cyfra binarna może wynosić tylko 0 LUB 1

więcej niż jedna cyfra

są tylko dwa sposoby możemy mieć binarną cyfrę („0” i „1”, lub „on” i „off”) … ale co z 2 lub więcej cyfr binarnych?

zapiszmy je wszystkie, zaczynając od 1 cyfry (możesz to przetestować samodzielnie za pomocą przełączników):

2 sposoby na jedną cyfrę …
… 4 sposoby na dwie cyfry …	0 0 → 00 1 → 01 1 0 → 10 1 → 11
… 8 sposobów na trzy cyfry …	0 0 0 → 000 1 → 001 1 0 → 010 1 → 011 1 0 0 → 100 1 → 101 1 0 → 110 1 → 111
… i 16 sposobów na cztery cyfry.	0 0 0 0 → 0000 1 → 0001 1 0 → 0010 1 → 0011 1 0 0 → 0100 1 → 0101 1 0 → 0110 1 → 0111 1 0 0 0 → 1000 1 → 1001 1 0 → 1010 1 → 1011 1 0 0 → 1100 1 → 1101 1 0 → 1110 1 → 1111

Here is that last list sideways:

i (bez wiodących 0s) mamy pierwsze 16 liczb binarnych:

To jest przydatne! Aby zapamiętać ciąg liczb binarnych wystarczy pomyśleć:

na każdym etapie powtarzamy wszystko, co mamy do tej pory, ale z 1 z przodu.

teraz dowiedz się, jak użyć Binary do policzenia ostatnich 1000 na palcach:

również baw się różnymi bębnami.

cyfry binarne … Podwajają Się!

zauważ również, że za każdym razem, gdy dodamy kolejną cyfrę binarną, podwajamy możliwe wartości.

Dlaczego podwójnie? Ponieważ bierzemy wszystkie poprzednie możliwe wartości i dopasowujemy je do „0” i „1”, Jak powyżej.

• więc tylko jedna cyfra binarna ma 2 Możliwe wartości (0 i 1)
• dwie cyfry binarne mają 4 Możliwe wartości (0, 1, 10, 11)
• trzy mają 8 możliwych wartości
• cztery mają 16 możliwych wartości
• pięć ma 32 Możliwe wartości
• sześć ma 64 Możliwe wartości
• itd.

używając wykładników, można to pokazać jako:

So, a binary number with 50 digits could have 1,125,899,906,842,624 different values.

lub mówiąc inaczej, może pokazać liczbę do 1,125,899,906,842,623 (uwaga: jest to o jedną mniej niż całkowita liczba wartości, ponieważ jedna z wartości wynosi 0).

Szachownica

istnieje stara Indyjska legenda o królu, który został wyzwany do gry w szachy przez odwiedzającego mędrca. Król zapytał: „jaka jest nagroda, jeśli wygrasz?”.

mędrzec powiedział, że chciałby po prostu kilka ziaren ryżu: jedno na pierwszym kwadracie, 2 na drugim, 4 na trzecim i tak dalej, podwajając na każdym kwadracie. Król był zaskoczony tą skromną prośbą.

Cóż, mędrzec wygrał, więc ile ziaren ryżu powinien otrzymać?

na pierwszym kwadracie: 1 ziarno, na drugim kwadracie: 2 ziarna (w sumie 3) i tak dalej:

przy 30. kwadracie widać już dużo ryżu! Miliard ziaren ryżu to około 25 ton (1000 ziaren to około 25g … Zważyłem trochę!)

zauważ, że suma dowolnego kwadratu jest o 1 mniejsza niż ziarna na następnym kwadracie (przykład: suma kwadratu 3 wynosi 7, a kwadrat 4 mA 8 ziaren). Więc suma wszystkich kwadratów jest wzorem: 2n-1, gdzie n jest liczbą kwadratu. Na przykład, dla kwadratu 3, suma wynosi 23-1 = 8-1 = 7

tak więc moc podwojenia binarnego nie jest niczym lekkim (460 miliardów ton to nie jest światło!)

ziarna ryżu na każdym kwadracie przy użyciu notacji naukowej
wartości są zaokrąglane, więc 53,6870,912 jest pokazane jako zaledwie 5×108
, co oznacza 5, po którym następuje 8 zer

(nawiasem mówiąc, w legendzie mędrzec ujawnia się jako Pan Kryszna i mówi królowi, że nie musi płacić długu od razu, ale może zapłacić z czasem podaje ryż pielgrzymom każdego dnia, dopóki dług nie zostanie spłacony.)

szesnastkowy

na koniec przyjrzyjmy się szczególnej relacji między binarnym i szesnastkowym.

istnieje 16 cyfr szesnastkowych, a my już wiemy, że 4 cyfry binarne mają 16 możliwych wartości. Dokładnie tak się do siebie odnoszą: