- cele nauki
- przykład 1. Obliczanie objętości na podstawie natężenia przepływu: serce pompuje dużo krwi w ciągu życia
- rozwiązanie
- dyskusja
- przykład 2. Obliczanie prędkości płynu: prędkość wzrasta, gdy zwęża się rura
- Strategia
- rozwiązanie dla (a)
- rozwiązanie dla (b)
- dyskusja
- przykład 3. Obliczanie prędkości przepływu i średnicy naczynia: rozgałęzienie w układzie sercowo-naczyniowym
- Strategia
- rozwiązanie dla (a)
- rozwiązanie dla (b)
- dyskusja
- podsumowanie sekcji
- Conceptual Questions
- problemy& ćwiczenia
- Słowniczek
- wybrane rozwiązania problemów& ćwiczenia
cele nauki
pod koniec tej sekcji będziesz mógł:
- obliczyć natężenie przepływu.
- Zdefiniuj jednostki objętości.
- opisz płyny nieciśnieniowe.
- wyjaśnij konsekwencje równania ciągłości.
natężenie przepływu Q jest zdefiniowane jako objętość płynu przechodzącego przez pewne miejsce przez obszar w określonym czasie, jak pokazano na fig.1. W symbolach można to zapisać jako
gdzie V to objętość, a t to czas, który upłynął. Jednostką SI dla natężenia przepływu jest m3 / s, ale wiele innych jednostek dla Q jest w powszechnym użyciu. Na przykład serce spoczynkowej osoby dorosłej pompuje krew z szybkością 5,00 litra na minutę (L / min). Należy pamiętać, że litr (L) to 1/1000 metra sześciennego lub 1000 centymetrów sześciennych (10-3 M3 lub 103 cm3). W tym tekście użyjemy dowolnych jednostek metrycznych, które są najwygodniejsze dla danej sytuacji.
Rysunek 1. Natężenie przepływu to objętość płynu na jednostkę czasu przepływająca przez punkt a przez obszar A. Tutaj zacieniony cylinder płynu przepływa przez punkt P w jednolitej rurze w czasie t. objętość cylindra to Ad, a średnia prędkość to \overline{v}=d / t\ \ tak, że natężenie przepływu wynosi Q=\text{Ad}/t = a\ overline{v}\\.
przykład 1. Obliczanie objętości na podstawie natężenia przepływu: serce pompuje dużo krwi w ciągu życia
ile metrów sześciennych krwi pompuje serce w ciągu 75 lat życia, zakładając, że średnie natężenie przepływu wynosi 5,00 L/min?
podano czas i natężenie przepływu Q, A więc objętość V można obliczyć z definicji natężenia przepływu.
rozwiązanie
rozwiązanie Q = V/T dla objętości daje
V = Qt.
podstawianie znanych wartości daje
dyskusja
ta ilość to około 200 000 ton krwi. Dla porównania, wartość ta odpowiada około 200 razy objętości wody zawartej w 6-pasmowym basenie 50-metrowym.
natężenie i prędkość przepływu są powiązane, ale zupełnie inne, wielkości fizyczne. Aby rozróżnienie było jasne, pomyśl o natężeniu przepływu rzeki. Im większa prędkość wody, tym większe natężenie przepływu rzeki. Ale natężenie przepływu zależy również od wielkości rzeki. Szybki strumień górski niesie znacznie mniej wody niż Amazonka w Brazylii, na przykład. Dokładna zależność między natężeniem przepływu Q A prędkością \bar{v} \ \ wynosi
gdzie A jest obszarem przekroju, a \bar{v}\\ jest średnią prędkością. To równanie wydaje się wystarczająco logiczne. Zależność mówi nam, że szybkość przepływu jest wprost proporcjonalna zarówno do wielkości średniej prędkości (zwanej dalej prędkością), jak i wielkości rzeki, rury lub innego przewodu. Im większy Przewód, tym większy jego przekrój. Rysunek 1 ilustruje sposób uzyskiwania tej zależności. Cieniowany cylinder ma objętość
V = Ad,
, która przepływa obok punktu P w czasie t. podzielenie obu stron tej relacji przez T daje
\frac{V}{t}=\frac{Ad}{t}\\.
zauważamy, że Q = V/t, a średnia prędkość to \overline{v}=d / t\\. W ten sposób równanie staje się Q = A\overline{v}\\. Rysunek 2 przedstawia niezciśnięty płyn płynący wzdłuż rury o zmniejszającym się promieniu. Ponieważ płyn jest niezrozumiały, ta sama ilość płynu musi przepłynąć przez dowolny punkt rury w danym czasie, aby zapewnić ciągłość przepływu. W tym przypadku, ponieważ zmniejsza się pole przekroju rury, prędkość musi koniecznie wzrosnąć. Logikę tę można rozszerzyć o stwierdzenie, że natężenie przepływu musi być takie samo we wszystkich punktach wzdłuż rury. W szczególności dla punktów 1 i 2,
\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} && a_{2}V_{2} \end{cases}\\
nazywa się to równaniem ciągłości i jest ważne dla każdego płynu niezrozumiałego. Konsekwencje równania ciągłości można zaobserwować, gdy woda przepływa z węża do wąskiej dyszy rozpylającej: wyłania się z dużą prędkością—taki jest cel dyszy. I odwrotnie, gdy rzeka opróżnia się do jednego końca zbiornika, woda znacznie zwalnia, być może ponownie podnosi prędkość, gdy opuszcza drugi koniec zbiornika. Innymi słowy, prędkość wzrasta, gdy zmniejsza się pole przekroju, a prędkość zmniejsza się, gdy zwiększa się pole przekroju.
Rysunek 2. Gdy rurka zwęża się, ta sama objętość zajmuje większą długość. Aby ta sama objętość przekroczyła punkty 1 i 2 w danym czasie, prędkość musi być większa w punkcie 2. Proces jest dokładnie odwracalny. Jeśli płyn płynie w przeciwnym kierunku, jego prędkość zmniejszy się, gdy rura się rozszerzy. (Należy zauważyć, że względne objętości dwóch cylindrów i odpowiadające im strzałki wektora prędkości nie są rysowane w skali.)
ponieważ ciecze są zasadniczo niezrozumiałe, równanie ciągłości jest ważne dla wszystkich cieczy. Jednak gazy są ściśliwe, więc równanie musi być stosowane z ostrożnością do gazów, jeśli są poddawane ściskaniu lub rozprężaniu.
przykład 2. Obliczanie prędkości płynu: prędkość wzrasta, gdy zwęża się rura
dysza o promieniu 0,250 cm jest przymocowana do węża ogrodowego o promieniu 0,900 cm. Natężenie przepływu przez wąż i dyszę wynosi 0,500 L / S. Oblicz prędkość wody (a) w wężu i (b) w dyszy.
Strategia
możemy użyć zależności między natężeniem przepływu a prędkością, aby znaleźć obie prędkości. Użyjemy indeksu dolnego 1 dla węża i 2 dla dyszy.
rozwiązanie dla (a)
najpierw rozwiązujemy Q = A\overline{v}\\for v1 i zauważamy, że pole przekroju to a = nr2, dając
podstawianie znanych wartości i Dokonywanie odpowiednich konwersji jednostek daje
rozwiązanie dla (b)
możemy powtórzyć to obliczenie, aby znaleźć prędkość w dyszy \bar{v}_{2}\\, ale użyjemy równania ciągłości, aby dać nieco inny wgląd. Używając równania, które stwierdza
rozwiązanie dla {\overline{v}}_{2}\\ i zastąpienie nr2 dla obszaru przekroju daje
podstawianie znanych wartości,
\overline{v}_{2}=\frac{\left(0.900\text{ cm}\right)^{2}}{\left(0.250\text{ cm}\right)^{2}}1.96 \text{ m/s}=25.5\text{ m/s}\\.
dyskusja
prędkość 1,96 m/s jest odpowiednia dla wody wypływającej z węża bez dyszy. Dysza wytwarza znacznie szybszy strumień, ograniczając przepływ do węższej rury.
rozwiązanie ostatniej części przykładu pokazuje, że prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu promienia rury, co daje duże efekty, gdy promień się zmienia. Możemy zdmuchnąć świecę z dość dużej odległości, na przykład poprzez mrugnięcie wargami, podczas gdy dmuchanie na świecę z szeroko otwartymi ustami jest dość nieskuteczne. W wielu sytuacjach, w tym w układzie sercowo-naczyniowym, występuje rozgałęzienie przepływu. Krew jest pompowana z serca do tętnic, które dzielą się na mniejsze tętnice (arteriole), które rozgałęziają się w bardzo drobne naczynia zwane kapilarami. W tej sytuacji ciągłość przepływu jest zachowana, ale jest to suma natężeń przepływu w każdej z gałęzi w dowolnej części wzdłuż rury, która jest zachowana. Równanie ciągłości w bardziej ogólnej postaci staje się
{n}_{1}{A} _ {1} {\overline {v}} _ {1}={n} _ {2} {a} _ {2} {\overline{v}}_{2}\\,
gdzie n1 i n2 to liczba odgałęzień w każdym z odcinków wzdłuż rury.
przykład 3. Obliczanie prędkości przepływu i średnicy naczynia: rozgałęzienie w układzie sercowo-naczyniowym
aorta jest głównym naczyniem krwionośnym, przez które krew opuszcza serce w celu krążenia wokół ciała. (a) obliczyć średnią prędkość krwi w aorcie, jeśli natężenie przepływu wynosi 5,0 L / min. Aorta ma promień 10 mm. (b) krew przepływa również przez mniejsze naczynia krwionośne znane jako naczynia włosowate. Gdy szybkość przepływu krwi w aorcie wynosi 5,0 L / min, prędkość krwi w naczyniach włosowatych wynosi około 0,33 mm / s.biorąc pod uwagę, że średnia średnica kapilary wynosi 8,0 µm, oblicz liczbę naczyń włosowatych w układzie krążenia krwi.
Strategia
możemy użyć Q=A\overline{v}\\ do obliczenia prędkości przepływu w aorcie, a następnie użyć ogólnej postaci równania ciągłości do obliczenia liczby naczyń włosowatych, ponieważ wszystkie inne zmienne są znane.
rozwiązanie dla (a)
natężenie przepływu jest podane przez Q=A\overline{v}\\ lub \overline{v}=\frac{Q}{{\pi r}^{2}}\\ dla cylindrycznego naczynia. Podstawianie znanych wartości (zamienionych na jednostki metrów i sekund) daje
rozwiązanie dla (b)
używając {N}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={N}_{2}{a}_{2}{\overline{v}}_{1}\, przypisując indeks dolny 1 do aorty i 2 do naczyń włosowatych, i rozwiązując dla N2 (liczba naczyń włosowatych) daje {N}_{2}=\ frac{{n}_{1}{A}_{1} {\overline{V}}_{1}}{{A}_{2} {\overline{V}}_{2}}\\. Przeliczając wszystkie ilości na jednostki metrów i sekund i podstawiając do powyższego równania daje
dyskusja
należy zauważyć, że prędkość przepływu w naczyniach włosowatych jest znacznie zmniejszona w stosunku do prędkości w aorcie ze względu na znaczny wzrost całkowitego obszaru przekroju na naczyniach włosowatych. Ta niska prędkość ma pozwolić na wystarczającą ilość czasu na skuteczną wymianę, chociaż równie ważne jest, aby przepływ nie stał się nieruchomy, aby uniknąć możliwości krzepnięcia. Czy ta duża liczba naczyń włosowatych w ciele wydaje się rozsądna? W mięśniu aktywnym znajduje się około 200 naczyń włosowatych na mm3, czyli około 200 × 106 na 1 kg mięśnia. Dla 20 kg mięśni wynosi to około 4 × 109 naczyń włosowatych.
podsumowanie sekcji
- natężenie przepływu Q jest zdefiniowane jako objętość V przepływająca przez punkt w czasie t, lub Q=\frac{V}{t}\\ gdzie V to objętość, a t to czas.
- jednostką objętości SI jest m3.
- inną popularną jednostką jest litr (L), który wynosi 10-3 m3.
- natężenie przepływu i prędkość są powiązane przez Q=A\overline{v}\\ gdzie A jest obszarem przekroju przepływu, a\overline{v}\\ jest jego średnią prędkością.
- dla płynów nieciśnieniowych natężenie przepływu w różnych punktach jest stałe. That is,
\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2}\\ n_{1}A_{1}\bar{v}_{1} && n_{2}A_{2}\bar{v}_{2}\end{cases}\\.
Conceptual Questions
1. What is the difference between flow rate and fluid velocity? How are they related?
2. Many figures in the text show streamlines. Wyjaśnij, dlaczego prędkość płynu jest największa, gdy linie Streamline są najbliżej siebie. (Wskazówka: rozważ zależność między prędkością płynu a obszarem przekroju, przez który przepływa.)
3. Zidentyfikuj niektóre substancje, które są niedostępne, a niektóre nie.
problemy& ćwiczenia
1. Jakie jest średnie natężenie przepływu benzyny w cm3/s do silnika samochodu poruszającego się z prędkością 100 km/h, jeśli wynosi średnio 10,0 km/L?
2. Serce spoczynkowej osoby dorosłej pompuje krew w tempie 5.00 L/min. a) Przelicz to na cm3 / s . b) jaka jest ta stawka w m3 / s ?
3. Krew jest pompowana z serca z prędkością 5,0 L / min do aorty (o promieniu 1,0 cm). Określ prędkość krwi przez aortę.
4. Krew przepływa przez tętnicę o promieniu 2 mm z prędkością 40 cm / S. Określ szybkość przepływu i objętość, która przechodzi przez tętnicę w okresie 30 s.
5. Wodospad Huka na rzece Waikato jest jedną z najczęściej odwiedzanych atrakcji turystycznych Nowej Zelandii (patrz rysunek 3). Średnio rzeka ma przepływ około 300 000 L/s. w wąwozie rzeka zwęża się do 20 m szerokości i średnio 20 m głębokości. a) jaka jest średnia prędkość rzeki w wąwozie? b) jaka jest średnia prędkość wody w rzece poniżej wodospadu, gdy rozszerza się do 60 m, a jej głębokość wzrasta do średniej 40 m?
Rysunek 3. Huka spada w Taupo w Nowej Zelandii. (źródło: RaviGogna, Flickr)
6. Tętnica główna o powierzchni przekroju 1,00 cm2 rozgałęzia się na 18 mniejszych tętnic, każda o średniej powierzchni przekroju 0,400 cm2. Jakim czynnikiem zmniejsza się średnia prędkość krwi, gdy przechodzi ona do tych gałęzi?
7. (a) gdy krew przechodzi przez łóżko kapilarne w narządzie, naczynia włosowate łączą się tworząc żyły (małe żyły). Jeśli prędkość krwi wzrasta o współczynnik 4,00, a całkowity obszar przekroju żylaków wynosi 10,0 cm2, jaki jest całkowity obszar przekroju naczyń włosowatych zasilających te żylaki? (b) ile naczyń włosowatych jest zaangażowanych, jeśli ich średnia średnica wynosi 10,0 µm?
8. Układ krążenia człowieka ma około 1 × 109 naczyń włosowatych. Każde naczynie ma średnicę około 8 µm. Zakładając, że pojemność minutowa serca wynosi 5 L / min, należy określić średnią prędkość przepływu krwi przez każde naczynie włosowate.
9. a) oszacować czas potrzebny na napełnienie prywatnego basenu o pojemności 80 000 L za pomocą węża ogrodowego dostarczającego 60 L / min. b) ile czasu zajęłoby napełnienie, gdybyś mógł skierować do niej rzekę o umiarkowanej wielkości, płynącą z prędkością 5000 m3 / s?
10. Szybkość przepływu krwi przez kapilarę o wymiarach 2,00 × 10-6 wynosi 3,80 × 109. a) jaka jest prędkość przepływu krwi? (Ta niewielka prędkość pozwala na dyfuzję materiałów do i z krwi.) (B) zakładając, że cała krew w ciele przechodzi przez naczynia włosowate, ile z nich musi być, aby mieć całkowity przepływ 90,0 cm3/s? (Duża liczba uzyskana jest zawyżona, ale nadal jest rozsądna.)
11. (a) jaka jest prędkość płynu w wężu pożarniczym o średnicy 9,00 cm przenoszącym 80,0 L wody na sekundę? b) jakie jest natężenie przepływu w metrach sześciennych na sekundę? (c) Czy Twoje odpowiedzi byłyby inne, gdyby słona woda zastąpiła słodką wodę w wężu strażackim?
12. Główny kanał powietrza wychwytowego nagrzewnicy gazowej powietrza wymuszonego ma średnicę 0,300 m. Jaka jest średnia prędkość powietrza w kanale, jeśli co 15 minut przenosi objętość równą objętości wnętrza domu? Wewnętrzna objętość domu odpowiada prostokątnej bryle o szerokości 13,0 m i długości 20,0 m i wysokości 2,75 m.
13. Woda porusza się z prędkością 2,00 m/s przez wąż o średnicy wewnętrznej 1,60 cm. a) jakie jest natężenie przepływu w litrach na sekundę? (b) prędkość płynu w dyszy tego węża wynosi 15,0 m/s. jaka jest średnica wewnętrzna dyszy?
14. Udowodnij, że prędkość niezciśniętego płynu przez zwężenie, takie jak w rurce Venturiego, wzrasta o współczynnik równy Kwadratowi czynnika, o który zmniejsza się średnica. (Konwersja dotyczy przepływu z zwężenia do obszaru o większej średnicy.)
15. Woda wypływa prosto w dół z kranu o średnicy 1,80 cm z prędkością 0,500 m / s. (Ze względu na budowę kranu, nie ma zmian w prędkości w poprzek strumienia.) (a) jakie jest natężenie przepływu w cm3/s? b) jaka jest średnica strumienia 0,200 m poniżej kranu? Zaniedbać wszelkie skutki z powodu napięcia powierzchniowego.
16. Potok górski ma 10,0 m szerokości i średnio 2,00 m głębokości. Podczas wiosennego spływu strumień osiąga 100 000 m3 / s. a) jaka jest średnia prędkość strumienia w tych warunkach? (b) co jest nierozsądnego w tej prędkości? c) co jest nierozsądne lub niespójne w lokalu?
Słowniczek
natężenie przepływu: w skrócie Q, Jest to objętość V, która przepływa przez określony punkt w czasie t, lub Q = V/T litr: Jednostka objętości, równa 10-3 m3
wybrane rozwiązania problemów& ćwiczenia
1. 2,78 cm3/s
3. 27 cm/s
5. a) 0,75 m/s b) 0,13 m/s
7. a) 40,0 cm2 B) 5,09×107
9. a) 22 h b) 0.016 s
11. (a) 12,6 m/s (b) 0,0800 M3/S (C) Nie, niezależnie od gęstości.
13. a) 0,402 L/S B) 0,584 cm
15. a) 128 cm3 / s b) 0,890 cm