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Secção 3-4 : A definição de uma função
Agora precisamos passar para o segundo tópico deste capítulo. Antes disso, porém, precisamos de uma definição rápida.
definição de relação
uma relação é um conjunto de pares ordenados.
esta parece ser uma definição estranha, mas vamos precisar dela para a definição de uma função (que é o tópico principal desta seção). No entanto, antes de realmente dar a definição de uma função vamos ver se conseguimos entender exatamente o que é uma relação.
pense no exemplo 1 na secção de gráficos deste capítulo. Nesse exemplo, construímos um conjunto de pares ordenados que usamos para desenhar o gráfico de \(y = {\left( {x – 1} \right)^2} – 4\). Aqui estão os pares encomendados que usamos.
\
qualquer um dos seguintes são então relações porque consistem de um conjunto de pares ordenados.
\
existem, naturalmente, muitas mais relações que poderíamos formar a partir da lista de pares ordenados acima, mas apenas queríamos listar algumas relações possíveis para dar alguns exemplos. Note também que nós poderíamos também obter outros pares ordenados da equação e adicioná-los em qualquer uma das relações acima se quiséssemos.
agora, neste ponto você provavelmente está perguntando Por Que Nós Nos preocupamos com as relações e essa é uma boa pergunta. Algumas relações são muito especiais e são usadas em quase todos os níveis da matemática. A definição que se segue indica-nos quais são essas relações especiais.
Definição de uma Função
Uma função é uma relação para a qual cada valor do conjunto de primeiros componentes dos pares ordenados é associado a exatamente um valor a partir do segundo conjunto de componentes do par ordenado.está bem, tem a boca cheia. Vamos ver se descobrimos o que significa. Vamos dar uma olhada no seguinte exemplo que esperamos nos ajudar a descobrir tudo isso.
destes pares ordenados temos os seguintes conjuntos de primeiros componentes (ou seja, o primeiro número de cada par ordenado) e os segundos componentes (ou seja, o segundo número de cada par ordenado).
\
para o conjunto de segundos componentes, note que o” -3 ” ocorreu em dois pares ordenados, mas só o listamos uma vez.
para ver por que esta relação é uma função basta escolher qualquer valor do conjunto dos primeiros componentes. Agora, volte para a relação e encontre todos os pares ordenados em que este número é o primeiro componente e enumere TODOS os segundos componentes desses pares ordenados. A lista de segundos componentes consistirá de exatamente um valor.
Por exemplo, vamos escolher 2 do conjunto dos primeiros componentes. A partir da relação vemos que existe exatamente um par ordenado com 2 como um primeiro componente,\(\esquerda ({2, – 3} \direita)\). Por isso, a lista de segundo componentes (i.e. a lista de valores do conjunto de segundos componentes) associado com 2 é exatamente um número, -3.
Note que nós não nos importamos que -3 é o segundo componente de um segundo par ordenado na relação. Isso é perfeitamente aceitável. Só não queremos que haja mais do que um par encomendado com 2 como primeiro componente.
olhamos para um único valor do conjunto de primeiros componentes para o nosso exemplo rápido aqui, mas o resultado será o mesmo para todas as outras escolhas. Independentemente da escolha dos primeiros componentes, haverá exatamente um segundo componente associado a ele.portanto, esta relação é uma função.
a fim de realmente ter uma noção do que a definição de uma função está nos dizendo, provavelmente também deveríamos verificar um exemplo de uma relação que não é uma função.
não se preocupe com a origem desta relação. É apenas um que inventámos para este exemplo.
Aqui está a lista de primeiro e segundo componentes
\
do conjunto dos primeiros componentes vamos escolher 6. Agora, se subirmos à relação vemos que existem dois pares ordenados com 6 como um primeiro componente: \(\esquerda ({6,10} \direita)\) e \(\esquerda( {6, – 4} \direita)\). A lista de segundos componentes associados com 6 é então: 10, -4.
a lista de segundos componentes associados a 6 tem dois valores e por isso esta relação não é uma função.
Note que o fato de que se tivéssemos escolhido -7 ou 0 do conjunto dos primeiros componentes há apenas um número na lista dos segundos componentes associados a cada um. Isto não importa. O fato de termos encontrado mesmo um único valor no conjunto dos primeiros componentes com mais de um segundo componente associado a ele é suficiente para dizer que esta relação não é uma função.
Como Comentário final sobre este exemplo, vamos notar que se removermos o primeiro e/ou o quarto par ordenado da relação teríamos uma função!
assim, espero que você tenha pelo menos um sentimento para o que a definição de uma função está nos dizendo.
Agora que o forçamos a passar pela definição real de uma função vamos dar outra definição de “trabalho” de uma função que será muito mais útil para o que estamos fazendo aqui.
A definição real funciona em uma relação. No entanto, como vimos com as quatro relações que demos antes da definição de uma função e da relação que usamos no exemplo 1, muitas vezes obtemos as relações de alguma equação.
é importante notar que nem todas as relações vêm de equações! A relação do segundo exemplo, por exemplo, foi apenas um conjunto de pares ordenados que escrevemos para o exemplo e não veio de nenhuma equação. Isto também pode ser verdade com relações que são funções. Não têm de vir de equações.
no entanto, tendo dito isso, as funções que vamos usar neste curso vêm todas de equações. Portanto, vamos escrever uma definição de uma função que reconheça este fato.
Antes de darmos a definição de” trabalho ” de uma função, precisamos ressaltar que esta não é a definição real de uma função, que é dada acima. Esta é simplesmente uma boa “definição de trabalho” de uma função que liga as coisas aos tipos de funções com as quais vamos trabalhar neste curso.
“definição de trabalho” da função
uma função é uma equação para a qual qualquer \(x\) que possa ser ligado à equação irá produzir exactamente um \(y\) fora da equação.aqui está. Essa é a definição de funções que vamos usar e provavelmente será mais fácil de decifrar exatamente o que significa.
Antes de examinar isto um pouco mais de nota que nós usamos a frase “\(x\) que pode ser conectado em” na definição. Isso tende a implicar que nem todos \(x\)’S podem ser conectados em uma equação e isso é de fato correto. Voltaremos e discutiremos isso mais detalhadamente no final desta seção, no entanto, neste momento apenas lembre-se que não podemos dividir por zero e se queremos números reais fora da equação não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo. Assim, com estes dois exemplos é claro que nem sempre seremos capazes de plug em cada \(x\) em qualquer equação.
além disso, ao lidar com funções vamos sempre assumir que ambos \(x\) e \(y\) serão números reais. Por outras palavras, vamos esquecer que sabemos alguma coisa sobre números complexos durante algum tempo, enquanto lidamos com esta secção.
tudo Bem, com isso fora do caminho, vamos voltar para a definição de uma função e vamos olhar para alguns exemplos de equações que são funções e equações que não são funções.
- \(y = 5x + 1\)
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
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O “trabalho” de definição de função está dizendo é que se pegarmos todos os possíveis valores de \(x\) e ligá-los na equação e resolver para \(y\) iremos obter exatamente um valor para cada valor de \(x\). Nesta fase do jogo pode ser muito difícil realmente mostrar que uma equação é uma função, então vamos principalmente falar sobre o nosso caminho através dela. Por outro lado, muitas vezes é muito fácil mostrar que uma equação não é uma função.
A \(y = 5x + 1\) Show Solution
portanto, precisamos mostrar que não importa o que \(x\) ligamos à equação e resolvemos para \(y\) só teremos um único valor de \(y\). Note também que o valor de \(y\) provavelmente será diferente para cada valor de \(x\), embora não tenha que ser.
vamos começar por ligar alguns valores de \(x\) e ver o que acontece.
\
assim, para cada um destes valores de \(x\) temos um único valor de \(y\) fora da equação. Isto não é suficiente para alegar que isto é uma função. A fim de provar oficialmente que esta é uma função que precisamos mostrar que isso vai funcionar não importa qual valor de \(x\) Nós plug na equação.
é claro que não podemos plugar todos os valores possíveis de \(x\) na equação. Isso não é fisicamente possível. No entanto, vamos voltar e ver os que ligámos. Para cada \(x\), ao ligar-se, primeiro multiplicamos o \(x\) por 5 e, em seguida, adicionamos 1 a ele. Agora, se multiplicarmos um número por 5, teremos um único valor da multiplicação. Da mesma forma, só teremos um único valor se acrescentarmos 1 a um número. Portanto, parece plausível que com base nas operações envolvidas com a ligação \(x\) para a equação que vamos obter apenas um único valor de \(y\) para fora da equação.
assim, esta equação é uma função.
b \(y = {x^2} + 1\) Mostrar a Solução
de Novo, vamos ligar um par de valores de \(x\) e resolver para \(y\) para ver o que acontece.agora, vamos pensar um pouco sobre o que estávamos fazendo com as avaliações. Primeiro, nós quadramos o valor de \(x\) que ligamos. Quando acertarmos um número, só haverá um valor possível. Acrescentamos então 1 a isto, mas, mais uma vez, isto produzirá um único valor.
assim, parece que esta equação também é uma função.
Note que não faz mal obter o mesmo valor \(y\) para \(x\)’S diferentes. por exemplo,
\
simplesmente não conseguimos obter mais do que um \(y\) da equação depois de ligarmos o \(x\).
c \({y^2} = x + 1\) mostrar a solução
como fizemos com as duas equações anteriores vamos ligar um par de valores de \(x\), resolver para \(y\) e ver o que conseguimos.
\
Agora, lembre-se que estamos resolvendo para \(y\) e isso significa que no primeiro e último caso acima vamos realmente obter dois valores \(y\) diferentes dos \(x\) e assim esta equação não é uma função.
Note que podemos ter valores de \(x\) que irão produzir um único \(y\) como vimos acima, mas isso não importa. Se mesmo um valor de \(x\) produzir mais de um valor de \(y\) ao resolver a equação não será uma função.
O que isso realmente significa é que não precisamos ir mais longe do que a primeira avaliação, Uma vez que isso deu vários valores de \(y\).
d \({x^2} + {y^2} = 4\) Mostrar a Solução
Com este caso vamos usar a lição aprendida na parte anterior e ver se podemos encontrar um valor de \(x\) que vai dar mais do que um valor de \(y\) ao resolver. Porque nós temos um y2 no problema isso não deve ser muito difícil de fazer, uma vez que resolver eventualmente significa usar a propriedade raiz quadrada que dará mais de um valor de \(y\).
\
assim, esta equação não é uma função. Lembre-se, que a partir da seção anterior esta é a equação de um círculo. Os círculos nunca são funções.
Esperemos que estes exemplos lhe tenham dado uma melhor sensação para o que uma função realmente é.
Agora precisamos passar para algo chamado notação de função. A notação de função será usada pesadamente durante a maior parte dos capítulos restantes neste curso e por isso é importante compreendê-la.
vamos começar com a seguinte equação quadrática.
\
Podemos usar um processo semelhante ao que usamos no conjunto de exemplos anteriores para nos convencer de que esta é uma função. Uma vez que esta é uma função que iremos denotar da seguinte forma,
\
assim, substituímos o \(y\) pela notação \(f\esquerda( x \direita)\). Isto é lido como”f de \(x\)”. Note que não há nada de especial sobre o \(f\) que usamos aqui. Nós poderíamos ter usado facilmente qualquer um dos seguintes,
\
A letra que usamos não importa. O que é importante é a parte” \(\esquerda( x \direita)\)”. A letra no parêntesis deve corresponder à variável usada no lado direito do sinal igual.
é muito importante notar que o \(f\esquerda (x \direita)\) não é nada mais do que uma forma muito elegante de escrever \(y\). Se você tiver isso em mente, você pode achar que lidar com a notação de função se torna um pouco mais fácil.
também, esta não é uma multiplicação de \(f\) por \(x\)! Este é um dos erros mais comuns que as pessoas cometem quando lidam pela primeira vez com funções. Esta é apenas uma notação usada para denotar funções.em seguida, precisamos falar sobre a avaliação de funções. Avaliar uma função não é nada mais do que perguntar Qual é o seu valor para valores específicos de \(x\). Outra maneira de olhar para ele é que estamos perguntando o que o valor \(y\) para um dado \(x\) é.a avaliação é muito simples. Vamos pegar a função que estávamos olhando acima
\
e perguntar qual é o seu valor para \(x = 4\). Em termos de notação da função, vamos “perguntar” isto usando a notação \(f\Esquerda (4 \direita)\). Então, quando há algo diferente da variável dentro do parêntesis, estamos realmente perguntando Qual é o valor da função para essa quantidade particular.
Agora, quando dizemos o valor da função estamos realmente perguntando Qual é o valor da equação para esse valor particular de \(x\). Aqui está \(f\Esquerda(4 \direita)\).
\
Notice that evaluating a function is done in exactly the same way in which we evaluate equations. Tudo o que fazemos é ligar para \(x\) o que estiver no interior do parêntesis à esquerda. Aqui está outra avaliação para esta função.
\
assim, novamente, o que estiver no interior do parêntesis à esquerda Está ligado para \(x\) na equação à direita. Vamos dar uma olhada em alguns exemplos.
- \(f\left( 3 \right)\) e \(g\left( 3 \right)\)
- \(f\left( { – 10} \right)\) e \(g\left( { – 10} \right)\)
- \(f\left( 0 \right)\)
- \(f\left( t \right)\)
- \(f\left( {t + 1} \right)\) e \(f\left( {x + 1} \right)\)
- \(f\left( {{x^3}} \right)\)
- \(g\left( {{x^2} – 5} \right)\)
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Ok, nós temos dois de avaliação de funções para fazer aqui e também temos duas funções, de modo que você vai precisar para decidir qual função para usar para as avaliações. A chave aqui é notar a letra que está na frente do parêntesis. Para \(F\esquerda (3 \direita)\) vamos usar a função \(f\esquerda(x \direita)\) e para \(g\esquerda(3 \direita)\) vamos usar \(g\esquerda (x \direita)\). Por outras palavras, só precisamos de ter a certeza de que as variáveis coincidem.
Aqui estão as avaliações para esta parte.
\
b \(f\esquerda ({- 10} \direita)\) e \(g\esquerda ({- 10} \direita)\) mostrar a solução
Este é praticamente o mesmo que a parte anterior, com uma excepção que vamos tocar quando chegarmos a esse ponto. Aqui estão as avaliações.certifique-se que lida bem com os sinais negativos aqui. Agora a segunda.chegámos agora à diferença. Lembre-se que quando começamos a falar sobre a definição de funções afirmamos que só iríamos lidar com números reais. Por outras palavras, só ligamos números reais e só queremos números reais de volta como respostas. Então, como nós poderíamos obter um número complexo fora disto nós não podemos plug-10 nesta função.
C \(F \ left (0 \right)\) Show Solution
Not much to this one.
\
novamente, não se esqueça que isto não é multiplicação! Por alguma razão os estudantes gostam de pensar neste como multiplicação e obter uma resposta de zero. Tem cuidado.
d \(F\left( t \right)\) Show Solution
o resto destas avaliações agora vai ser um pouco diferente. Como este mostra, não precisamos apenas de ter números entre parênteses. No entanto, a avaliação funciona exactamente da mesma forma. Ligamo-nos aos \(x\)’s do lado direito do sinal de igualdade, seja o que for que esteja entre parêntesis. Neste caso, isso significa que nós plug em \(t\) para todos os \(x\)’s.
Aqui está esta avaliação.
\
Note que, neste caso, isto é praticamente a mesma coisa que a nossa função original, excepto que desta vez estamos a usar \(t\) como uma variável.
E \(F\esquerda ({t + 1} \direita)\) e \(f\esquerda ({x + 1} \direita)\) mostrar a solução
Agora, vamos ficar um pouco mais complicados, ou pelo menos eles parecem ser mais complicados. As coisas não são tão más como parecem. Vamos avaliar \(f\esquerda ({t + 1} \direita)\) primeiro. Esta funciona exactamente como a parte anterior. Todos os \(x\) ‘ S à esquerda serão substituídos por \(t + 1\). Teremos também de proceder a algumas simplificações após a substituição.
\
tenha cuidado com parêntesis neste tipo de avaliações. É fácil lidar com eles.
Agora, vamos dar uma olhada em \(F\esquerda( {x + 1} \direita)\). Com a excepção do \(x\) isto é idêntico ao \(F\esquerda( {t + 1} \direita)\) e por isso funciona exactamente da mesma forma.
\
não fique animado com o fato de que nós reutilizamos \(x\)’S na avaliação aqui. Em muitos lugares onde estaremos fazendo isso em seções posteriores haverá \(x\) ‘ S aqui e então você vai precisar se acostumar a ver isso.
f \(F \ left ({{x^3}}} \ right)\) Show Solution
Again, don’t get excited about the \(x\)’s in the parentesis here. Avalia-o como se fosse um número.
\
g \(g\left ({{x^2} – 5} \ right)\) Show Solution
Mais uma avaliação e desta vez vamos usar a outra função.
\
a avaliação da função é algo que vamos fazer muito em secções e capítulos posteriores, por isso certifique-se de que você pode fazê-lo. Você vai encontrar várias seções posteriores muito difíceis de entender e/ou fazer o trabalho em se você não tem uma boa compreensão sobre como a avaliação da função funciona.
enquanto estamos no assunto da avaliação de funções, devemos agora falar sobre funções de trechos. Na verdade, já vimos um exemplo de uma função de trechos, mesmo que não lhe chamássemos uma função (ou uma função de trechos) na época. Recordar a definição matemática do valor absoluto.
\
Esta é uma função e se usarmos a notação da função podemos escrevê-la da seguinte forma,
\
Este é também um exemplo de uma função em trechos. Uma função em trechos não é nada mais do que uma função que é quebrada em pedaços e que peça você usa depende do valor de \(x\). Assim, no exemplo do valor absoluto, usaremos a parte superior se \(x\) for positiva ou zero e usaremos a parte inferior se \(x\) for negativa.
Let’s take a look at evaluating a more complicated piecewise function.
avaliar cada um dos seguintes.
- \(g\left( { – 6} \right)\)
- \(g\left( { – 4} \right)\)
- \(g\left( 1 \right)\)
- \(g\left( {15} \right)\)
- \(g\left( {21} \right)\)
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Antes de iniciar as avaliações aqui vamos perceber que estamos usando letras diferentes para a função e variável do que os que temos usado para este ponto. Isso não vai mudar a forma como a avaliação funciona. Não fique tão bloqueado em ver \(f\) para a função e \(x\) para a variável que você não pode fazer nenhum problema que não tenha essas letras.
agora, para fazer cada uma dessas avaliações a primeira coisa que precisamos fazer é determinar qual desigualdade o número satisfaz, E ele só vai satisfazer uma única desigualdade. Quando determinamos que desigualdade o número satisfaz, usamos a equação associada a essa desigualdade.então, vamos fazer algumas avaliações.
A \(g\left ({- 6} \right)\) Show Solution
in this case -6 satisfies the top inequality and so we’ll use the top equation for this evaluation.
\
b \(g\left( { – 4} \right)\) Mostrar a Solução
Agora vamos precisar ser um pouco de cuidado com isso desde -4 mostra-se em duas das desigualdades. No entanto, só satisfaz a desigualdade de topo e, por isso, vamos mais uma vez usar a função de topo para a avaliação.
\
C \(g\left (1 \right)\) Show Solution
neste caso o número, 1, satisfaz a desigualdade do meio e por isso vamos usar a equação do meio para a avaliação. Esta avaliação muitas vezes causa problemas para os alunos, apesar do fato de que é realmente uma das avaliações mais fáceis que vamos fazer. Sabemos que avaliamos funções / equações ligando o número da variável. Neste caso não existem variáveis. Isso não é um problema. Uma vez que não existem quaisquer variáveis, isso significa apenas que não conectamos nada e obtemos o seguinte,
\
d \(G\left( {15} \right)\) mostrar a solução
de novo, como na segunda parte precisamos ter um pouco de cuidado com esta. Neste caso, o número satisfaz a desigualdade média, uma vez que é aquele com o sinal igual nele. Então, como a parte anterior que acabamos de obter,
\
não fique animado com o fato de que as duas avaliações anteriores foram o mesmo valor. Isto vai acontecer de vez em quando.
E \(g\left ({21} \right)\) Show Solution
para a avaliação final neste exemplo, o número satisfaz a desigualdade inferior e por isso vamos usar a equação de baixo para a avaliação.
\
funções em trechos não surgem todas as vezes em uma classe de álgebra, no entanto, elas surgem em vários lugares em classes posteriores e por isso é importante para você entendê-las se você estiver indo para passar para mais classes de matemática.
Como um tópico final precisamos voltar e tocar no fato de que nem sempre podemos plug cada \(x\) em cada função. Falamos brevemente sobre isso quando demos a definição da função e vimos um exemplo disso quando estávamos avaliando funções. Temos agora de analisar esta questão com um pouco mais de pormenor.primeiro, precisamos tirar algumas definições do caminho.
domínio e gama
o domínio de uma equação é o conjunto de todos \(x\)’S que podemos ligar à equação e obter de volta um número real para \(y\). A gama de uma equação é o conjunto de todos \(y\)’s que podemos sempre sair da equação.
Note que nós significamos usar a equação nas definições acima em vez de funções. Estas são realmente definições para equações. No entanto, uma vez que as funções também são equações podemos usar as definições para funções também.
determinar a gama de uma equação / função pode ser muito difícil de fazer para muitas funções e por isso não vamos realmente entrar nisso. Estamos muito mais interessados em determinar os domínios das funções. A partir da definição, o domínio é o conjunto de todos \(x\)’S que podemos ligar em uma função e obter de volta um número real. Neste ponto, isso significa que precisamos evitar a divisão por zero e tomar raízes quadradas de números negativos.
vamos fazer alguns exemplos rápidos de encontrar domínios.
- \(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\)
- \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \)
- \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\)
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Os domínios para estas funções são todos os valores de \(x\) para o qual não temos a divisão por zero ou a raiz quadrada de um número negativo. Se nos lembrarmos destas duas ideias, encontrar os domínios será muito fácil.
a \(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\) Mostrar a Solução
Então, neste caso, não há raízes quadradas por isso não precisa de se preocupar com a raiz quadrada de um número negativo. Há, no entanto, a possibilidade de termos uma divisão por erro zero. Para determinar se vamos precisar de definir o denominador igual a zero e resolver.
\
assim, teremos divisão por zero se nos ligarmos a \(x = – 5\) ou \(x = 2\). Isso significa que temos de evitar esses dois números. No entanto, todos os outros valores de \(x\) vai funcionar uma vez que eles não dão divisão por zero. O domínio é, em seguida,
\
b \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \) Mostrar a Solução
neste caso, não terá divisão por zero problemas, uma vez que não temos qualquer frações. Nós temos uma raiz quadrada no problema e então nós precisamos nos preocupar em tomar a raiz quadrada de um número negativo.
Este vai funcionar um pouco diferente da parte anterior. Nessa parte determinamos o(S) Valor(s) de \(x\) a evitar. Neste caso, será tão fácil de obter diretamente o domínio. Para evitar raízes quadradas de números negativos tudo o que precisamos fazer é exigir que
\
esta é uma desigualdade linear bastante simples que devemos ser capazes de resolver neste ponto.
\
O domínio desta função é, então,
\
c \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\) Mostrar a Solução
neste caso, temos uma fração, mas observe que o denominador nunca será zero para qualquer número real desde x2 é garantido de ser positivo ou zero e a adição de 4 para isto significa que o denominador é sempre de no mínimo 4. Por outras palavras, o denominador nunca será zero. Então, tudo o que precisamos fazer é Preocupar-nos com a raiz quadrada no numerador.
Para fazer isso, vamos exigir,
\
Agora, podemos realmente ligar-se a qualquer valor de \(x\) no denominador, no entanto, uma vez que temos a raiz quadrada do numerador nós vamos ter para certificar-se de que todos os \(x\)’s satisfazem a desigualdade acima para evitar problemas. Portanto, o domínio desta função é
\
d \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) Mostrar a Solução
nesta parte final, temos tanto uma raiz quadrada e a divisão por zero para se preocupar. Vamos cuidar da raiz quadrada primeiro, uma vez que isso provavelmente vai colocar a maior restrição sobre os valores de \(x\). Assim, para manter a raiz quadrada feliz (i.e. não há raiz quadrada de números negativos) vamos precisar de exigir que,
\
Assim, pelo menos nós vamos precisar para exigir que \(x \ge \frac{1}{2}\), a fim de evitar problemas com a raiz quadrada.
Agora, vamos ver se temos alguma divisão por zero problemas. Novamente, para fazer isso basta definir o denominador igual a zero e resolver.
\
agora, note que \(x = – 4\) não satisfaz a desigualdade que precisamos para a raiz quadrada e de modo que o valor de \(x\) já foi excluído pela raiz quadrada. Por outro lado, \(x = 4\) satisfaz a desigualdade. Isto significa que está certo para plug \(x = 4\) na raiz quadrada, no entanto, uma vez que daria divisão por zero nós precisaremos evitá-lo.
o domínio para esta função é então,
\