vennligst les Grenser (En Introduksjon) først

Infinity Er en veldig spesiell ide. Vi vet at vi ikke kan nå det, men vi kan fortsatt prøve å finne ut verdien av funksjoner som har uendelig i dem.

En Delt Med Uendelig

la oss starte med et interessant eksempel.

Hvorfor vet vi ikke?

Den enkleste grunnen er At Uendelig ikke er et tall, det er en ide.

så 1∞ er litt som å si 1beauty eller 1tall.

kanskje vi kunne si at 1∞= 0,… men det er også et problem, fordi hvis vi deler 1 i uendelige stykker og de ender opp 0 hver, hva skjedde med 1?

faktisk er 1∞ kjent for å være udefinert.

Men Vi Kan Nærme Oss Det!

så i stedet for å prøve å jobbe det ut for uendelig (fordi vi ikke kan få et fornuftig svar), la oss prøve større og større verdier av x:

x	1x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

nå kan vi se at når x blir større, har 1x en tendens mot 0

vi står nå overfor en interessant situasjon:

• Vi kan ikke si hva som skjer når x kommer til uendelig
• Men vi kan se at 1x går mot 0

vi vil gi svaret «0», men kan ikke, så i stedet sier matematikere nøyaktig hva som skjer ved å bruke det spesielle ordet «limit»

grensen på 1x når x Nærmer seg uendelig er 0

og skriv det slik:

med andre ord:

når x nærmer seg uendelig, så 1x nærmer seg 0

når du ser «grense», tenk «nærmer seg»

det er en matematisk måte å si «vi snakker ikke om når x=∞, men vi vet at når x blir større, blir svaret nærmere og nærmere 0».

Sammendrag

så Noen Ganger Kan Uendelig ikke brukes direkte, men vi kan bruke en grense.

det som skjer ved ∞ er udefinert …		1∞
… men vi vet at 1/x nærmer seg 0 som x nærmer seg uendelig	limx → ∞ (1x) = 0

grenser nærmer seg uendelig

hva er grensen for denne funksjonen når x nærmer seg uendelig?

y = 2x

Åpenbart som «x» blir større, så gjør «2x»:

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
…	…

slik at «x» nærmer seg uendelig, så nærmer «2x»også uendelig. Vi skriver dette:

men ikke la deg lure av»=». Vi kan faktisk ikke komme til uendelig, men i» grense » – språk er grensen uendelig (som egentlig sier at funksjonen er ubegrenset).

Uendelig og Grad

Vi har sett to eksempler, en gikk til 0, den andre gikk til uendelig.faktisk er mange uendelige grenser faktisk ganske enkle å trene, når vi finner ut «hvilken vei det går», slik:

Funksjoner som 1 / x tilnærming 0 som x nærmer seg uendelig. Dette gjelder også for 1 / x2 etc

en funksjon som x vil nærme seg uendelig, så vel som 2x eller x / 9 og så videre. Likeledes vil funksjoner med x2 eller x3 etc også nærme seg uendelig.

men vær forsiktig, en funksjon som «−x» vil nærme seg «−uendelig», så vi må se på tegnene til x.

faktisk, når vi ser på graden av funksjonen (den høyeste eksponenten i funksjonen), kan vi fortelle hva som skal skje:

når graden av funksjonen er:

• større enn 0, grensen er uendelig (eller −uendelig)
• mindre enn 0, grensen er 0

Men Hvis Graden er 0 eller ukjent, må vi jobbe litt vanskeligere for å finne en grense.

Rasjonelle Funksjoner

En Rasjonell Funksjon er en Som er forholdet mellom to polynomer:
for eksempel her p(x)=x3 + 2x − 1, og q(x) = 6×2:

etter fra vår ide om graden av ligningen, er det første trinnet for å finne grensen til …

Sammenlign Graden Av P (x) Til Graden Av Q(x):

… grensen er 0.

… del koeffisientene til betingelsene med den største eksponenten, slik:

(merk at de største eksponentene er like, da graden er lik)

… da er grensen positiv uendelig …

… eller kanskje negativ uendelig. Vi må se på skiltene!

vi kan trene tegnet (positivt eller negativt) ved å se på tegnene på vilkårene med den største eksponenten, akkurat som hvordan vi fant koeffisientene ovenfor:

x3 + 2x − 16×2		for eksempel vil dette gå til positiv uendelig, fordi begge deler … x3 (termen med den største eksponenten i toppen) og 6×2 (termen med den største eksponenten i bunnen) … er positive.
−2×2 + x5x − 3										Men dette vil lede til negativ uendelighet, fordi -2 / 5 er negativ.

Et Hardere Eksempel: Å Trene » e »

denne formelen kommer nærmere verdien av e (eulers tall) når n øker:

ved uendelig:

Vi vet ikke!

So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100 000	2.71827

ja, det er på vei mot verdien 2.71828… som er e (Eulers Nummer)

så igjen har vi en merkelig situasjon:

• Vi vet ikke hva verdien er når n=uendelig
• Men vi kan se at den legger seg mot 2.71828…

så vi bruker grenser for å skrive svaret slik:

det er en matematisk måte å si «vi snakker ikke om når n=∞, men vi vet at n blir større, svaret kommer nærmere og nærmere verdien av e».

Evaluere Grenser

jeg har tatt en mild tilnærming til grenser så langt, og vist tabeller og grafer for å illustrere punktene.

Men For å «evaluere» (med andre ord beregne) kan verdien av en grense ta litt mer innsats. Finn ut mer ved Å Vurdere Grenser.