słynnym i ważnym ciągiem jest ciąg Fibonacciego, nazwany na cześć włoskiego matematyka znanego jako Leonardo Pisano, którego pseudonim był Fibonacciego i który żył od 1170 do 1230 roku. Sekwencja ta jest następująca:
\
sekwencja ta jest definiowana rekurencyjnie. Oznacza to, że każdy termin jest zdefiniowany przez poprzednie terminy.
i tak dalej.
ciąg Fibonacciego jest zdefiniowany przez
innymi słowy, aby otrzymać następny wyraz w sekwencji, dodaj dwa poprzednie wyrazy.
\
notacja, której będziemy używać do reprezentowania ciągu Fibonacciego jest następująca:
\
przykład \(\PageIndex{1}\): znajdowanie liczb Fibonacciego rekurencyjnie
Znajdź 13., 14. i 15. liczby Fibonacciego używając powyższej rekurencyjnej definicji dla ciągu Fibonacciego.
Po pierwsze, zauważ, że istnieje już 12 liczb Fibonacciego wymienionych powyżej, więc aby znaleźć następne trzy liczby Fibonacciego, po prostu dodajemy dwa poprzednie terminy, aby uzyskać następny termin zgodnie z definicją.
dlatego 13., 14. i 15. liczby Fibonacciego wynoszą odpowiednio 233, 377 i 610.
Obliczanie terminów ciągu Fibonacciego może być uciążliwe przy użyciu wzoru rekurencyjnego, zwłaszcza przy znajdowaniu terminów z dużym N. Na szczęście matematyk Leonhard Euler odkrył wzór do obliczania dowolnej liczby Fibonacciego. Formuła ta została utracona przez około 100 lat i została odkryta na nowo przez innego matematyka Jacques ’ a Bineta. Oryginalna formuła, znana jako formuła Bineta, znajduje się poniżej.
formuła Bineta: N-ta liczba Fibonacciego jest podana według następującego wzoru:
\} {\sqrt{5}}\]
formuła Bineta jest przykładem jawnie zdefiniowanej sekwencji. Oznacza to, że terminy sekwencji nie są zależne od poprzednich terminów.
czasami zamiast powyższej używa się nieco bardziej przyjaznej dla użytkownika, uproszczonej wersji Formuły Binet.
uproszczony wzór Bineta: N-ta liczba Fibonacciego jest podana według następującego wzoru:
Uwaga: symbol 
przykład \(\PageIndex{2}\): znalezienie
znajdź wartość
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. Liczba gałęzi na niektórych drzewach lub liczba płatków niektórych stokrotek to często liczby Fibonacciego
rysunek \(\PageIndex{4}\): liczby Fibonacciego i stokrotki
a. Stokrotka z 13 płatkami b. Stokrotka z 21 płatkami
a. 
(stokrotki, N. D.)
liczby Fibonacciego pojawiają się również w spiralnych wzorach wzrostu, takich jak liczba Spiral na kaktusie lub w łóżkach nasion słoneczników.
rysunek \(\PageIndex{5}\): liczby Fibonacciego i wzrost spiralny
a. Kaktus z 13 spiralami zgodnymi z ruchem wskazówek zegara B. Słonecznik z 34 spiralami zgodnymi z ruchem wskazówek zegara i 55 spiralami przeciwnym do ruchu wskazówek zegara
a. 
(Kaktus, n. d.) (Słonecznik, n. d.) liczby Fibonacciego.
wydaje się, że te współczynniki zbliżają się do liczby. Liczba, do której zbliżają się te współczynniki, to specjalna liczba zwana Złotym współczynnikiem, oznaczana przez 
Złoty Współczynnik:
\
złoty Współczynnik ma przybliżenie dziesiętne \(\phi=1.6180339887\).
złoty podział jest liczbą specjalną z różnych powodów. Nazywana jest również proporcją boską i pojawia się w sztuce i architekturze. Niektórzy twierdzą, że jest to najbardziej przyjemny stosunek do oka. Aby znaleźć ten stosunek, Grecy tną długość na dwie części, a mniejszy kawałek równa się jednej jednostce. Najbardziej przyjemne cięcie jest wtedy, gdy stosunek całej długości 
Złoty Współczynnik jest rozwiązaniem równania kwadratowego
udało się!
kolejna ciekawa zależność pomiędzy Złotym współczynnikiem a ciągiem Fibonacciego występuje przy przyjmowaniu potęg 
i tak dalej.
zauważ, że współczynniki
złota zasada mocy: \(\phi^{n}=f_{n} \phi+f_{N-1}\)
gdzie\(f_{n}\) jest N-tą liczbą Fibonacciego i \(\phi\) jest złotym współczynnikiem.
przykład \(\PageIndex{5}\): potęgi złotego podziału
Znajdź następujące wartości używając złotej reguły mocy: a.
