proszę najpierw przeczytać limity (wstęp)

nieskończoność to bardzo szczególny pomysł. Wiemy, że nie możemy do niego dotrzeć, ale nadal możemy próbować wypracować wartość funkcji, które mają w sobie nieskończoność.

jeden podzielony przez nieskończoność

zacznijmy od ciekawego przykładu.

dlaczego nie wiemy?

najprostszym powodem jest to, że Nieskończoność nie jest liczbą, jest ideą.

więc 1∞ to trochę jak powiedzenie 1beauty lub 1tall.

może moglibyśmy powiedzieć, że 1∞= 0,… ale to też jest problem, ponieważ jeśli podzielimy 1 na nieskończone części i skończymy na 0, co się stało z 1?

w rzeczywistości 1∞ jest nieokreślone.

ale możemy do tego podejść!

więc zamiast próbować wypracować to dla nieskończoności (ponieważ nie możemy uzyskać sensownej odpowiedzi), spróbujmy coraz większych wartości x:

x	1x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

teraz widzimy, że gdy x staje się większy, 1x zmierza w kierunku 0

mamy teraz do czynienia z interesującą sytuacją:

• nie możemy powiedzieć, co się stanie, gdy x osiągnie nieskończoność
• , ale widzimy, że 1x idzie w kierunku 0

chcemy dać odpowiedź „0”, ale nie możemy, więc zamiast tego matematycy mówią dokładnie, co się dzieje, używając specjalnego słowa „limit”

granica 1x przy X dążącym do nieskończoności wynosi 0

i zapisują to tak:

innymi słowy:

Gdy x zbliża się do nieskończoności, to 1x zbliża się do 0

Kiedy widzisz „limit”, pomyśl „zbliża”

jest to matematyczny sposób powiedzenia „nie mówimy o tym, kiedy X=∞, ale wiemy, że gdy x staje się większy, odpowiedź staje się coraz bliższa i bliższa 0”.

podsumowanie

Więc czasami nieskończoności nie można użyć bezpośrednio, ale możemy użyć limitu.

co dzieje się w ∞ jest niezdefiniowane …		1∞
… ale wiemy, że 1/x zbliża się do 0 gdy x zbliża się do nieskończoności		limx→∞ (1x) = 0

granice zbliżające się do nieskończoności

jaka jest granica tej funkcji, gdy x dąży do nieskończoności?

y = 2x

oczywiście jak” x „staje się większe, tak samo „2x”:

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
…	…

tak jak „x” zbliża się do nieskończoności, to „2x” również zbliża się do nieskończoności. Piszemy tak:

ale nie daj się zwieść „=”. W rzeczywistości nie możemy dojść do nieskończoności, ale w języku „limit” granicą jest nieskończoność (co tak naprawdę mówi, że funkcja jest nieograniczona).

Nieskończoność i stopień

widzieliśmy dwa przykłady, jeden poszedł do 0, drugi poszedł do nieskończoności.

w rzeczywistości wiele nieskończonych granic jest dość łatwych do wypracowania, gdy dowiemy się „w którą stronę zmierza”, w ten sposób:

funkcje takie jak 1 / x zbliża się do 0, gdy x zbliża się do nieskończoności. Jest to również prawdziwe dla 1 / x2 etc

funkcja taka jak x będzie zbliżać się do nieskończoności, a także 2x, lub x/9 i tak dalej. Podobnie funkcje z x2 lub x3 itd. Również zbliżają się do nieskończoności.

ale uważaj, funkcja taka jak „−x” zbliży się do „−nieskończoności”, więc musimy spojrzeć na znaki x.

w rzeczywistości, kiedy spojrzymy na stopień funkcji (najwyższy wykładnik w funkcji), możemy powiedzieć, co się stanie:

gdy stopień funkcji wynosi:

• większa od 0, limit to nieskończoność (lub −nieskończoność)
• mniejsza od 0, limit wynosi 0

ale jeśli stopień jest 0 lub nieznany, musimy trochę popracować, aby znaleźć limit.

funkcje wymierne

funkcja wymierna to taka, która jest stosunkiem dwóch wielomianów: na przykład tutaj P(X) = X3 + 2x − 1 i q(x) = 6×2:

zgodnie z naszym wyobrażeniem stopnia równania, pierwszym krokiem do znalezienia granicy jest to …

Porównaj Stopień P(x) ze stopniem Q(x):

… limit wynosi 0.

… podziel współczynniki wyrazów z największym wykładnikiem, jak to:

(zauważ, że największe wykładniki są równe, ponieważ stopień jest równy)

… wtedy granica jest dodatnia nieskończoność …

… a może minus nieskończoność. Musimy spojrzeć na znaki!

możemy obliczyć znak (dodatni lub ujemny) patrząc na znaki wyrażeń o największym wykładniku, tak jak znaleźliśmy współczynniki powyżej:

x3 + 2x − 16×2		na przykład to przejdzie do dodatniej nieskończoności, ponieważ oba … x3 (termin z największym wykładnikiem na górze) i 6×2 (termin z największym wykładnikiem na dole) … są pozytywne.
−2×2 + x5x − 3			ale to będzie zmierzać do ujemnej nieskończoności, ponieważ -2/5 jest ujemne.

trudniejszy przykład: wypracowanie „e”

Ten wzór przybliża się do wartości e (liczby Eulera) wraz ze wzrostem n:

w nieskończoności:

nie wiemy!

So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100 000	2.71827

tak, zmierza w kierunku wartości 2.71828… czyli e (Liczba Eulera)

więc znowu mamy dziwną sytuację:

• nie wiemy jaka jest wartość, gdy n=nieskończoność
• ale widzimy, że osiada w kierunku 2.71828…

więc używamy limitów, aby napisać odpowiedź w ten sposób:

jest to matematyczny sposób powiedzenia „nie mówimy o tym, kiedy n=∞, ale wiemy, że gdy n staje się większe, odpowiedź staje się coraz bliższa wartości e”.

oceniając limity

do tej pory podjąłem delikatne podejście do limitów i pokazałem tabele i wykresy, aby zilustrować punkty.

ale aby „obliczyć” (innymi słowy obliczyć) wartość limitu może wymagać nieco więcej wysiłku. Dowiedz się więcej na temat oceny limitów.