Euler a descoperit o formulă pentru calcularea oricărui număr Fibonacci. Această formulă a fost pierdută timp de aproximativ 100 de ani și a fost redescoperită de un alt matematician numit Jacques Binet. Formula originală, cunoscută sub numele de Formula lui Binet, este mai jos.
formula lui Binet: al n-lea număr Fibonacci este dat de următoarea formulă:
\}{\sqrt{5}}\]
formula lui Binet este un exemplu de secvență definită Explicit. Aceasta înseamnă că termenii secvenței nu depind de termenii anteriori.
o versiune oarecum mai ușor de utilizat, simplificată a formulei Binet este uneori folosit în loc de cea de mai sus.
Formula simplificată a lui Binet: al n-lea număr Fibonacci este dat de următoarea formulă:
notă: simbolul
Example \(\PageIndex{2}\): Găsirea
găsiți valoarea
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. Numărul de ramuri pe unii copaci sau numărul de petale ale unor margarete sunt adesea numere Fibonacci
figura \(\PageIndex{4}\): numere Fibonacci și margarete
a. Daisy cu 13 petale B. Daisy cu 21 petale
a. 
(margarete, N.D.)
numerele Fibonacci apar, de asemenea, în modele de creștere spirală, cum ar fi numărul de spirale pe un cactus sau în paturile de semințe de floarea-soarelui.
figura \(\PageIndex{5}\): numerele Fibonacci și creșterea spirală
a. Cactus cu 13 spirale în sensul acelor de ceasornic B. floarea-soarelui cu 34 spirale în sensul acelor de ceasornic și 55 spirale în sens invers acelor de ceasornic
a. 
(Cactus, N.d.) (floarea-soarelui, n.d.)
un alt fapt interesant apare atunci când se uită la rapoartele de numerele Fibonacci.
se pare că aceste rapoarte se apropie de un număr. Numărul de care se apropie aceste rapoarte este un număr special numit raportul auriu care este notat cu 
raportul de aur:
\
raportul de aur are aproximarea zecimală a \(\phi=1.6180339887\).
raportul de aur este un număr special pentru o varietate de motive. Se mai numește proporția divină și apare în artă și arhitectură. Este susținut de unii a fi raportul cel mai plăcut pentru ochi. Pentru a găsi acest raport, grecii au tăiat o lungime în două părți și au lăsat piesa mai mică egală cu o unitate. Cea mai plăcută tăiere este atunci când raportul dintre întreaga lungime 
raportul auriu este o soluție la ecuația pătratică
a funcționat!
o altă relație interesantă între raportul de aur și secvența Fibonacci apare atunci când se iau puteri de
și așa mai departe.
observați că coeficienții 
regula puterii de aur: \(\phi^{n}=f_{n} \phi+f_{n-1}\)
unde\(f_{n}\) este al n-lea număr Fibonacci și \(\phi\) este raportul de aur.
Example \(\PageIndex{5}\): puterile raportului auriu
găsiți următoarele folosind regula puterii aurii: a.
