Si prega di leggere Limiti (Un’introduzione) prima

Infinity è un’idea molto speciale. Sappiamo che non possiamo raggiungerlo, ma possiamo ancora provare a calcolare il valore delle funzioni che hanno infinito in esse.

Uno diviso per Infinito

Iniziamo con un esempio interessante.

Perché non lo sappiamo?

La ragione più semplice è che l’Infinito non è un numero, è un’idea.

Quindi 1∞ è un po ‘ come dire 1beauty o 1tall.

Forse potremmo dire che 1∞= 0, … ma anche questo è un problema, perché se dividiamo 1 in pezzi infiniti e finiscono 0 ciascuno, cosa è successo all ‘ 1?

Infatti 1∞ è noto per essere indefinito.

Ma possiamo avvicinarci!

Quindi, invece di cercare di risolverlo per l’infinito (perché non possiamo ottenere una risposta sensata), proviamo valori sempre più grandi di x:

x	1x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

Ora si può vedere che x diventa più grande, 1x tende a 0

ora Siamo di fronte ad una situazione interessante:

• non Siamo in grado di dire cosa succede quando x diventa infinito
• Ma possiamo vedere che 1x sta andando verso 0

vogliamo dare la risposta “0” ma non è possibile, così, invece matematici dire esattamente che cosa sta succedendo, utilizzando l’apposito parola “limite”

Il limite di 1x per x che tende a Infinito è 0

E scrivere qualcosa del tipo:

In altre parole:

Mentre x si avvicina all’infinito, 1x si avvicina a 0

Quando vedi “limit”, pensa “approaching”

È un modo matematico per dire “non stiamo parlando di quando x=∞, ma sappiamo che quando x diventa più grande, la risposta si avvicina sempre più a 0”.

Sommario

Quindi, a volte Infinity non può essere usato direttamente, ma possiamo usare un limite.

Ciò che accade a ∞ non è definito …		1∞
… ma sappiamo che 1/x si avvicina a 0 per x che tende a infinito		limx→∞ (1x) = 0

Limiti Avvicina Infinity

Qual è il limite della funzione per x che tende a infinito?

y = 2x

Ovviamente come “x” diventa più grande, così fa “2x”:

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
…	…

Così come “x” si avvicina all’infinito, anche “2x” si avvicina all’infinito. Scriviamo questo:

Ma non fatevi ingannare dal “=”. In realtà non possiamo arrivare all’infinito, ma nel linguaggio” limite ” il limite è infinito (che sta davvero dicendo che la funzione è illimitata).

Infinito e Grado

Abbiamo visto due esempi, uno è andato a 0, l’altro è andato a infinito.

In realtà molti limiti infiniti sono in realtà abbastanza facili da risolvere, quando scopriamo “da che parte sta andando”, in questo modo:

Funzioni come 1/x approccio 0 come x si avvicina all’infinito. Questo vale anche per 1/x2 ecc

Una funzione come x si avvicinerà all’infinito, così come 2x, o x / 9 e così via. Allo stesso modo le funzioni con x2 o x3 ecc.

Ma attenzione, una funzione simile a “−x” approccio “−infinito”, quindi dobbiamo guardare i segni di x.

In effetti, quando guardiamo il Grado della funzione (il più alto esponente della funzione) si può dire che cosa sta per accadere:

Quando il Grado della funzione è:

• maggiore di 0, il limite è infinito (o −infinito)
• inferiore a 0, il limite è 0

Ma se il Grado è 0 o sconosciuto, dobbiamo lavorare un po ‘ più duramente per trovare un limite.

Funzioni razionali

Una funzione Razionale è quella che è il rapporto di due polinomi:		f(x) = P(x)Q(x)
Per esempio, qui P(x) = x3 + 2x − 1 e Q(x) = 6×2:		x3 + 2x − 16×2

dopo la nostra idea del Grado dell’Equazione, il primo passo per trovare il limite è quello …

Confronta il grado di P (x) con il grado di Q(x):

… il limite è 0.

… dividere i coefficienti dei termini con l’esponente più grande, in questo modo:

(si noti che gli esponenti più grandi sono uguali, poiché il grado è uguale)

… quindi il limite è infinito positivo …

… o forse infinito negativo. Dobbiamo guardare i segni!

Siamo in grado di elaborare il segno (positivo o negativo) guardando i segni dei termini con il più grande esponente, proprio come abbiamo trovato i coefficienti di cui sopra:

x3 + 2x − 16×2		Per esempio, questo andrà a infinito positivo, perché entrambi … x3 (il termine con il più grande esponente in alto) e 6×2 (il termine con il più grande esponente in basso) … sono positivi.
−2×2 + x5x − 3		Ma questo si dirigerà verso l’infinito negativo, perché -2 / 5 è negativo.

Un Duro Esempio: Lavorare Fuori “e”

Questa formula si avvicina al valore di e (numero di Eulero) al crescere di n:

All’infinito:

Non lo sappiamo!

So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100,000	2.71827

Sì, si sta dirigendo verso il valore 2.71828… che è e (Numero di Eulero)

Quindi di nuovo abbiamo una situazione strana:

• Non sappiamo quale sia il valore quando n=infinito
• Ma possiamo vedere che si assesta verso 2.71828…

Quindi usiamo i limiti per scrivere la risposta in questo modo:

È un modo matematico per dire “non stiamo parlando di quando n=∞, ma sappiamo che quando n diventa più grande, la risposta si avvicina sempre più al valore di e”.

Valutazione dei limiti

Finora ho adottato un approccio delicato ai limiti e ho mostrato tabelle e grafici per illustrare i punti.

Ma per “valutare” (in altre parole calcolare) il valore di un limite può richiedere un po ‘ più di sforzo. Per saperne di più a Valutare i limiti.