Vis Mobil Varsel Vis Alle Notater Skjul Alle Notater
Seksjon 3-4 : Definisjonen av En Funksjon
Vi må nå flytte inn i det andre emnet i dette kapitlet. Før vi gjør det, men vi trenger en rask definisjon tatt vare på.
Definisjon Av Forhold
en relasjon er et sett med bestilte par.
dette virker som en merkelig definisjon, men vi trenger den for definisjonen av en funksjon (som er hovedtemaet i denne delen). Men før vi faktisk gir definisjonen av en funksjon, la oss se om vi kan få et håndtak på akkurat hva et forhold er.
Tenk tilbake Til Eksempel 1 i Grafavsnittet i dette kapitlet. I dette eksemplet konstruerte vi et sett med bestilte par vi pleide å skisse grafen til \(y = {\left ({x – 1} \ right)^2} – 4\). Her er de bestilte parene som vi brukte.
\
Noen av de følgende er da relasjoner fordi de består av et sett med bestilte par.
\
det er selvfølgelig mange flere relasjoner som vi kunne danne fra listen over bestilte par ovenfor, men vi ville bare liste noen mulige relasjoner for å gi noen eksempler. Merk også at vi også kunne få andre bestilte par fra ligningen og legge dem inn i noen av relasjonene ovenfor hvis vi ønsket å.
Nå, på dette punktet spør du sannsynligvis bare hvorfor vi bryr oss om relasjoner, og det er et godt spørsmål. Noen relasjoner er veldig spesielle og brukes på nesten alle nivåer i matematikk. Følgende definisjon forteller oss bare hvilke relasjoner som er disse spesielle forholdene.
Definisjon Av En Funksjon
en funksjon er et forhold hvor hver verdi fra settet de første komponentene i de bestilte parene er knyttet til nøyaktig en verdi fra settet av andre komponenter i det bestilte paret.
Ok, det er en munn full. La oss se om vi kan finne ut akkurat hva det betyr. La oss ta en titt på følgende eksempel som forhåpentligvis vil hjelpe oss å finne ut alt dette.
for settet med andre komponenter legg merke til at «-3» skjedde i to bestilte par, men vi oppførte det bare en gang.
for å se hvorfor denne relasjonen er en funksjon, velg bare en verdi fra settet av første komponenter. Nå, gå tilbake til forholdet og finn hvert bestilt par der dette nummeret er den første komponenten og liste alle andre komponenter fra de bestilte parene. Listen over andre komponenter vil bestå av nøyaktig en verdi.
La oss for eksempel velge 2 fra settet med første komponenter. Fra forholdet ser vi at det er nøyaktig ett bestilt par med 2 som en første komponent,\(\venstre ({2, – 3} \ høyre)\). Derfor er listen over andre komponenter (dvs. listen over verdier fra settet av andre komponenter) knyttet til 2 er nøyaktig ett tall, -3.
Merk at vi ikke bryr oss om at -3 er den andre komponenten av en andre bestilt par i forholdet. Det er helt akseptabelt. Vi vil bare ikke at det skal være mer enn ett bestilt par med 2 som en første komponent.
Vi så på en enkelt verdi fra settet av første komponenter for vårt raske eksempel her, men resultatet blir det samme for alle de andre valgene. Uavhengig av valg av første komponenter vil det være nøyaktig en andre komponent knyttet til den.
derfor er dette forholdet en funksjon.for å virkelig få en følelse for hva definisjonen av en funksjon forteller oss, bør vi nok også sjekke ut et eksempel på et forhold som ikke er en funksjon.
ikke bekymre deg for hvor dette forholdet kom fra. Det er bare en som vi gjorde opp for dette eksemplet.
her er listen over første og andre komponenter
\
fra settet med første komponenter la oss velge 6. Nå, hvis vi går opp til forholdet ser vi at det er to bestilte par med 6 som en første komponent : \(\venstre( {6,10} \høyre)\) og \(\venstre ({6, – 4} \høyre)\). Listen over andre komponenter knyttet til 6 er da: 10, -4.
listen over andre komponenter knyttet til 6 har to verdier, og derfor er dette forholdet ikke en funksjon.
Merk at det faktum at hvis vi hadde valgt -7 eller 0 fra settet av første komponenter, er det bare ett tall i listen over andre komponenter knyttet til hver. Dette spiller ingen rolle. Det faktum at vi fant enda en enkelt verdi i settet av første komponenter med mer enn ett sekund komponent knyttet til det, er nok å si at dette forholdet ikke er en funksjon.
som en sluttkommentar om dette eksemplet, la oss merke til at hvis vi fjernet det første og / eller det fjerde bestilte paret fra forholdet, ville vi ha en funksjon!
så, forhåpentligvis har du minst en følelse for hva definisjonen av en funksjon forteller oss.Nå som vi har tvunget deg til å gå gjennom den faktiske definisjonen av en funksjon, la oss gi en annen» fungerende » definisjon av en funksjon som vil være mye mer nyttig for det vi gjør her.
den faktiske definisjonen fungerer på en relasjon. Men som vi så med de fire relasjonene vi ga før definisjonen av en funksjon og forholdet vi brukte I Eksempel 1, får vi ofte relasjonene fra en ligning.
det er viktig å merke seg at ikke alle relasjoner kommer fra ligninger! Forholdet fra det andre eksemplet var for eksempel bare et sett med bestilte par vi skrev ned for eksemplet og kom ikke fra noen ligning. Dette kan også være sant med relasjoner som er funksjoner. De trenger ikke å komme fra ligninger.
men når det er sagt, kommer funksjonene som vi skal bruke i dette kurset, alle fra ligninger. Derfor, la oss skrive ned en definisjon av en funksjon som anerkjenner dette faktum.
Før vi gir «arbeidsdefinisjonen» av en funksjon, må vi påpeke at dette ikke er den faktiske definisjonen av en funksjon, som er gitt ovenfor. Dette er rett og slett en god «arbeidsdefinisjon» av en funksjon som knytter ting til de funksjonene vi skal jobbe med i dette kurset.
«Arbeidsdefinisjon» Av Funksjon
en funksjon er en ligning som enhver \(x\) som kan kobles til ligningen vil gi nøyaktig en \ (y\) ut av ligningen.
Der er det. Det er definisjonen av funksjoner som vi skal bruke og vil trolig være lettere å dechiffrere akkurat hva det betyr.
Før vi undersøker dette litt mer oppmerksom på at vi brukte uttrykket «\(x\) som kan kobles til » i definisjonen. Dette har en tendens til å antyde at ikke alle \(x\)’s kan kobles til en ligning, og dette er faktisk riktig. Vi vil komme tilbake og diskutere dette i mer detalj mot slutten av denne delen, men på dette punktet bare husk at vi ikke kan dele med null, og hvis vi ønsker reelle tall ut av ligningen kan vi ikke ta kvadratroten av et negativt tall. Så med disse to eksemplene er det klart at vi ikke alltid vil kunne plugge inn hver \(x\) i noen ligning.
Videre, når vi arbeider med funksjoner, vil vi alltid anta at både \(x\) og \ (y\) vil være reelle tall. Med andre ord, vi kommer til å glemme at vi vet noe om komplekse tall for en liten stund mens vi håndterer denne delen.Ok, med det ut av veien, la Oss komme tilbake til definisjonen av en funksjon, og la oss se på noen eksempler på ligninger som er funksjoner og ligninger som ikke er funksjoner.
- \(y = 5x + 1\)
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
Vis Alle Løsninger Skjul Alle Løsninger
den «fungerende» definisjonen av funksjon sier er at hvis vi tar alle mulige verdier av \(x\) og koble dem til ligningen og løse for \(y\) vil vi få nøyaktig en verdi for hver verdi av \(x\). På dette stadiet av spillet kan det være ganske vanskelig å faktisk vise at en ligning er en funksjon, så vi vil for det meste snakke oss gjennom det. På den annen side er det ofte ganske enkelt å vise at en ligning ikke er en funksjon.
a \(y = 5x + 1\) Vis Løsning
Så, vi må vise at uansett hva \(x\) vi plugger inn i ligningen og løser for \(y\) vil vi bare få en enkelt verdi av \(y\). Merk også at verdien av \(y\) vil trolig være forskjellig for hver verdi av \(x\), selv om den ikke trenger å være.
La oss starte dette ved å plugge inn noen verdier av \(x\) og se hva som skjer.
\
Så, for hver av disse verdiene av \(x\) fikk vi en enkelt verdi av \(y\) ut av ligningen. Dette er ikke nok til å hevde at dette er en funksjon. For å offisielt bevise at dette er en funksjon må vi vise at dette vil fungere uansett hvilken verdi av \(x\) vi plugger inn i ligningen.
Selvfølgelig kan vi ikke koble all mulig verdi av \(x\) inn i ligningen. Det er bare ikke fysisk mulig. Men la oss gå tilbake og se på de som vi plugget inn. For hver \(x\), ved å plugge inn, multipliserte vi først \(x\) med 5 og deretter lagt til 1 på den. Nå, hvis vi multipliserer et tall med 5, får vi en enkelt verdi fra multiplikasjonen. På samme måte vil vi bare få en enkelt verdi hvis vi legger til 1 på et tall. Derfor virker det plausibelt at basert på operasjonene involvert med å plugge \(x\) inn i ligningen at vi bare vil få en enkelt verdi av \(y\) ut av ligningen.
så, denne ligningen er en funksjon.
b \(y = {x^2} + 1\) Vis Løsning
Igjen, la oss plugge inn et par verdier av \(x\) og løse for \(y\) for å se hva som skjer.
\
Nå, la oss tenke litt på hva vi gjorde med evalueringene. Først kvadrerte vi verdien av \(x\) som vi plugget inn. Når vi kvadrat et tall vil det bare være en mulig verdi. Vi legger deretter til 1 på dette, men igjen vil dette gi en enkelt verdi.
Så det virker som om denne ligningen også er en funksjon.
Merk at det er greit å få samme \(y\) verdi for forskjellige \ (x\) ‘ s. For eksempel,
\
Vi kan bare ikke få mer enn en \(y\) ut av ligningen etter at vi plugger inn \(x\).
c \({y^2} = x + 1\) Vis Løsning
som vi har gjort med de to foregående ligningene, la oss plugge inn et par verdier av \(x\), løse for \(y\) og se hva vi får.husk nå at vi løser for \ (y\), og det betyr at i første og siste tilfelle ovenfor vil vi faktisk få to forskjellige \(y\) verdier ut av \(x\) og så er denne ligningen ikke en funksjon.
Merk at vi kan ha verdier av \(x\) som vil gi en enkelt \ (y\) som vi har sett ovenfor, men det spiller ingen rolle. Hvis selv en verdi av \(x\) gir mer enn en verdi av \(y\) ved å løse ligningen vil ikke være en funksjon.
hva dette egentlig betyr er at vi ikke trengte å gå lenger enn den første evalueringen, siden det ga flere verdier av \(y\).
d \({x^2} + {y^2} = 4\) Vis Løsning
med dette tilfellet bruker vi leksjonen lært i forrige del og ser om vi kan finne en verdi av \(x\) som vil gi mer enn en verdi av \(y\) ved å løse. Fordi vi har en y2 i problemet, bør dette ikke være for vanskelig å gjøre, siden løsningen til slutt vil bety å bruke kvadratrotegenskapen som vil gi mer enn en verdi av \(y\).
\
så, denne ligningen er ikke en funksjon. Husk at fra forrige avsnitt er dette ligningen i en sirkel. Sirkler er aldri funksjoner.
Forhåpentligvis har disse eksemplene gitt deg en bedre følelse for hva en funksjon faktisk er.
Vi må nå flytte inn på noe som kalles funksjonsnotasjon. Funksjonsnotasjon vil bli brukt tungt gjennom de fleste av de resterende kapitlene i dette kurset, og så er det viktig å forstå det.
La oss starte med følgende kvadratiske ligning.Vi kan bruke en prosess som ligner på det vi brukte i det forrige settet med eksempler for å overbevise oss selv om at dette er en funksjon. Siden dette er en funksjon, vil vi betegne det som følger,
\
Så erstattet vi \(y\) med notasjonen \(f\left( x \right)\). Dette leses som » f av \ (x\)». Merk at det ikke er noe spesielt med \(f\) vi brukte her. Vi kunne bare ha lett brukt noe av det følgende,
\
brevet vi bruker spiller ingen rolle. Det som er viktig er» \(\venstre( x \høyre)\) » – delen. Brevet i parentesen må samsvare med variabelen som brukes på høyre side av likestegnet.
det er veldig viktig å merke seg at \(f \ venstre (x \høyre)\) er egentlig ikke noe mer enn en virkelig fancy måte å skrive \(y\). Hvis du holder det i bakhodet kan du finne at arbeider med funksjonen notasjon blir litt enklere.
Også, Dette er IKKE en multiplikasjon av \(f\) av\(x\)! Dette er en av de vanligste feilene folk gjør når de først håndterer funksjoner. Dette er bare en notasjon som brukes til å betegne funksjoner.
Neste må vi snakke om evaluering av funksjoner. Evaluering av en funksjon er egentlig ikke noe mer enn å spørre hva verdien er for bestemte verdier av \(x\). En annen måte å se på det er at vi spør hva\ (y\) verdien for en gitt \(x\) er.
Evaluering er egentlig ganske enkel. La oss ta funksjonen vi så på ovenfor
\
og spør hva verdien er for \(x = 4\). Når det gjelder funksjonsnotasjon, vil vi» spørre » dette ved hjelp av notasjonen \(f \ left (4 \ right)\). Så, når det er noe annet enn variabelen inne i parentesen, spør vi virkelig hva verdien av funksjonen er for den aktuelle mengden.
Nå, når vi sier verdien av funksjonen, spør vi virkelig hva verdien av ligningen er for den aktuelle verdien av \(x\). Her er \(f \ venstre (4 \ høyre)\).
\
Legg Merke til at evaluering av en funksjon er gjort på nøyaktig samme måte som vi vurderer ligninger. Alt vi gjør er å plugge inn for \(x\) hva som er på innsiden av parentesen til venstre. Her er en annen evaluering for denne funksjonen.
\
så igjen, det som er på innsiden av parentesen til venstre, er plugget inn for \(x\) i ligningen til høyre. La oss ta en titt på noen flere eksempler.Eksempel 4 Gitt \(f\venstre (x \ høyre) = {x^2} – 2x + 8\) og \(g\venstre( x \høyre) = \sqrt {x + 6} \) evaluer hver av de følgende.
- \(f\venstre( 3 \høyre)\) og \(g\venstre( 3 \høyre)\)
- \(f\venstre( { – 10} \høyre)\)
- \(f\venstre (0 \høyre)\)
- \(f\venstre( t \høyre)\)
- \(f\venstre( t \høyre)\)
- \(f\venstre ({t + 1} \høyre)\) og \(f\venstre ({x + 1} \høyre)\)
- \(f\venstre ({{x^3}} \høyre)\)
- \(g\venstre ({{x^2} – 5} \høyre)\)
vis alle løsninger skjul alle løsninger
ok, vi har to funksjonsvurderinger å gjøre her, og vi har også to funksjoner, så vi må bestemme hvilken funksjon brukes til evalueringer. Nøkkelen her er å legge merke til brevet som er foran parentesen. For \(f \ venstre (3 \ høyre)\) vil vi bruke funksjonen \(f \ venstre (x \høyre)\) og for\(g \ venstre (3 \ høyre)\) vil vi bruke \ (g \ venstre (x \høyre)\). Med andre ord må vi bare sørge for at variablene samsvarer.
her er evalueringene for denne delen.
\
b \(f\left( { – 10} \right)\) Og \(g\left( { – 10} \right)\) Show Solution
Denne er ganske mye den samme som forrige del med ett unntak som vi berører når vi når det punktet. Her er evalueringene.
\
Pass på at du håndterer de negative tegnene riktig her. Nå den andre.
\
vi har nå nådd forskjellen. Husk at når vi først begynte å snakke om definisjonen av funksjoner, uttalte vi at vi bare skulle håndtere reelle tall. Med andre ord plugger vi bare inn ekte tall, og vi vil bare ha ekte tall tilbake som svar. Så, siden vi ville få et komplekst tall ut av dette, kan vi ikke plugge -10 inn i denne funksjonen.
c \(f\venstre( 0 \høyre)\) Vis Løsning
Ikke mye til denne.
\
Igjen, ikke glem at dette ikke er multiplikasjon! Av en eller annen grunn liker elevene å tenke på denne som multiplikasjon og få et svar på null. Vær forsiktig.
d \(f\venstre( t \høyre)\) Vis Løsning
resten av disse evalueringene kommer nå til å bli litt annerledes. Som dette viser at vi ikke trenger å bare ha tall i parentesen. Evalueringen fungerer imidlertid på nøyaktig samme måte. Vi plugger inn i \(x\) ‘ s på høyre side av likhetstegnet hva som er i parentesen. I dette tilfellet betyr det at vi plugger inn \(t\) for alle \ (x\)’s.
her er denne evalueringen.
\
Merk at i dette tilfellet er dette ganske mye det samme som vår opprinnelige funksjon, bortsett fra denne gangen bruker vi \(t\) som en variabel.
e \(f\left( {t + 1} \right)\) Og \(f\left( {x + 1} \right)\) Show Solution
Nå, la oss få litt mer komplisert, eller i det minste de synes å være mer komplisert. Ting er ikke så ille som de kan vises imidlertid. Vi evaluerer \(f\left ({t + 1} \right)\) først. Denne fungerer akkurat det samme som forrige del gjorde. Alle \(x\)’s til venstre vil bli erstattet med \(t + 1\). Vi vil ha noen forenkling å gjøre også etter substitusjonen.
\
Vær forsiktig med parentes i slike evalueringer. Det er lett å rote med dem.
Nå, la oss ta en titt på \(f\left( {x + 1} \right)\). Med unntak av \(x\) er dette identisk med \(f \ left ({t + 1} \right)\) og så fungerer det akkurat på samme måte.
\
ikke bli begeistret for det faktum at vi gjenbrukte \(x\) ‘ s i evalueringen her. På mange steder hvor vi skal gjøre dette i senere seksjoner, vil det være\(x\)’s her, og så må du bli vant til å se det.
f \(f\left( {{x^3}} \right)\) Vis Løsning
Igjen, ikke bli begeistret for \(x\)’s i parentesen her. Bare vurder det som om det var et tall.
\
g \(g\venstre( {{x^2} – 5} \høyre)\) Vis Løsning
En evaluering og denne gangen bruker vi den andre funksjonen.
\
Funksjonsevaluering er noe vi vil gjøre mye i senere seksjoner og kapitler, så sørg for at du kan gjøre det. Du vil finne flere senere seksjoner svært vanskelig å forstå og / eller gjøre arbeidet i hvis du ikke har en god forståelse av hvordan funksjon evaluering fungerer.
Mens Vi er på temaet funksjonsevaluering, bør vi nå snakke om stykkevis funksjoner. Vi har faktisk allerede sett et eksempel på en stykkevis funksjon, selv om vi ikke kalte det en funksjon (eller en stykkevis funksjon) på den tiden. Husk den matematiske definisjonen av absolutt verdi.
\
Dette er en funksjon, og hvis vi bruker funksjonsnotasjon, kan vi skrive den som følger,
\
Dette er også et eksempel på en stykkevis funksjon. En stykkevis funksjon er ikke noe mer enn en funksjon som er brutt i stykker, og hvilket stykke du bruker, avhenger av verdien av \(x\). Så i absoluttverdieksemplet vil vi bruke toppstykket hvis \(x\) er positiv eller null, og vi vil bruke bunnstykket hvis \ (x\) er negativ.
La oss ta en titt på å evaluere en mer komplisert stykkevis funksjon.
evaluer hvert av følgende.
- \(g\venstre( { – 6} \høyre)\)
- \(g\venstre( { – 4} \høyre)\)
- \(g\venstre( 1 \høyre)\)
- \(g\venstre( {15} \høyre)\)
- \(g\venstre( {21} \høyre)\)
Vis Alle Løsninger Skjul Alle Løsninger
før du starter evalueringene her, la oss merke til at vi bruker forskjellige bokstaver for funksjonen og variabelen enn de som vi har brukt til dette punktet. Det vil ikke endre hvordan evalueringen fungerer. Ikke bli så låst til å se \(f\) for funksjonen og \(x\) for variabelen at du ikke kan gjøre noe problem som ikke har disse bokstavene.Nå, for å gjøre hver av disse evalueringene, er det første vi må gjøre, å bestemme hvilken ulikhet tallet tilfredsstiller, og det vil bare tilfredsstille en enkelt ulikhet. Når vi bestemmer hvilken ulikhet tallet tilfredsstiller, bruker vi ligningen knyttet til den ulikheten.
Så, la oss gjøre noen evalueringer.
a \(g\venstre( { – 6} \høyre)\) Vis Løsning
i dette tilfellet tilfredsstiller -6 den øverste ulikheten og så bruker vi den øverste ligningen for denne evalueringen.
\
b \(g\left( { – 4} \ right)\) Vis Løsning
Nå må Vi være litt forsiktig med denne siden -4 dukker opp i to av ulikhetene. Det tilfredsstiller imidlertid bare topp ulikhet, og så vil vi igjen bruke toppfunksjonen for evalueringen.
\
c \(g\venstre( 1 \høyre)\) Vis Løsning
i dette tilfellet tilfredsstiller tallet 1 den midterste ulikheten, og så bruker vi midtligningen for evalueringen. Denne evalueringen forårsaker ofte problemer for studenter til tross for at det faktisk er en av de enkleste evalueringene vi noensinne vil gjøre. Vi vet at vi evaluerer funksjoner / ligninger ved å plugge inn tallet for variabelen. I dette tilfellet er det ingen variabler. Det er ikke noe problem. Siden det ikke er noen variabler betyr det bare at vi egentlig ikke plugger inn noe, og vi får følgende, d \ (g \ left ({15} \right)\) Show Solution
Igjen, som med den andre delen må vi være litt forsiktige med denne. I dette tilfellet tilfredsstiller tallet den midterste ulikheten siden det er den med likestegnet i den. Så som den forrige delen vi bare får,
\
ikke bli begeistret for det faktum at de to foregående evalueringene var den samme verdien. Dette vil skje til tider.
e \(g\venstre( {21} \høyre)\) Vis Løsning
for den endelige evalueringen i dette eksemplet tilfredsstiller tallet den nederste ulikheten, og så bruker vi den nederste ligningen for evalueringen.Piecewise funksjoner oppstår ikke så ofte i En Algebra klasse, men de oppstår flere steder i senere klasser, og det er derfor viktig for deg å forstå dem hvis du skal gå videre til flere matte klasser.
som et siste emne må vi komme tilbake og berøre det faktum at vi ikke alltid kan koble hver \(x\) til hver funksjon. Vi snakket kort om dette da vi ga definisjonen av funksjonen, og vi så et eksempel på dette da vi evaluerte funksjoner. Vi må nå se på dette i litt mer detalj.
Først må vi få et par definisjoner ut av veien.
Domene og Rekkevidde
domenet til en ligning er settet av alle \(x\) som vi kan plugge inn i ligningen og få tilbake et reelt tall for \(y\). Utvalget av en ligning er settet av alle \ (y\) som vi noen gang kan komme ut av ligningen.
Merk at vi mente å bruke ligning i definisjonene ovenfor i stedet for funksjoner. Dette er virkelig definisjoner for ligninger. Men siden funksjoner også er ligninger, kan vi også bruke definisjonene for funksjoner.Å Bestemme rekkevidden av en ligning / funksjon kan være ganske vanskelig å gjøre for mange funksjoner, og så kommer vi ikke til å komme inn i det. Vi er mye mer interessert her i å bestemme domenene til funksjoner. Fra definisjonen er domenet settet av alle \ (x\) som vi kan plugge inn i en funksjon og få tilbake et reelt tall. På dette punktet betyr det at vi må unngå divisjon med null og ta kvadratrøtter av negative tall.
La oss gjøre et par raske eksempler på å finne domener.
- \(\displaystyle g\venstre( x \høyre) = \frac{{x + 3}} {{x^2} + 3x – 10}}\)
- \(f\venstre( x \høyre) = \sqrt{5 – 3x}\)
- \(\displaystyle h\venstre( x \høyre) = \frac {{\sqrt {7x + 8} }} {{{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle r \ venstre (x \ høyre) = \frac {{\sqrt {10x-5} }} {{{x^2} – 16}}\)
Vis Alle Løsninger Skjul Alle Løsninger
domenene for disse funksjonene er alle verdiene for \(x\) som vi ikke har divisjon med null eller kvadratroten til et negativt tall. Hvis vi husker disse to ideene, vil det være ganske enkelt å finne domenene.
a \(\displaystyle g\venstre( x \høyre) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\) Vis Løsning
så i dette tilfellet er det ingen kvadratrøtter, så vi trenger ikke å bekymre oss for kvadratroten til et negativt tall. Det er imidlertid en mulighet for at vi får en divisjon med null feil. For å avgjøre om vi vil, må vi sette nevneren lik null og løse.
\
Så vil vi få divisjon med null hvis vi plugger inn \(x = – 5\) eller \(x = 2\). Det betyr at vi må unngå disse to tallene. Imidlertid vil alle de andre verdiene av \(x\) fungere siden de ikke gir divisjon med null. Domenet er da,
\
b \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \) Vis Løsning
I dette tilfellet vil vi ikke ha divisjon med null problemer siden vi ikke har noen fraksjoner. Vi har en kvadratrot i problemet, og så må vi bekymre oss for å ta kvadratroten til et negativt tall.
denne kommer til å fungere litt annerledes enn den forrige delen. I den delen bestemte vi verdien(e) av \(x\) for å unngå. I dette tilfellet vil det være like enkelt å få domenet direkte. For å unngå kvadratrøtter av negative tall er alt vi trenger å gjøre, å kreve at Dette er en ganske enkel lineær ulikhet som vi burde kunne løse på dette punktet.
\
domenet til denne funksjonen er da,
\
c \(\displaystyle h\venstre( x \høyre) = \frac{{\sqrt {7x + 8}}} {{x^2} + 4}}\) Vis Løsning
i dette tilfellet har vi en brøkdel, men legg merke til at nevnen aldri vil være null for noe reelt tall siden x2 er garantert å være positiv eller null og legge til 4 på dette vil bety at nevneren er alltid minst 4. Med andre ord, nevnen vil aldri være null. Så alt vi trenger å gjøre er å bekymre oss for kvadratroten i telleren.Nå kan vi faktisk plugge inn noen verdi av \(x\) i nevnen, men siden vi har kvadratroten i telleren, må vi sørge for at alle \(x\) tilfredsstiller ulikheten ovenfor for å unngå problemer. Derfor er domenet til denne funksjonen
\
d \ (\displaystyle r \ left (x \ right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) Vis Løsning
i denne siste delen har vi både en kvadratrot og divisjon med null å bekymre seg for. La oss ta vare på kvadratroten først siden dette vil trolig sette den største begrensningen på verdiene til \(x\). Så, for å holde kvadratroten lykkelig (dvs. ingen kvadratrot av negative tall) må vi kreve det,
\
Så, i det minste må vi kreve det \(x \ge \frac{1}{2}\) for å unngå problemer med kvadratroten.
Nå, la Oss se Om vi har noen divisjon med null problemer. Igjen, for å gjøre dette bare sette nevneren lik null og løse.legg merke Til at \(x = – 4\) ikke tilfredsstiller ulikheten vi trenger for kvadratroten og slik at verdien av \(x\) allerede er utelukket av kvadratroten. På den annen side tilfredsstiller \(x = 4\) ulikheten. Dette betyr at det er greit å plugge \(x = 4\) inn i kvadratroten, men siden det ville gi divisjon med null, må vi unngå det.
domenet for denne funksjonen er da,
\