por Favor, leia Limites (Uma Introdução) primeiro
o Infinito é uma idéia muito especial. Sabemos que não podemos alcançá-lo, mas ainda podemos tentar descobrir o valor das funções que têm infinito nelas.
um dividido pelo infinito
vamos começar com um exemplo interessante.
Question: What is the value of 1∞ ?resposta: não sabemos!por que não sabemos?
a razão mais simples é que o infinito não é um número, é uma ideia.
So 1∞ is a bit like saying 1beauty or 1tall.
talvez pudéssemos dizer que 1∞= 0,… mas isso também é um problema, porque se dividirmos 1 em peças infinitas e elas terminarem 0 Cada, o que aconteceu ao 1?
de facto, sabe-se que 1∞ é indefinida.mas podemos aproximar-nos!
então, em vez de tentar trabalhar para o infinito (porque não podemos obter uma resposta sensata), vamos tentar valores cada vez maiores de x:
| x | 1x |
| 1 | 1.00000 |
| 2 | 0.50000 |
| 4 | 0.25000 |
| 10 | 0.10000 |
| 100 | 0.01000 |
| 1,000 | 0.00100 |
| 10,000 | 0.00010 |
Agora podemos ver que à medida que x aumenta, 1x tende para 0
Nós somos agora confrontados com uma situação interessante:
- não podemos dizer o que acontece quando x recebe até o infinito
- Mas podemos ver que 1x está indo para 0
Nós queremos dar a resposta “0”, mas não pode, assim, em vez matemáticos dizer exatamente o que está acontecendo por utilizar a palavra “limite”
O limite de 1x a medida que x se aproxima de Infinito é 0
E escrever assim:
Em outras palavras:
à medida que x se aproxima do infinito, então 1x se aproxima de 0
Quando você vê “limite”, pense”aproximando-se “
é uma maneira matemática de dizer”não estamos falando sobre quando x=∞, mas sabemos que quando x se torna maior, a resposta fica cada vez mais perto de 0″.
resumo
assim, às vezes o infinito não pode ser usado diretamente, mas podemos usar um limite.
| o que acontece em ∞ é indefinido … | 1∞ |  |
||
| … mas sabemos que 1/x se aproxima de 0 a medida que x se aproxima do infinito |
limx→∞ (1x) = 0
|
 |
Limites se Aproximando do Infinito
Qual é o limite desta função à medida que x se aproxima de infinito?
y = 2x
obviamente como ” x “fica maior, assim como”2x”:
| x | y=2x |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 4 | 8 |
| 10 | 20 |
| 100 | 200 |
| … | … |
de modo que “x” se aproxima do infinito, então “2x” também se aproxima do infinito. Nós escrevemos isto:
mas não se deixe enganar pelo “=”. Não podemos chegar ao infinito, mas na linguagem” limite ” o limite é o infinito (que está realmente dizendo que a função é ilimitada).
infinito e grau
vimos dois exemplos, Um foi para 0, o outro foi para o infinito.
na verdade, muitos limites infinitos são realmente muito fáceis de resolver, quando descobrimos “para que lado ele está indo”, como este:
funções como 1/x aproximação 0 como x aproxima-se do infinito. Isto também é verdade para 1 / x2 etc
uma função como x irá se aproximar do infinito, bem como 2x, ou x / 9 e assim por diante. Da mesma forma, funções com x2 ou x3 etc também se aproximarão do infinito.
Mas cuidado, uma função como “−x” irá abordagem “−infinito”, então nós temos de olhar para os sinais de x.
Exemplo: 2×2−5x
- 2×2 vai dirigir para +infinito
- −5x vai dirigir para -infinito
- Mas x2 cresce mais rapidamente do que x, então 2×2−5x vai dirigir para +infinito
Na verdade, quando olhamos para o Grau da função (o expoente máximo da função), podemos dizer o que vai acontecer:
Quando o Grau da função é:
- maior que 0, o limite é o infinito (ou −infinito)
- menor que 0, o limite é 0
Mas, se o Grau é 0 ou desconhecido, então, precisamos trabalhar um pouco mais para encontrar um limite.
Funções Racionais
| Uma Função Racional é aquele que é a razão de dois polinômios: |
f(x) = P(x)Q(x)
|
|
| Por exemplo, P(x) = x3 + 2x − 1 e Q(x) = 6×2: |
x3 + 2x − 16×2
|
na sequência da nossa idéia do Grau da Equação, o primeiro passo para encontrar o limite …
Compare o grau de P (x) com o grau de Q(x):
… o limite é 0.
… dividir os coeficientes dos termos com o maior expoente, como este:
(note que os maiores expoentes são iguais, como o grau é igual)
… então o limite é infinito positivo …
… ou talvez infinito negativo. Temos de ver os sinais!
podemos trabalhar o sinal (positivo ou negativo), observando os sinais dos termos com o maior expoente, assim como encontramos os coeficientes acima:
|
x3 + 2x − 16×2
|
Por exemplo, este vai para o infinito positivo, porque ambos …
… são positivos. |
|
|
−2×2 + x5x − 3
|
Mas isso vai da cabeça para o infinito negativo, porque -2/5 é negativo. |
Um dos Mais difíceis Exemplo: Trabalhar Fora “e”
Esta fórmula obtém mais próximo o valor de e (número de Euler) à medida que n aumenta:
No infinito:
So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:
| n | (1 + 1/n)n |
|---|---|
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Sim, ele está caminhando para o valor 2.71828… que é e (número de Euler)
então novamente temos uma situação estranha:
- não sabemos qual é o valor quando n=infinito
- Mas podemos ver que ele se acomoda em 2,71828…
então usamos limites para escrever a resposta assim:
é uma maneira matemática de dizer “não estamos falando sobre quando n=∞, Mas sabemos que n fica maior, a resposta fica cada vez mais perto do valor de e”.
não o faça da forma errada … !
se tentarmos usar o infinito como um “número real muito grande” (não é!) we get:
(errado!) então não tente usar o infinito como um número real: você pode obter respostas erradas!
limites são o caminho certo a seguir.
avaliar os limites
I tem tomado uma abordagem suave aos limites até agora, e mostrados quadros e gráficos para ilustrar os pontos.
mas para “avaliar” (em outras palavras calcular) o valor de um limite pode ter um pouco mais de esforço. Saiba mais sobre a avaliação de limites.