Baryshnikov ha iniziato a recitare all’età di 6 anni in una produzione teatrale per bambini di A Midsummer Night’s Dream, interpretando Peaseblossom, una serva della regina delle fate Titania. Dopo essersi laureata alla Northwestern University nel 2014, ha iniziato a recitare professionalmente in varie serie televisive, tra cui Doll & Em su HBO. I suoi genitori erano inizialmente titubanti circa la sua scelta di carriera prima di diventare di supporto.

Il ruolo più importante di Baryshnikov fino ad oggi è stato nel dramma acclamato dalla critica 2016 Manchester by the Sea, al fianco di Casey Affleck e Michelle Williams. Il suo personaggio, Sandy, è una fidanzata di Patrick Chandler, interpretato da Lucas Hedges. Ha praticato l’accento di Boston del suo personaggio lavorando con un allenatore di dialetto e andando nei centri commerciali della zona di Boston per ascoltare come parlavano le ragazze adolescenti locali.

Baryshnikov ha interpretato il ruolo della studentessa Maya nella serie CBS Superior Donuts, basata sull’omonima commedia di Tracy Letts. La serie, che ha debuttato nel febbraio 2017, è stata rinnovata per una seconda stagione dalla CBS, ma il personaggio di Baryshnikov non appare nella seconda stagione. Nel 2017, è apparsa nella produzione di Broadway di the play Time e the Conways. Nel 2018, è apparsa nel film The Kindergarten Teacher.

Il 26 settembre 2018, Baryshnikov è stato lanciato nel ruolo principale di Lavinia Norcross Dickinson nella serie di Apple TV+ Dickinson, al fianco di Hailee Steinfeld.