caudal Q é definido como o volume de fluido que passa por algum local através de uma área durante um período de tempo, como se vê na Figura 1. Em símbolos, isto pode ser escrito como

, onde V é o volume e t é o tempo decorrido. A unidade SI para o caudal é m3 / s, mas uma série de outras unidades para Q são de uso comum. Por exemplo, o coração de um adulto em repouso bombeia sangue a uma taxa de 5, 00 litros por minuto (L/min). Note que um litro (L) é 1/1000 de um metro cúbico ou 1000 centímetros cúbicos (10-3 m3 ou 103 cm3). Neste texto, utilizaremos as unidades métricas mais convenientes para uma dada situação.

Figura 1. Caudal é o volume de fluido por unidade de tempo que passa por um ponto através da área A. Aqui o cilindro sombreado do fluido passa pelo ponto P num tubo uniforme no tempo T. O volume do cilindro é Ad e a velocidade média é \overline{v}=d / t\ \ de modo que o caudal é Q=\text{Ad}/t=a\overline{v}\\ .

caudal e velocidade estão relacionados, mas quantidades físicas bastante diferentes. Para deixar a distinção clara, pense na taxa de fluxo de um rio. Quanto maior a velocidade da água, maior a taxa de fluxo do rio. Mas a taxa de fluxo também depende do tamanho do rio. Uma rápida corrente montanhosa transporta muito menos água do que o Rio Amazonas no Brasil, por exemplo. A relação precisa entre o caudal Q e a velocidade \bar{v}\\ é

a, onde A é a área da seção transversal e \bar{v}\\ é a velocidade média. Esta equação parece bastante lógica. A relação nos diz que a taxa de fluxo é diretamente proporcional tanto à magnitude da velocidade média (a seguir referida como a velocidade) quanto ao tamanho de um rio, tubo ou outro conduíte. Quanto maior for o conduíte, maior será a sua área transversal. A figura 1 ilustra como esta relação é obtida. À sombra do cilindro tem um volume

V = Ad,

qual flui o ponto P em um tempo t. Dividindo ambos os lados desta relação por t dá

\frac{V}{t}=\frac{Ad}{t}\\.

notamos que Q=V / t e a velocidade média é \overline{v}=d / t\\. Assim, a equação torna-se Q=A\overline{v}\\. A figura 2 mostra um fluido incompressível que flui ao longo de um tubo de raio decrescente. Como o fluido é incompressível, a mesma quantidade de fluido deve passar por qualquer ponto do tubo em um determinado tempo para garantir a continuidade do fluxo. Neste caso, como a área transversal do tubo diminui, a velocidade deve necessariamente aumentar. Esta lógica pode ser estendida para dizer que o fluxo deve ser o mesmo em todos os pontos ao longo do tubo. Em particular, para os pontos 1 e 2,

\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2} \end{cases}\\

Esta é a chamada equação de continuidade e é válida para qualquer fluido incompressível. As consequências da equação da continuidade podem ser observadas quando a água flui de uma mangueira para um bocal de pulverização estreito: ela emerge com uma grande velocidade—esse é o propósito do bocal. Inversamente, quando um rio deságua numa extremidade de um reservatório, a água abranda consideravelmente, talvez retomando a velocidade quando sai da outra extremidade do reservatório. Em outras palavras, a velocidade aumenta quando a área transversal diminui, e a velocidade diminui quando a área transversal aumenta.

Figura 2. Quando um tubo estreita, o mesmo volume ocupa um comprimento maior. Para que o mesmo volume passe os pontos 1 e 2 num dado momento, a velocidade deve ser maior no ponto 2. O processo é exatamente reversível. Se o fluido flui na direção oposta, sua velocidade diminuirá quando o tubo aumenta. (Note que os volumes relativos dos dois cilindros e as correspondentes setas vetoriais de velocidade não são desenhados em escala.)

Uma vez que os líquidos são essencialmente incompressíveis, a equação da continuidade é válida para todos os líquidos. No entanto, os gases são compressíveis, e assim a equação deve ser aplicada com cautela aos gases se eles forem sujeitos a compressão ou expansão.

Exemplo 2. Calculando a velocidade do fluido: a velocidade aumenta quando um tubo estreita

um bocal com um raio de 0,250 cm Está ligado a uma mangueira de jardim com um raio de 0, 900 cm. O caudal através da mangueira e do bocal é de 0,500 L/S. calcula-se a velocidade da água (a) na mangueira e (b) na tubeira.

estratégia

podemos usar a relação entre o caudal e a velocidade para encontrar ambas as velocidades. Vamos usar o subscrito 1 para a mangueira e 2 para o bico.

Solução para (a)

Primeiro, resolvemos Q=A\overline{v}\\ para v1 e observe que a área da seção transversal é A = nr2, produzindo

{\overline{v}}_{1}=\frac{P}{{A}_{1}}=\frac{P}{{{{\pi r}}_{1}}^{2}}\\.

Substituindo os valores conhecidos e fazer conversões de unidades rendimentos

\bar{v}_{1}=\frac{\left(0.500\text{ L/s}\right)\left(10^{-3}\text{ m}^{3}\text{L}\right)}{\pi \left(9.00\times 10^{-3}\text{ m}\right)^{2}}=1.96\text{ m/s}\\.

Solução para (b)

poderíamos repetir este cálculo para encontrar a velocidade no bocal \bar{v}_{2}\\,, mas vamos usar a equação de continuidade para dar uma visão um pouco diferente. Usando a equação que os estados

{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={A}_{2}{\overline{v}}_{2}\\,

a solução para {\overline{v}}_{2}\\ e substituindo nr2 para a área da seção transversal rendimentos

\overline{v}_{2}=\frac{{A}_{1}}{{A}_{2}}\bar{v}_{1}=\frac{{\pi r_{1}}^{2}}{{\pi r_{2}}^{2}}\barra de{v}_{1}=\frac{{r_{1}}^{2}}{{r_{2}}^{2}}\barra de{v}_{1}\\.

Substituindo os valores conhecidos,

\overline{v}_{2}=\frac{\left(0.900\text{ cm}\right)^{2}}{\left(0.250\text{ cm}\right)^{2}}} 1, 96\text{ m / s}=25, 5 \text{ m / s}\.

discussão

uma velocidade de 1,96 m / s é cerca de direita para a água emergente de uma mangueira sem tubeira. O bocal produz um fluxo consideravelmente mais rápido apenas através da restrição do fluxo para um tubo mais estreito.

A solução para a última parte do exemplo mostra que a velocidade é inversamente proporcional ao quadrado do raio do tubo, fazendo com que grandes efeitos quando o raio varia. Podemos apagar uma vela a uma certa distância, por exemplo, com os nossos lábios, ao passo que soprar numa vela com a boca bem aberta é bastante ineficaz. Em muitas situações, incluindo no sistema cardiovascular, a ramificação do fluxo ocorre. O sangue é bombeado do coração para as artérias que se subdividem em artérias menores (artérias) que se ramificam em vasos muito finos chamados capilares. Nesta situação, a continuidade do fluxo é mantida, mas é a soma dos caudais em cada um dos ramos em qualquer porção ao longo do tubo que é mantida. A equação da continuidade de uma forma mais geral torna-se

{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2}{A}_{2}{\overline{v}}_{2}\\,

, onde n1 e n2 são o número de agências em cada uma das seções ao longo do tubo.

exemplo 3. Calculando a velocidade do fluxo e o diâmetro dos vasos: a ramificação no sistema Cardiovascular

a aorta é o vaso sanguíneo principal através do qual o sangue deixa o coração para circular ao redor do corpo. a) calcular a velocidade média do sangue na aorta se o caudal for de 5, 0 L/min. A aorta tem um raio de 10 mm. B) O sangue também flui através de vasos sanguíneos menores conhecidos como capilares. Quando a taxa de fluxo de sangue na aorta é de 5,0 L/min, a velocidade do sangue nos capilares é cerca de 0,33 mm/s. Dado que o diâmetro médio de um tubo capilar é de 8,0 µm, calcular o número de capilares no sistema circulatório do sangue.

a Estratégia

podemos usar Q=A\overline{v}\\ para calcular a velocidade de fluxo na aorta e, em seguida, usar a forma geral da equação de continuidade para calcular o número de capilares como de todas as outras variáveis são conhecidas.

solução para (a)

o caudal é dado por Q=A\overline{v}\\ ou \overline{v}=\frac{Q}{{\pi r}^{2}}\\ para um recipiente cilíndrico. Substituindo os valores conhecidos (convertidos para unidades de metros e segundos) retorna

\overline{v}=\frac{\left(5.0\text{ L/min}\right)\left(10^{-3}{\text{ m}}^{3}\text{/L}\right)\left(1\text{ min/}60\text{s}\right)}{\pi {\left(0.010\text{ m}\right)}^{2}}=0.27\texto{ m/s}\\.

Solução para (b)

Usando {n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2}{A}_{2}{\overline{v}}_{1}\\, atribuindo o índice 1 para a aorta e 2 para os capilares, e a solução para n2 (o número de capilares) dá – {n}_{2}=\frac{{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}}{{A}_{2}{\overline{v}}_{2}}\\. A conversão de todas as quantidades de unidades de metros e segundos, e substituindo na equação acima dá

{n}_{2}=\frac{\left(1\right)\left(\pi \right){\left(\text{10}\times {\text{10}}^{-3}\text{m}\right)}^{2}\left(0.27 \text{ m/s}\right)}{\left(pi \right){\left(4.0\times {\text{10}}^{-6}\text{m}\right)}^{2}\left(0.33\times {\text{10}}^{-3}\text{m/s}\right)}=5.0\times {\text{10}}^{9}\text{capilares}\\.

Discussão

Note que a velocidade do fluxo nos capilares é consideravelmente reduzida em relação à velocidade na aorta, devido ao aumento significativo no total da área da seção transversal do capilar. Esta baixa velocidade deve permitir tempo suficiente para a troca efetiva ocorrer, embora seja igualmente importante que o fluxo não se torne estacionário, a fim de evitar a possibilidade de coagulação. Este grande número de capilares no corpo parece razoável? No músculo ativo, encontra-se cerca de 200 capilares por mm3, ou cerca de 200 × 106 por 1 kg de músculo. Para 20 kg de músculo, isto equivale a cerca de 4 × 109 Capilares.

Resumo da secção

• caudal Q é definido como sendo o volume V que passa por um ponto no tempo t, ou Q=\frac{V}{t}\\ onde V é volume e T é tempo.
• A unidade de volume SI é m3.outra unidade comum é o litro (L), que é de 10-3 m3.
• taxa de fluxo e velocidade estão relacionadas por Q = A \ overline{V}\ \ onde A é a área transversal do fluxo e\overline{v}\ \ é a sua velocidade média.para fluidos incompressíveis, o caudal em vários pontos é constante. That is,

\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2}\\ n_{1}A_{1}\bar{v}_{1} && n_{2}A_{2}\bar{v}_{2}\end{cases}\\.

Conceptual Questions

1. What is the difference between flow rate and fluid velocity? How are they related?

2. Many figures in the text show streamlines. Explique porque é que a velocidade dos fluidos é maior onde as linhas de corrente estão mais próximas. (Dica: considere a relação entre a velocidade do fluido e a área transversal através da qual ele flui.)

3. Identificar algumas substâncias que são incompressíveis e algumas que não são.

Problemas & Exercícios

1. Qual é a taxa média de fluxo em cm3 / s de gasolina para o motor de um carro que viaja a 100 km / h, se em média 10,0 km / L?

2. O coração de um adulto em repouso bombeia sangue a uma taxa de 5.00 L / min. a) converter isto em cm3/S. b) Qual é esta taxa em m3/s ?

3. O sangue é bombeado do coração a uma taxa de 5,0 L/min para a aorta (de raio de 1,0 cm). Determinar a velocidade do sangue através da aorta.

4. O sangue flui através de uma artéria com um raio de 2 mm a uma velocidade de 40 cm/s. Determine o caudal e o volume que passa através da artéria num período de 30 s.

5. O Huka Falls no Rio Waikato é uma das atrações turísticas naturais mais visitadas da Nova Zelândia (ver Figura 3). Em média, o rio tem uma taxa de fluxo de cerca de 300.000 L / S. no desfiladeiro, o rio estreita-se para 20 m de largura e em média 20 m de profundidade. a) qual é a velocidade média do rio no desfiladeiro? b) Qual é a velocidade média da água do rio a jusante das quedas quando aumenta para 60 m e a sua profundidade aumenta para uma média de 40 m?

Figura 3. A queda de Huka em Taupo, Nova Zelândia, demonstra a taxa de fluxo. (crédito: RaviGogna, Flickr)

6. Uma artéria principal com uma área transversal de 1,00 cm2 se ramifica em 18 artérias menores, cada uma com uma área transversal média de 0,400 cm2. Qual é o factor que reduz a velocidade média do sangue quando passa para estes ramos?

7. a) à medida que o sangue passa através do leito capilar num órgão, os capilares unem-se para formar vênulos (veias pequenas). Se a velocidade do sangue aumenta por um fator de 4,00 e a área total da secção transversal das vênulas é de 10,0 cm2, Qual é a área total da secção transversal dos capilares que alimentam estas vênulas? b) quantos capilares estão envolvidos se o seu diâmetro médio for de 10,0 µm?

8. O sistema de circulação humana tem aproximadamente 1 × 109 vasos capilares. Cada recipiente tem um diâmetro de cerca de 8 µm. Assumindo que o débito cardíaco é de 5 L / min, determinar a velocidade média do fluxo sanguíneo através de cada vaso capilar.

9. (a) Calcule o tempo necessário para encher uma piscina privada com uma capacidade de 80 000 litros, utilizando uma mangueira de jardim com uma capacidade de 60 L/min. b) Quanto tempo demoraria a encher se pudesse desviar um rio de tamanho moderado, fluindo a 5000 m3/s, para lá?

10. O caudal de sangue através de um capilar com um raio de 2,00 × 10-6 é de 3,80 × 109. a) qual é a velocidade do fluxo sanguíneo? (Esta pequena velocidade permite a difusão de materiais de e para o sangue.) (B) assumindo que todo o sangue no corpo passa através dos capilares, quantos deles devem existir para transportar um fluxo total de 90,0 cm3/s? (O grande número obtido é uma sobrestimação, mas ainda é razoável.)

11. a) qual é a velocidade do fluido numa mangueira de incêndio com um diâmetro de 9,00 cm, transportando 80,0 L de água por segundo? b) Qual é o caudal em metros cúbicos por segundo? c) as suas respostas seriam diferentes se a água salgada substituísse a água doce da mangueira de incêndio?

12. A conduta principal de captação de ar de um aquecedor de ar forçado é de 0,300 m de diâmetro. Qual é a velocidade média do ar na conduta se ele carrega um volume igual ao do interior da casa a cada 15 minutos? O volume interno da casa é equivalente a um sólido retangular de 13,0 m de largura por 20,0 m de comprimento por 2,75 m de altura.

13. A água move-se a uma velocidade de 2,00 m/s através de uma mangueira com um diâmetro interno de 1,60 cm. a) qual é o caudal em litros por segundo? b) a velocidade do fluido no bocal da mangueira é de 15,0 m/s. Qual é o diâmetro interno do bocal?

14. Provar que a velocidade de um fluido incompressível através de uma constrição, como em um tubo Venturi, aumenta por um fator igual ao quadrado do fator pelo qual o diâmetro diminui. (O inverso aplica-se ao fluxo de uma constrição para uma região de maior diâmetro.)

15. A água emerge diretamente de uma torneira com um diâmetro de 1,80 cm a uma velocidade de 0,500 m / s.) a) qual é o caudal em cm3/s? b) Qual é o diâmetro do fluxo 0.200 m abaixo da torneira? Negligenciar quaisquer efeitos devido à tensão superficial.

16. Resultados irracionais uma corrente de montanha é de 10,0 m de largura e média de 2,00 m de profundidade. Durante o escoamento de primavera, o fluxo na corrente atinge 100.000 m3/s. a) qual é a velocidade média da corrente nestas condições? (b) O que é irracional sobre esta velocidade? c) O que é irracional ou inconsistente nas instalações?

Glossário

taxa de fluxo: abreviado Q, é o volume V que flui de um ponto específico durante um tempo t, ou Q = V/t litros: uma unidade de volume, igual a 10-3 m3

Selecionado Soluções para os Problemas & Exercícios

1. 2.78 cm3 / s

3. 27 cm/s

5. (a) 0, 75 m/s (b) 0, 13 m/S

7. a) 40,0 cm2 B) 5.09×107

9. a) 22 h b) 0.016 s

11. (a) 12, 6 m/s (b) 0, 0800 m3/S (C) no, independente da densidade.13. (a) 0, 402 L/s (b) 0, 584 cm

15. a) 128 cm3 / s (b) 0,890 cm