Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes
sekcja 3-4 : Definicja funkcji
musimy teraz przejść do drugiego tematu tego rozdziału. Zanim jednak to zrobimy, potrzebujemy szybkiej definicji.
definicja relacji
relacja jest zbiorem uporządkowanych par.
wydaje się to dziwną definicją, ale potrzebujemy jej do definicji funkcji (która jest głównym tematem tej sekcji). Zanim jednak podamy definicję funkcji, zobaczmy, czy uda nam się ustalić, czym jest relacja.
przypomnij sobie Przykład 1 w sekcji wykresy tego rozdziału. W tym przykładzie skonstruowaliśmy zbiór uporządkowanych par, których użyliśmy do naszkicowania wykresu \(y = {\left ({x – 1} \right)^2} – 4\). Oto zamówione pary, których użyliśmy.
\
każda z poniższych relacji jest wtedy relacjami, ponieważ składają się one ze zbioru uporządkowanych par.
\
istnieje oczywiście o wiele więcej relacji, które moglibyśmy utworzyć z powyższej listy uporządkowanych par, ale chcieliśmy tylko wymienić kilka możliwych relacji, aby podać kilka przykładów. Zauważ również, że możemy również uzyskać inne uporządkowane pary z równania i dodać je do dowolnej z powyższych relacji, jeśli chcemy.
teraz pewnie zadajesz sobie pytanie, dlaczego dbamy o relacje i to jest dobre pytanie. Niektóre relacje są bardzo szczególne i są używane na prawie wszystkich poziomach matematyki. Poniższa definicja mówi nam, które relacje są tymi szczególnymi relacjami.
Definicja funkcji
funkcja jest relacją, dla której każda wartość ze zbioru pierwszych składników uporządkowanych par jest powiązana z dokładnie jedną wartością ze zbioru drugich składników uporządkowanej pary.
ok, to jest usta pełne. Zobaczmy, co to znaczy. Przyjrzyjmy się poniższemu przykładowi, który, miejmy nadzieję, pomoże nam to rozwiązać.
z tych uporządkowanych par mamy następujące zestawy pierwszych składników (tzn. pierwsza liczba z każdej zamówionej pary) i drugich składników (tzn. druga liczba z każdej zamówionej pary).
\
dla zestawu drugich komponentów zauważ, że ” -3 ” wystąpiło w dwóch uporządkowanych parach, ale wymieniliśmy je tylko raz.
aby zobaczyć, dlaczego ta relacja jest funkcją, po prostu wybierz dowolną wartość ze zbioru pierwszych składników. Teraz wróć do relacji i znajdź każdą uporządkowaną parę, w której ta liczba jest pierwszym składnikiem i wymień wszystkie drugie składniki z tych uporządkowanych par. Lista drugich składników będzie składać się z dokładnie jednej wartości.
na przykład wybierzmy 2 z zestawu pierwszych komponentów. Z relacji widzimy, że istnieje dokładnie jedna uporządkowana para z 2 jako pierwszym składnikiem,\(\left( {2, – 3} \right)\). Dlatego wykaz drugich składników (tj. lista wartości ze zbioru drugich składników) powiązanych z 2 jest dokładnie jedną liczbą, -3.
zauważ, że nie obchodzi nas, że -3 jest drugim składnikiem drugiej uporządkowanej par w relacji. To jest całkowicie dopuszczalne. Po prostu nie chcemy, aby istniała więcej niż jedna para z 2 jako pierwszym składnikiem.
przyjrzeliśmy się pojedynczej wartości z zestawu pierwszych komponentów dla naszego szybkiego przykładu tutaj, ale wynik będzie taki sam dla wszystkich innych wyborów. Niezależnie od wyboru pierwszych komponentów będzie z nim związany dokładnie jeden drugi komponent.
dlatego ta relacja jest funkcją.
aby naprawdę poczuć, co mówi nam definicja funkcji, powinniśmy prawdopodobnie również sprawdzić przykład relacji, która nie jest funkcją.
nie martw się skąd wzięła się ta relacja. Jest to tylko jeden, który wymyśliliśmy dla tego przykładu.
oto lista pierwszych i drugich komponentów
\
z zestawu pierwszych komponentów wybierzmy 6. Teraz, jeśli przejdziemy do relacji, zobaczymy, że istnieją dwie uporządkowane pary z 6 jako pierwszym składnikiem: \(\left ({6,10} \right)\) I \(\left ({6, – 4} \right)\). Lista drugich składników powiązanych z 6 jest wtedy: 10, -4.
lista drugich komponentów powiązanych z 6 ma dwie wartości, więc ta relacja nie jest funkcją.
zauważ, że jeśli wybralibyśmy -7 lub 0 ze zbioru pierwszych komponentów, to na liście drugich komponentów powiązanych z każdym z nich jest tylko jedna liczba. To bez znaczenia. Fakt, że znaleźliśmy nawet jedną wartość w zbiorze pierwszych komponentów z więcej niż jednym drugim składnikiem z nim związanym, wystarczy powiedzieć, że ta relacja nie jest funkcją.
jako ostatni komentarz do tego przykładu zauważmy, że gdybyśmy usunęli pierwszą i / lub czwartą uporządkowaną parę z relacji, mielibyśmy funkcję!
więc mam nadzieję, że masz przynajmniej przeczucie co do tego, co mówi nam definicja funkcji.
teraz, gdy zmusiliśmy Cię do zapoznania się z rzeczywistą definicją funkcji, dajmy kolejną „działającą” definicję funkcji, która będzie o wiele bardziej przydatna do tego, co tutaj robimy.
rzeczywista definicja działa na relacji. Jednak, jak widzieliśmy z czterema relacjami, które podaliśmy przed definicją funkcji i relacją, której użyliśmy w przykładzie 1, często otrzymujemy relacje z jakiegoś równania.
należy pamiętać, że nie wszystkie relacje pochodzą z równań! Relacja z drugiego przykładu była tylko zbiorem uporządkowanych par, które zapisaliśmy dla przykładu i nie wynikały z żadnego równania. Może to być również prawdą w przypadku relacji, które są funkcjami. Nie muszą pochodzić z równań.
jednak mimo to, funkcje, których będziemy używać w tym kursie, pochodzą z równań. Dlatego zapiszmy definicję funkcji, która uznaje ten fakt.
zanim podamy „działającą” definicję funkcji musimy zauważyć, że nie jest to rzeczywista definicja funkcji, która jest podana powyżej. Jest to po prostu dobra „robocza definicja” funkcji, która wiąże rzeczy z rodzajami funkcji, z którymi będziemy pracować w tym kursie.
„definicja robocza” funkcji
funkcja jest równaniem, dla którego każde \(x\), które można podłączyć do równania, da dokładnie jedno \(y\) z równania.
oto jest. To jest definicja funkcji, których będziemy używać i prawdopodobnie będzie łatwiej rozszyfrować, co to znaczy.
zanim przyjrzymy się temu nieco bardziej zauważ, że użyliśmy wyrażenia „\(x\), które można podłączyć ” w definicji. Oznacza to, że nie wszystkie \(x\)’S może być podłączony do równania i jest to w rzeczywistości poprawne. Wrócimy i omówimy to bardziej szczegółowo pod koniec tej sekcji, jednak w tym momencie pamiętaj, że nie możemy podzielić przez zero i jeśli chcemy liczb rzeczywistych z równania, nie możemy wziąć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Tak więc, z tymi dwoma przykładami jest jasne, że nie zawsze będziemy w stanie podłączyć każde \(x\) do dowolnego równania.
Ponadto, gdy mamy do czynienia z funkcjami, zawsze Zakładamy, że zarówno \(x\), jak i \(y\) będą liczbami rzeczywistymi. Innymi słowy, na chwilę zapomnimy, że wiemy cokolwiek o liczbach zespolonych, kiedy zajmujemy się tą sekcją.
ok, wracając do definicji funkcji i spójrzmy na przykłady równań, które są funkcjami i równań, które nie są funkcjami.
- \(y = 5x + 1\)
- \(Y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
Pokaż wszystkie rozwiązania Ukryj wszystkie rozwiązania(X\) i podłączyć je do równania i rozwiązać dla\ (y\) otrzymamy dokładnie jedną wartość dla każdej wartości\ (x\). Na tym etapie gry może być bardzo trudno pokazać, że równanie jest funkcją, więc głównie omówimy to. Z drugiej strony, często łatwo jest pokazać, że równanie nie jest funkcją.
A \(y = 5x + 1\) Pokaż rozwiązanie
więc musimy pokazać, że bez względu na to, co \(x\) podłączymy do równania i rozwiążemy dla \(y\), otrzymamy tylko jedną wartość \(y\). Zauważ również, że wartość \(y\) prawdopodobnie będzie inna dla każdej wartości \(x\), chociaż nie musi być.
zacznijmy od podłączenia pewnych wartości \(x\) i zobaczmy, co się stanie.
\
więc dla każdej z tych wartości \(x\) otrzymaliśmy pojedynczą wartość \(y\) z równania. To nie wystarczy, by twierdzić, że jest to funkcja. Aby oficjalnie udowodnić, że jest to funkcja musimy pokazać, że będzie działać bez względu na to, jaką wartość \(x\) podłączymy do równania.
oczywiście, nie możemy podłączyć wszystkich możliwych wartości \(x\) do równania. To nie jest fizycznie możliwe. Wróćmy jednak do tych, które podłączyliśmy. Dla każdego \(x\), po podłączeniu, najpierw pomnożyliśmy \(x\) przez 5, a następnie dodaliśmy 1 do niego. Teraz, jeśli pomnożymy liczbę przez 5, otrzymamy pojedynczą wartość z mnożenia. Podobnie, otrzymamy tylko jedną wartość, jeśli dodamy 1 do liczby. Dlatego wydaje się prawdopodobne, że na podstawie operacji związanych z podłączeniem \(x\) do równania otrzymamy tylko jedną wartość \(y\) z równania.
więc to równanie jest funkcją.
b \(y = {x^2} + 1\) Pokaż rozwiązanie
ponownie, podłączmy kilka wartości \(x\) i rozwiążmy dla \(y\), aby zobaczyć, co się stanie.
\
teraz pomyślmy trochę o tym, co robiliśmy z ocenami. Najpierw do kwadratu dodaliśmy wartość \(x\). Gdy podniesiemy liczbę do kwadratu, będzie tylko jedna możliwa wartość. Następnie dodajemy do tego 1, ale znowu, to daje pojedynczą wartość.
wygląda więc na to, że to równanie jest również funkcją.
zauważ, że jest w porządku, aby uzyskać tę samą wartość \(y\) dla różnych \(x\)’s. na przykład,
\
Po prostu nie możemy uzyskać więcej niż jednego \(y\) z równania po podłączeniu \(x\).
c \({y^2} = x + 1\) Pokaż rozwiązanie
tak jak zrobiliśmy z poprzednimi dwoma równaniami, podłącz kilka wartości \(x\), rozwiąż dla \(y\) i zobacz, co otrzymamy.
\
pamiętajcie, że rozwiązujemy dla \(y\) i to oznacza, że w pierwszym i ostatnim przypadku powyżej otrzymamy dwie różne wartości \(y\) Z \(x\), więc to równanie nie jest funkcją.
zauważ, że możemy mieć wartości \(x\), które dadzą pojedynczy \(y\), jak widzieliśmy powyżej, ale to nie ma znaczenia. Jeśli nawet jedna wartość \(x\) daje więcej niż jedną wartość \(y\) po rozwiązaniu równania nie będzie funkcją.
tak naprawdę oznacza to, że nie musieliśmy iść dalej niż pierwsza ewaluacja, ponieważ dało to wiele wartości \(y\).
D \({x^2} + {y^2} = 4\) Pokaż rozwiązanie
w tym przypadku użyjemy lekcji wyciągniętej z poprzedniej części i zobaczymy, czy uda nam się znaleźć wartość \(x\), która da więcej niż jedną wartość \(y\) po rozwiązaniu. Ponieważ mamy y2 w zadaniu, nie powinno to być zbyt trudne, ponieważ rozwiązanie ostatecznie oznacza użycie właściwości pierwiastka kwadratowego, która da więcej niż jedną wartość \(y\).
\
więc to równanie nie jest funkcją. Przypomnijmy, że z poprzedniej sekcji jest to równanie okręgu. Koła nigdy nie są funkcjami.
mam nadzieję, że te przykłady dały Ci lepsze wyczucie, czym właściwie jest funkcja.
musimy teraz przejść do czegoś, co nazywa się notacją funkcji. Notacja funkcji będzie używana w większości pozostałych rozdziałów w tym kursie, dlatego ważne jest, aby ją zrozumieć.
Zacznijmy od następującego równania kwadratowego.
\
możemy użyć procesu podobnego do tego, którego użyliśmy w poprzednim zestawie przykładów, aby przekonać się, że jest to funkcja. Ponieważ jest to funkcja, oznaczmy ją w następujący sposób,
\
więc zastąpiliśmy \(y\) notacją \(f \ left (x \right)\). Jest to odczytywane jako ” f od \(x\)”. Zauważ, że nie ma nic specjalnego w \(f\), którego tutaj użyliśmy. Moglibyśmy po prostu łatwo użyć dowolnego z poniższych,
\
litera, której używamy, nie ma znaczenia. Ważna jest część ” \(\left (x \right)\)”. Litera w nawiasie musi pasować do zmiennej użytej po prawej stronie znaku równości.
bardzo ważne jest, aby pamiętać, że \(f\left( x \right)\) jest naprawdę niczym więcej niż naprawdę wymyślnym sposobem pisania \(y\). Jeśli o tym pamiętać, może się okazać, że radzenie sobie z notacją funkcji staje się trochę łatwiejsze.
również, to nie jest mnożenie \(f\) przez \(x\)! Jest to jeden z najczęstszych błędów, które ludzie popełniają, gdy po raz pierwszy zajmują się funkcjami. Jest to po prostu notacja używana do oznaczania funkcji.
następnie musimy porozmawiać o obliczaniu funkcji. Obliczanie funkcji jest niczym więcej niż pytaniem, jaka jest jej wartość dla określonych wartości \(x\). Innym sposobem patrzenia na to jest to, że pytamy, jaka jest wartość \(y\) dla danego \(x\).
ocena jest naprawdę dość prosta. Weźmy funkcję, na którą patrzyliśmy powyżej
\
i zapytajmy, jaka jest jej wartość \(x = 4\). Pod względem notacji funkcji „zapytamy” o to używając notacji \(f\left (4 \right)\). Więc, kiedy jest coś innego niż zmienna wewnątrz nawiasu, naprawdę pytamy, jaka jest wartość funkcji dla tej konkretnej ilości.
teraz, kiedy mówimy wartość funkcji, naprawdę pytamy, jaka jest wartość równania dla tej konkretnej wartości \(x\). Oto \(f\left( 4 \right)\).
\
zauważ, że obliczanie funkcji odbywa się dokładnie w ten sam sposób, w jaki obliczamy równania. Wszystko, co robimy, to podłączamy do \(x\) tego, co znajduje się w środku nawiasu po lewej stronie. Oto kolejna ocena dla tej funkcji.
\
więc ponownie, cokolwiek jest w środku nawiasu po lewej stronie, jest podłączone do \(x\) w równaniu po prawej. Spójrzmy na kilka przykładów.
- \(f\left( 3 \right)\) i \(g\left( 3 \right)\)
- \(f\left( { – 10} \right)\) i \(G\left( { – 10} \right)\)
- \(f\left( 0 \right)\)
- \(f\left( t \right)\)
- \(f\left( {t + 1 \Right)\) i \(f\left( {x + 1} \right)\)
- \(f\left( {{x^3}} \right)\)
- \(g\left( {{x^2} – 5} \right)\)
pokaż wszystkie rozwiązania Ukryj wszystkie rozwiązania
ok mamy tu do zrobienia dwie oceny funkcji i mamy również dwie funkcje, więc będziemy musieli zdecydować, która funkcja do wykorzystania do oceny. Kluczem jest zwrócenie uwagi na literę znajdującą się przed nawiasem. Dla \(f \left( 3\ right)\) użyjemy funkcji\(f \left( x\ right)\), a dla\(g \left( 3\ right)\) użyjemy\(g \left( x\right)\). Innymi słowy, musimy się upewnić, że zmienne się zgadzają.
oto oceny dla tej części.
\
b \(f\left( { – 10} \right)\) i \(g\left( { – 10} \right)\) Pokaż rozwiązanie
To jest prawie takie samo jak poprzednia część, z jednym wyjątkiem, którego dotkniemy, gdy dojdziemy do tego punktu. Oto oceny.
\
upewnij się, że poprawnie radzisz sobie z negatywnymi znakami. Teraz drugi.
\
teraz osiągnęliśmy różnicę. Przypomnijmy, że kiedy zaczęliśmy mówić o definicji funkcji stwierdziliśmy, że mamy do czynienia tylko z liczbami rzeczywistymi. Innymi słowy, podłączamy tylko liczby rzeczywiste i chcemy tylko, aby liczby rzeczywiste wróciły jako odpowiedzi. Więc, ponieważ otrzymamy liczbę zespoloną z tego nie możemy podłączyć -10 do tej funkcji.
C \(f\left( 0 \right)\) Pokaż rozwiązanie
niewiele do tego.
\
znowu nie zapominaj, że to nie jest mnożenie! Z jakiegoś powodu uczniowie lubią myśleć o tym jako o mnożeniu i uzyskać odpowiedź zera. Bądź ostrożny.
D \(f\left( t \right)\) Pokaż rozwiązanie
reszta tych ocen będzie teraz trochę inna. Jak to pokazuje, nie musimy mieć tylko liczb w nawiasie. Jednak ocena działa dokładnie w ten sam sposób. Podłączamy do \(x\)’s po prawej stronie znaku równości cokolwiek jest w nawiasie. W tym przypadku oznacza to, że podłączamy \(t\) dla wszystkich \(x\)’s.
oto ta ocena.
\
zauważ, że w tym przypadku jest to prawie to samo, co nasza oryginalna funkcja, z wyjątkiem tego, że tym razem używamy \(t\) jako zmiennej.
E \(f\left( {t + 1} \right)\) i \(f\left( {x + 1} \right)\) Pokaż rozwiązanie
teraz zróbmy trochę bardziej skomplikowane, a przynajmniej wydają się być bardziej skomplikowane. Rzeczy nie są tak złe, jak mogą się wydawać jednak. Najpierw obliczymy \(f\left ({t + 1} \right)\). Ten działa dokładnie tak samo jak poprzednia część. Wszystkie \ (x\) ’ S po lewej stronie zostaną zastąpione \(t + 1\). Po zastąpieniu będziemy musieli również dokonać pewnych uproszczeń.
\
uważaj na nawiasy w tego typu ocenach. Łatwo się z nimi pomylić.
teraz rzućmy okiem na \(f\left ({x + 1} \right)\). Z wyjątkiem \ (x\) jest to identyczne z \(f\left ({t + 1} \right)\) i tak działa dokładnie w ten sam sposób.
\
nie podniecaj się tym, że ponownie użyliśmy \(x\)’s w ocenie tutaj. W wielu miejscach, gdzie będziemy to robić w późniejszych sekcjach, będą tutaj \(x\)’s, Więc będziesz musiał przyzwyczaić się do tego.
F \(F\left( {{x^3}} \right)\) Pokaż rozwiązanie
ponownie, nie podniecaj się \(x\)’s w nawiasie. Po prostu oceń to tak, jakby to była liczba.
\
G \(G\left( {{x^2} – 5} \right)\) Pokaż rozwiązanie
jeszcze jedna ocena i tym razem użyjemy drugiej funkcji.
\
ocena funkcji jest czymś, co będziemy robić wiele w późniejszych sekcjach i rozdziałach, więc upewnij się, że możesz to zrobić. Znajdziesz kilka późniejszych sekcji bardzo trudne do zrozumienia i / lub wykonać pracę, jeśli nie masz dobrego zrozumienia, jak działa ocena funkcji.
gdy jesteśmy na temat oceny funkcji, powinniśmy teraz mówić o funkcjach fragmentarycznych. W rzeczywistości widzieliśmy już przykład funkcji fragmentarycznej, nawet jeśli nie nazywaliśmy jej funkcją (lub funkcją fragmentaryczną) w tym czasie. Przypomnijmy matematyczną definicję wartości bezwzględnej.
\
jest to funkcja i jeśli używamy notacji funkcji, możemy zapisać ją w następujący sposób,
\
jest to również przykład funkcji fragmentarycznej. Funkcja piecewise to nic innego jak funkcja, która jest podzielona na części, a której części używasz zależy od wartości \(x\). Tak więc w przykładzie wartości bezwzględnej użyjemy górnej części, jeśli \(x\) jest dodatnia lub zerowa, a użyjemy dolnej części, jeśli \(x\) jest ujemna.
przyjrzyjmy się ewaluacji bardziej skomplikowanej funkcji fragmentarycznej.
Oblicz każdy z poniższych.
- \(g\left( { – 6} \right)\)
- \(g\left( { – 4} \right)\)
- \(g\left( 1 \right)\)
- \(g\left( {15} \right)\)
- \(G\left( {21} \right)\)
Pokaż wszystkie rozwiązania Ukryj wszystkie rozwiązania
przed rozpoczęciem oceny zauważmy, że używamy innych liter dla funkcji i zmiennej niż te, których użyliśmy do tego momentu. To nie zmieni sposobu oceny. Nie daj się tak zablokowany do widzenia \(f\) dla funkcji i \(x\) dla zmiennej, że nie można zrobić żadnego problemu, który nie ma tych liter.
teraz, aby wykonać każdą z tych ocen, pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, to określić, którą nierówność spełnia liczba, i zaspokoi tylko jedną nierówność. Kiedy ustalimy, którą nierówność spełnia liczba, użyjemy równania związanego z tą nierównością.
zróbmy więc kilka ocen.
A \(g\left( { – 6} \right)\) Pokaż rozwiązanie
w tym przypadku -6 spełnia górną nierówność, więc użyjemy górnego równania do tej oceny.
\
b \(g\left( { – 4} \right)\) Pokaż rozwiązanie
teraz musimy być trochę ostrożni z tym, ponieważ -4 pojawia się w dwóch nierównościach. Jednak spełnia tylko górną nierówność, więc ponownie użyjemy funkcji top do oceny.
\
C \(g\left( 1 \right)\) Pokaż rozwiązanie
w tym przypadku liczba, 1, Spełnia średnią nierówność, więc użyjemy środkowego równania do obliczenia. Ta ocena często powoduje problemy dla studentów, pomimo faktu, że jest to jedna z najłatwiejszych ocen, jakie kiedykolwiek zrobimy. Wiemy, że obliczamy funkcje / równania, wpisując liczbę dla zmiennej. W tym przypadku nie ma żadnych zmiennych. To nie problem. Ponieważ nie ma żadnych zmiennych, oznacza to po prostu, że w rzeczywistości niczego nie podłączamy i otrzymujemy następujące informacje:
\
D \(g\left( {15} \right)\) Pokaż rozwiązanie
ponownie, tak jak w drugiej części musimy być trochę ostrożni z tą częścią. W tym przypadku liczba spełnia nierówność środkową, ponieważ jest to ta ze znakiem równości. Następnie, jak w poprzedniej części, po prostu dostajemy,
\
nie podniecaj się tym, że poprzednie dwie oceny były tą samą wartością. Zdarza się to od czasu do czasu.
E \(G\left( {21} \right)\) Pokaż rozwiązanie
dla końcowej oceny w tym przykładzie liczba spełnia dolną nierówność, więc użyjemy dolnego równania do oceny.
\
funkcje fragmentaryczne nie pojawiają się często w klasie algebry, jednak pojawiają się w kilku miejscach w późniejszych klasach, dlatego ważne jest, aby je zrozumieć, jeśli zamierzasz przejść do większej liczby klas matematycznych.
jako ostatni temat musimy wrócić i dotknąć faktu, że nie zawsze możemy podłączyć każdą \(x\) do każdej funkcji. Rozmawialiśmy krótko o tym, kiedy podaliśmy definicję funkcji i widzieliśmy przykład tego, gdy ocenialiśmy funkcje. Musimy teraz przyjrzeć się temu bardziej szczegółowo.
Po pierwsze, musimy pozbyć się kilku definicji.
dziedzina i zakres
dziedzina równania jest zbiorem wszystkich \(x\)’s, które możemy podłączyć do równania i uzyskać z powrotem liczbę rzeczywistą dla \(y\). Zakres równania jest zbiorem wszystkich\(y\)’s, które możemy kiedykolwiek uzyskać z równania.
zauważ, że chcieliśmy użyć równania w powyższych definicjach zamiast funkcji. To są naprawdę definicje równań. Ponieważ jednak funkcje są również równaniami, możemy użyć definicji również dla funkcji.
określenie zakresu równania / funkcji może być dość trudne do wykonania dla wielu funkcji, więc tak naprawdę nie będziemy się do tego zagłębiać. Bardziej interesuje nas tutaj określenie domen funkcji. Z definicji domeną jest zbiór wszystkich \(x\) ’ s, które możemy podłączyć do funkcji i odzyskać liczbę rzeczywistą. W tym momencie oznacza to, że musimy unikać dzielenia przez zero i przyjmować pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych.
zróbmy kilka szybkich przykładów znajdowania domen.
- \(\displaystyle g\left( X \right) = \frac{{x + 3}} {{x^2} + 3x – 10}}\)
- \(f\left( x \right) = \sqrt{5 – 3x}\)
- \(\displaystyle h\left( X \right) = \frac {{\sqrt {7x + 8}}} {{{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle R\left (x \right) = \ frac{{\sqrt {10x-5} }} {{{x^2} – 16}}\)
Show All Solutions Hide All Solutions
domenami dla tych funkcji są wszystkie wartości \(x\), dla których nie mamy podziału przez zero ani pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Jeśli pamiętamy te dwa pomysły znalezienie domen będzie dość łatwe.
A \(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\) Pokaż rozwiązanie
więc w tym przypadku nie ma pierwiastków kwadratowych, więc nie musimy się martwić o pierwiastek kwadratowy liczby ujemnej. Istnieje jednak możliwość, że będziemy mieli błąd dzielenia przez zero. Aby określić, czy będziemy musieli ustawić mianownik równy zero i rozwiązać.
\
więc otrzymamy dzielenie przez zero, jeśli podłączymy \(x = – 5\) lub \(x = 2\). To oznacza, że musimy unikać tych dwóch liczb. Jednak wszystkie inne wartości \(x\) będą działać, ponieważ nie dają podziału przez zero. Domena jest wtedy,
\
b \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \) Pokaż rozwiązanie
w tym przypadku nie będziemy mieli problemów z dzieleniem przez zero, ponieważ nie mamy żadnych ułamków. Mamy pierwiastek kwadratowy w tym problemie, więc musimy się martwić o wzięcie pierwiastka z liczby ujemnej.
ten będzie działał trochę inaczej niż poprzednia część. W tej części określiliśmy wartości \(x\), aby ich uniknąć. W tym przypadku równie łatwo będzie bezpośrednio uzyskać domenę. Aby uniknąć pierwiastków kwadratowych liczb ujemnych, wszystko, co musimy zrobić, to wymagać, aby
\
To jest dość prosta nierówność liniowa, którą powinniśmy być w stanie rozwiązać w tym momencie.
\
domeną tej funkcji jest wtedy,
\
C \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\) Pokaż rozwiązanie
w tym przypadku mamy ułamek, ale zauważ, że mianownik nigdy nie będzie równy zero dla żadnej liczby rzeczywistej, ponieważ X2 jest gwarantowane jako dodatnie lub zerowe, a dodanie 4 do tego będzie oznaczać, że wartość mianownik to zawsze co najmniej 4. Innymi słowy, mianownik nigdy nie będzie równy zero. Więc wszystko, co musimy zrobić, to martwić się o pierwiastek kwadratowy w liczniku.
aby to zrobić, będziemy wymagać,
\
teraz możemy faktycznie podłączyć dowolną wartość \(x\) do mianownika, jednak ponieważ mamy pierwiastek kwadratowy w liczniku, musimy upewnić się, że wszystkie \(x\)’S spełniają powyższą nierówność, aby uniknąć problemów. Dlatego dziedziną tej funkcji jest
\
d \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) Pokaż rozwiązanie
w tej ostatniej części musimy się martwić zarówno pierwiastkiem kwadratowym, jak i dzieleniem przez zero. Najpierw zajmijmy się pierwiastkiem kwadratowym, ponieważ prawdopodobnie spowoduje to największe ograniczenie wartości \(x\). Tak więc, aby pierwiastek kwadratowy był szczęśliwy(tzn. brak pierwiastka z liczb ujemnych), będziemy musieli tego wymagać,
\
więc przynajmniej będziemy musieli wymagać tego \(x \ge \frac{1}{2}\), aby uniknąć problemów z pierwiastkiem kwadratowym.
teraz zobaczmy, czy mamy jakieś problemy dzielenia przez zero. Ponownie, aby to zrobić, po prostu ustaw mianownik równy zero i rozwiąż.
\
zauważ, że \(x = – 4\) nie spełnia nierówności, której potrzebujemy dla pierwiastka kwadratowego, a więc wartość \(x\) została już wykluczona przez pierwiastek kwadratowy. Z drugiej strony \(x = 4\) spełnia nierówność. Oznacza to, że można podłączyć \(x = 4\) do pierwiastka kwadratowego, jednak ponieważ dałoby to dzielenie przez zero, będziemy musieli tego uniknąć.
domeną dla tej funkcji jest wtedy,
\