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Sezione 3-4 : La definizione di una funzione
Ora dobbiamo passare al secondo argomento di questo capitolo. Prima di farlo, tuttavia, abbiamo bisogno di una definizione rapida.
Definizione di relazione
Una relazione è un insieme di coppie ordinate.
Questa sembra una definizione strana, ma ne avremo bisogno per la definizione di una funzione (che è l’argomento principale di questa sezione). Tuttavia, prima di dare effettivamente la definizione di una funzione, vediamo se possiamo ottenere una maniglia su cosa sia una relazione.
Ripensa all’esempio 1 nella sezione Grafica di questo capitolo. In questo esempio abbiamo costruito un insieme di coppie ordinate che abbiamo usato per disegnare il grafico di \(y = {\left ({x – 1} \right)^2} – 4\). Ecco le coppie ordinate che abbiamo usato.
\
Una delle seguenti sono quindi relazioni perché consistono in un insieme di coppie ordinate.
\
Ci sono ovviamente molte altre relazioni che potremmo formare dall’elenco delle coppie ordinate sopra, ma volevamo solo elencare alcune possibili relazioni per dare alcuni esempi. Si noti inoltre che potremmo anche ottenere altre coppie ordinate dall’equazione e aggiungerle in una qualsiasi delle relazioni sopra se volessimo.
Ora, a questo punto probabilmente ti stai chiedendo perché ci preoccupiamo delle relazioni e questa è una buona domanda. Alcune relazioni sono molto speciali e vengono utilizzate a quasi tutti i livelli della matematica. La seguente definizione ci dice solo quali relazioni sono queste relazioni speciali.
Definizione di una funzione
Una funzione è una relazione per la quale ogni valore dall’insieme dei primi componenti delle coppie ordinate è associato esattamente a un valore dall’insieme dei secondi componenti della coppia ordinata.
Va bene, che è una bocca piena. Vediamo se riusciamo a capire cosa significa. Diamo un’occhiata al seguente esempio che speriamo ci aiuti a capire tutto questo.
Da queste coppie ordinate abbiamo i seguenti set di primi componenti (cioè il primo numero da ogni coppia ordinata) e secondi componenti (cioè il secondo numero da ogni coppia ordinata).
\
Per il set di secondi componenti si noti che il “-3” si è verificato in due coppie ordinate, ma l’abbiamo elencato solo una volta.
Per capire perché questa relazione è una funzione basta scegliere qualsiasi valore dall’insieme dei primi componenti. Ora, torna alla relazione e trova ogni coppia ordinata in cui questo numero è il primo componente ed elenca tutti i secondi componenti da quelle coppie ordinate. L’elenco dei secondi componenti consisterà esattamente in un valore.
Ad esempio, scegliamo 2 dal set dei primi componenti. Dalla relazione vediamo che esiste esattamente una coppia ordinata con 2 come primo componente,\(\left ({2, – 3} \right)\). Pertanto, l’elenco dei secondi componenti (cioè l’elenco dei valori dal set di secondi componenti) associato a 2 è esattamente un numero, -3.
Nota che non ci interessa che -3 sia il secondo componente di un secondo par ordinato nella relazione. Questo è perfettamente accettabile. Semplicemente non vogliamo che ci sia più di una coppia ordinata con 2 come primo componente.
Abbiamo esaminato un singolo valore dall’insieme dei primi componenti per il nostro rapido esempio qui, ma il risultato sarà lo stesso per tutte le altre scelte. Indipendentemente dalla scelta dei primi componenti ci sarà esattamente un secondo componente associato ad esso.
Pertanto, questa relazione è una funzione.
Per avere davvero un’idea di ciò che la definizione di una funzione ci sta dicendo, probabilmente dovremmo anche controllare un esempio di una relazione che non è una funzione.
Non preoccuparti di dove proviene questa relazione. È solo uno che abbiamo inventato per questo esempio.
Ecco l’elenco dei primi e secondi componenti
\
Dal set di primi componenti scegliamo 6. Ora, se andiamo fino alla relazione vediamo che ci sono due coppie ordinate con 6 come primo componente : \(\left( {6,10} \right)\) e \(\left( {6, – 4} \right)\). L’elenco dei secondi componenti associati a 6 è quindi: 10, -4.
L’elenco dei secondi componenti associati a 6 ha due valori e quindi questa relazione non è una funzione.
Si noti che il fatto che se avessimo scelto -7 o 0 dall’insieme dei primi componenti c’è solo un numero nell’elenco dei secondi componenti associati a ciascuno. Non importa. Il fatto che abbiamo trovato anche un singolo valore nell’insieme dei primi componenti con più di un secondo componente associato è sufficiente per dire che questa relazione non è una funzione.
Come commento finale su questo esempio notiamo che se rimuovessimo la prima e / o la quarta coppia ordinata dalla relazione avremmo una funzione!
Quindi, spero che tu abbia almeno una sensazione per ciò che la definizione di una funzione ci sta dicendo.
Ora che ti abbiamo costretto a passare attraverso la definizione effettiva di una funzione diamo un’altra definizione “funzionante” di una funzione che sarà molto più utile a quello che stiamo facendo qui.
La definizione effettiva funziona su una relazione. Tuttavia, come abbiamo visto con le quattro relazioni che abbiamo dato prima della definizione di una funzione e della relazione che abbiamo usato nell’esempio 1, spesso otteniamo le relazioni da qualche equazione.
È importante notare che non tutte le relazioni provengono da equazioni! La relazione del secondo esempio, ad esempio, era solo un insieme di coppie ordinate che abbiamo annotato per l’esempio e non proveniva da alcuna equazione. Questo può anche essere vero con le relazioni che sono funzioni. Non devono provenire da equazioni.
Tuttavia, detto questo, le funzioni che useremo in questo corso provengono tutte da equazioni. Pertanto, scriviamo una definizione di una funzione che riconosce questo fatto.
Prima di dare la definizione “funzionante” di una funzione, dobbiamo sottolineare che questa NON è la definizione effettiva di una funzione, che è data sopra. Questa è semplicemente una buona “definizione di lavoro” di una funzione che lega le cose ai tipi di funzioni con cui lavoreremo in questo corso.
“Definizione di lavoro” della funzione
Una funzione è un’equazione per la quale qualsiasi \(x\) che può essere inserito nell’equazione produrrà esattamente un \(y\) dall’equazione.
Eccolo. Questa è la definizione di funzioni che useremo e probabilmente sarà più facile decifrare solo ciò che significa.
Prima di esaminare questo un po ‘ più nota che abbiamo usato la frase “\(x\) che può essere inserita” nella definizione. Ciò tende a implicare che non tutti i \(x\) possono essere inseriti in un’equazione e questo è in effetti corretto. Torneremo e discuteremo di questo in modo più dettagliato verso la fine di questa sezione, tuttavia a questo punto ricorda che non possiamo dividere per zero e se vogliamo numeri reali fuori dall’equazione non possiamo prendere la radice quadrata di un numero negativo. Quindi, con questi due esempi è chiaro che non saremo sempre in grado di collegare ogni \(x\) in qualsiasi equazione.
Inoltre, quando si tratta di funzioni, assumeremo sempre che sia \(x\) che \(y\) saranno numeri reali. In altre parole, ci accingiamo a dimenticare che sappiamo qualcosa di numeri complessi per un po ‘ mentre ci occupiamo di questa sezione.
Ok, con quello fuori mano torniamo alla definizione di una funzione e diamo un’occhiata ad alcuni esempi di equazioni che sono funzioni ed equazioni che non sono funzioni.
- \(y = 5x + 1\)
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
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Il “lavoro” definizione di funzione di dire è che se prendiamo tutti i possibili valori di \(x\) e collegare l’equazione e risolvere per \(y\) si ottiene esattamente uno per ogni valore di \(x\). In questa fase del gioco può essere piuttosto difficile mostrare effettivamente che un’equazione è una funzione, quindi parleremo principalmente attraverso di essa. D’altra parte, è spesso abbastanza facile mostrare che un’equazione non è una funzione.
a \(y = 5x + 1\) Show Solution
Quindi, dobbiamo mostrare che non importa quale \(x\) inseriamo nell’equazione e risolviamo per \(y\) otterremo solo un singolo valore di \(y\). Si noti inoltre che il valore di \(y\) sarà probabilmente diverso per ogni valore di \(x\), anche se non deve essere.
Iniziamo collegando alcuni valori di \(x\) e vediamo cosa succede.
\
Quindi, per ciascuno di questi valori di \(x\) abbiamo ottenuto un singolo valore di \(y\) dall’equazione. Ora, questo non è sufficiente per affermare che questa è una funzione. Per dimostrare ufficialmente che questa è una funzione, dobbiamo dimostrare che funzionerà indipendentemente dal valore di \(x\) che inseriamo nell’equazione.
Naturalmente, non possiamo collegare tutto il valore possibile di \(x\) nell’equazione. Questo non è fisicamente possibile. Tuttavia, torniamo indietro e guardiamo quelli che abbiamo fatto collegare. Per ogni \(x\), dopo aver collegato, abbiamo prima moltiplicato il \(x\) per 5 e poi aggiunto 1 su di esso. Ora, se moltiplichiamo un numero per 5 otterremo un singolo valore dalla moltiplicazione. Allo stesso modo, otterremo solo un singolo valore se aggiungiamo 1 su un numero. Pertanto, sembra plausibile che in base alle operazioni coinvolte nel collegare \(x\) nell’equazione otterremo solo un singolo valore di \(y\) dall’equazione.
Quindi, questa equazione è una funzione.
b \(y = {x^2} + 1\) Mostra la soluzione
Di nuovo, inseriamo un paio di valori di \(x\) e risolviamo per \(y\) per vedere cosa succede.
\
Ora, pensiamo un po ‘ a quello che stavamo facendo con le valutazioni. Per prima cosa, abbiamo quadrato il valore di \(x\) che abbiamo inserito. Quando quadriamo un numero ci sarà solo un valore possibile. Quindi aggiungiamo 1 su questo, ma di nuovo, questo produrrà un singolo valore.
Quindi, sembra che questa equazione sia anche una funzione.
Nota che va bene ottenere lo stesso valore \(y\) per diversi \(x\). Ad esempio,
\
Non possiamo ottenere più di un \(y\) dall’equazione dopo aver inserito \(x\).
c \({y^2} = x + 1\) Mostra Soluzione
Come abbiamo fatto con le due equazioni precedenti, inseriamo un paio di valori di \(x\), risolviamo per \(y\) e vediamo cosa otteniamo.
\
Ora, ricorda che stiamo risolvendo per \(y\) e quindi ciò significa che nel primo e nell’ultimo caso sopra otterremo effettivamente due diversi valori \(y\) da \(x\) e quindi questa equazione NON è una funzione.
Nota che possiamo avere valori di \(x\) che produrranno un singolo \(y\) come abbiamo visto sopra, ma non importa. Se anche un valore di\ (x\) produce più di un valore di \(y\) dopo aver risolto l’equazione non sarà una funzione.
Ciò che significa veramente è che non abbiamo bisogno di andare oltre la prima valutazione, poiché ciò ha dato più valori di \(y\).
d \({x^2} + {y^2} = 4\) Mostra Soluzione
In questo caso useremo la lezione appresa nella parte precedente e vedremo se riusciamo a trovare un valore di \(x\) che darà più di un valore di \(y\) al momento della risoluzione. Poiché abbiamo un y2 nel problema, questo non dovrebbe essere troppo difficile da fare poiché risolvere alla fine significherà usare la proprietà radice quadrata che darà più di un valore di \(y\).
\
Quindi, questa equazione non è una funzione. Ricordiamo, che dalla sezione precedente questa è l’equazione di un cerchio. I cerchi non sono mai funzioni.
Speriamo che questi esempi ti abbiano dato un’idea migliore di cosa sia effettivamente una funzione.
Ora dobbiamo passare a qualcosa chiamato notazione di funzione. La notazione delle funzioni verrà utilizzata pesantemente per la maggior parte dei capitoli rimanenti in questo corso e quindi è importante capirlo.
Iniziamo con la seguente equazione quadratica.
\
Possiamo usare un processo simile a quello che abbiamo usato nel precedente set di esempi per convincerci che questa è una funzione. Poiché questa è una funzione, la denoteremo come segue,
\
Quindi, abbiamo sostituito \(y\) con la notazione \(f\left( x \right)\). Questo viene letto come ” f di \(x\)”. Si noti che non c’è nulla di speciale nel \(f\) che abbiamo usato qui. Potremmo semplicemente usare facilmente uno dei seguenti,
\
La lettera che usiamo non ha importanza. Ciò che è importante è la parte “\(\left( x \right)\)”. La lettera tra parentesi deve corrispondere alla variabile utilizzata sul lato destro del segno di uguale.
È molto importante notare che \(f\left( x \right)\) non è altro che un modo davvero elegante di scrivere \(y\). Se lo tieni a mente, potresti scoprire che trattare con la notazione delle funzioni diventa un po ‘ più semplice.
Inoltre, questa NON è una moltiplicazione di \(f\) per \(x\)! Questo è uno degli errori più comuni che le persone commettono quando si occupano per la prima volta delle funzioni. Questa è solo una notazione usata per indicare le funzioni.
Quindi dobbiamo parlare della valutazione delle funzioni. Valutare una funzione non è altro che chiedere quale sia il suo valore per valori specifici di \(x\). Un altro modo di guardarlo è che stiamo chiedendo quale sia il valore \(y\) per un dato \(x\).
La valutazione è davvero abbastanza semplice. Prendiamo la funzione che stavamo guardando sopra
\
e chiediamo quale sia il suo valore per \(x = 4\). In termini di notazione di funzione lo “chiederemo” usando la notazione \(f \ left (4\right)\). Quindi, quando c’è qualcosa di diverso dalla variabile all’interno della parentesi, stiamo davvero chiedendo quale sia il valore della funzione per quella particolare quantità.
Ora, quando diciamo il valore della funzione, stiamo davvero chiedendo quale sia il valore dell’equazione per quel particolare valore di \(x\). Ecco \(f \ left (4\right)\).
\
Si noti che la valutazione di una funzione viene eseguita esattamente nello stesso modo in cui valutiamo le equazioni. Tutto ciò che facciamo è collegare per \(x\) tutto ciò che si trova all’interno della parentesi a sinistra. Ecco un’altra valutazione per questa funzione.
\
Quindi, di nuovo, tutto ciò che si trova all’interno della parentesi a sinistra è inserito per \(x\) nell’equazione a destra. Diamo un’occhiata ad alcuni altri esempi.
- \(f\left( 3 \right)\) e \(g\left( 3 \right)\)
- \(f\left( { – 10} \right)\) e \(g\left( { – 10} \right)\)
- \(f\left( 0 \right)\)
- \(f\left( t \right)\)
- \(f\left( {t + 1} \right)\) e \(f\left( {x + 1} \right)\)
- \(f\left( {{x^3}} \right)\)
- \(g\left( {{x^2} – 5} \right)\)
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va Bene che ho due di funzione valutazioni da fare qui e abbiamo anche avuto due funzioni, di cui avremo bisogno per decidere quale funzione da utilizzare per le valutazioni. La chiave qui è notare la lettera che si trova di fronte alla parentesi. Per \(f \ left(3\ right)\) useremo la funzione\(f \left(x\ right)\) e per\(g \left(3\ right)\) useremo\(g \left (x\right)\). In altre parole, dobbiamo solo assicurarci che le variabili corrispondano.
Ecco le valutazioni per questa parte.
\
b \(f\left( { – 10} \right)\) e \(g\left( { – 10} \right)\) Mostrano la soluzione
Questa è praticamente la stessa della parte precedente con un’eccezione che toccheremo quando raggiungeremo quel punto. Ecco le valutazioni.
\
Assicurati di gestire correttamente i segni negativi qui. Ora il secondo.
\
Ora abbiamo raggiunto la differenza. Ricordiamo che quando abbiamo iniziato a parlare della definizione di funzioni abbiamo dichiarato che avremmo avuto a che fare solo con numeri reali. In altre parole, inseriamo solo numeri reali e vogliamo solo numeri reali come risposte. Quindi, dal momento che otterremmo un numero complesso da questo, non possiamo collegare -10 a questa funzione.
c \(f\left( 0 \right)\) Mostra la soluzione
Non molto per questo.
\
Ancora una volta, non dimenticare che questa non è moltiplicazione! Per qualche ragione agli studenti piace pensare a questo come moltiplicazione e ottenere una risposta di zero. Stia attento.
d \(f\left( t \right)\) Show Solution
Il resto di queste valutazioni sarà ora un po ‘ diverso. Come questo mostra non abbiamo bisogno di avere solo numeri tra parentesi. Tuttavia, la valutazione funziona esattamente allo stesso modo. Inseriamo nel \(x\) ‘ s sul lato destro del segno di uguale qualunque cosa sia nella parentesi. In questo caso ciò significa che inseriamo \(t\) per tutti i \(x\).
Ecco questa valutazione.
\
Nota che in questo caso questa è praticamente la stessa cosa della nostra funzione originale, tranne che questa volta stiamo usando \(t\) come variabile.
e \(f\left( {t + 1} \right)\) e \(f\left( {x + 1} \right)\) Mostrano la soluzione
Ora, diventiamo un po ‘ più complicati, o almeno sembrano essere più complicati. Le cose non sono così male come possono apparire comunque. Valuteremo prima \(f\left( {t + 1} \right)\). Questo funziona esattamente come la parte precedente. Tutti i \(x\) a sinistra verranno sostituiti con \(t + 1\). Avremo qualche semplificazione da fare anche dopo la sostituzione.
\
Fai attenzione con le parentesi in questo tipo di valutazioni. È facile rovinare con loro.
Ora, diamo un’occhiata a \(f\left( {x + 1} \right)\). Con l’eccezione di \(x\) questo è identico a \(f\left( {t + 1} \right)\) e quindi funziona esattamente allo stesso modo.
\
Non entusiasmarti per il fatto che abbiamo riutilizzato \(x\) nella valutazione qui. In molti luoghi in cui lo faremo nelle sezioni successive ci saranno \(x\) qui e quindi dovrai abituarti a vederlo.
f \(f\left( {{x^3}} \right)\) Mostra la soluzione
Di nuovo, non entusiasmarti per le \(x\) nella parentesi qui. Basta valutare come se fosse un numero.
\
g\(g \left( {{x^2} – 5}\ right)\) Mostra Soluzione
Un’altra valutazione e questa volta useremo l’altra funzione.
\
La valutazione della funzione è qualcosa che faremo molto nelle sezioni e nei capitoli successivi, quindi assicurati di poterlo fare. Troverete diverse sezioni successive molto difficili da capire e / o fare il lavoro in se non si dispone di una buona conoscenza su come funziona la valutazione delle funzioni.
Mentre siamo in tema di valutazione delle funzioni, ora dovremmo parlare di funzioni a tratti. In realtà abbiamo già visto un esempio di una funzione a tratti anche se non l’abbiamo chiamata una funzione (o una funzione a tratti) al momento. Ricordiamo la definizione matematica di valore assoluto.
\
Questa è una funzione e se usiamo la notazione della funzione possiamo scriverla come segue,
\
Questo è anche un esempio di una funzione a tratti. Una funzione a tratti non è altro che una funzione spezzata in pezzi e il pezzo che usi dipende dal valore di \(x\). Quindi, nell’esempio del valore assoluto useremo il pezzo superiore se \(x\) è positivo o zero e useremo il pezzo inferiore se \(x\) è negativo.
Diamo un’occhiata a valutare una funzione a tratti più complicata.
valutare ciascuno dei seguenti.
- \(g\left( { – 6} \right)\)
- \(g\left( { – 4} \right)\)
- \(g\left( 1 \right)\)
- \(g\left( {15} \right)\)
- \(g\left( {21} \right)\)
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Prima di iniziare le valutazioni qui facciamo notare che stiamo usando lettere diverse per la funzione e variabile rispetto a quelli che abbiamo utilizzato fino a questo punto. Questo non cambierà come funziona la valutazione. Non essere così bloccato nel vedere \(f\) per la funzione e \(x\) per la variabile che non puoi fare alcun problema che non abbia quelle lettere.
Ora, per fare ciascuna di queste valutazioni, la prima cosa che dobbiamo fare è determinare quale disuguaglianza soddisfa il numero, e soddisferà solo una singola disuguaglianza. Quando determiniamo quale disuguaglianza soddisfa il numero usiamo l’equazione associata a tale disuguaglianza.
Quindi, facciamo alcune valutazioni.
a \(g\left( { – 6} \right)\) Mostra la soluzione
In questo caso -6 soddisfa la disuguaglianza superiore e quindi useremo l’equazione superiore per questa valutazione.
\
b \(g\left( { – 4} \right)\) Show Solution
Ora dovremo essere un po ‘ attenti con questo dato che -4 si presenta in due delle disuguaglianze. Tuttavia, soddisfa solo la disuguaglianza superiore e quindi useremo ancora una volta la funzione superiore per la valutazione.
\
c\(g \left( 1\ right)\) Show Solution
In questo caso il numero, 1, soddisfa la disuguaglianza centrale e quindi useremo l’equazione centrale per la valutazione. Questa valutazione spesso causa problemi agli studenti nonostante sia in realtà una delle valutazioni più facili che faremo mai. Sappiamo che valutiamo funzioni / equazioni inserendo il numero per la variabile. In questo caso non ci sono variabili. Non e ‘ un problema. Poiché non ci sono variabili, significa solo che in realtà non colleghiamo nulla e otteniamo quanto segue,
\
d \(g\left( {15} \right)\) Mostra di nuovo la soluzione
, come con la seconda parte dobbiamo essere un po ‘ attenti con questa. In questo caso il numero soddisfa la disuguaglianza media poiché è quello con il segno di uguale in esso. Quindi, come la parte precedente, otteniamo solo,
\
Non entusiasmarti per il fatto che le due valutazioni precedenti avevano lo stesso valore. Questo accadrà a volte.
e \(g\left( {21} \right)\) Show Solution
Per la valutazione finale in questo esempio il numero soddisfa la disuguaglianza di fondo e quindi useremo l’equazione di fondo per la valutazione.
\
Le funzioni a tratti non sorgono spesso in una classe di Algebra, tuttavia, sorgono in diversi punti nelle classi successive e quindi è importante per te capirle se stai per passare a più classi di matematica.
Come argomento finale dobbiamo tornare indietro e toccare il fatto che non possiamo sempre collegare ogni \(x\) in ogni funzione. Ne abbiamo parlato brevemente quando abbiamo dato la definizione della funzione e ne abbiamo visto un esempio quando stavamo valutando le funzioni. Ora dobbiamo guardare a questo in modo un po ‘ più dettagliato.
In primo luogo, abbiamo bisogno di ottenere un paio di definizioni di mezzo.
Dominio e intervallo
Il dominio di un’equazione è l’insieme di tutte le \(x\) che possiamo inserire nell’equazione e ottenere un numero reale per \(y\). L’intervallo di un’equazione è l’insieme di tutti i \(y\) che possiamo mai uscire dall’equazione.
Si noti che intendevamo usare l’equazione nelle definizioni sopra invece delle funzioni. Queste sono davvero definizioni per equazioni. Tuttavia, poiché le funzioni sono anche equazioni, possiamo usare le definizioni anche per le funzioni.
Determinare l’intervallo di un’equazione/funzione può essere piuttosto difficile da fare per molte funzioni e quindi non ci entreremo davvero. Siamo molto più interessati qui a determinare i domini delle funzioni. Dalla definizione il dominio è l’insieme di tutti i \(x\) che possiamo collegare a una funzione e recuperare un numero reale. A questo punto, ciò significa che dobbiamo evitare la divisione per zero e prendere radici quadrate di numeri negativi.
Facciamo un paio di esempi rapidi di trovare domini.
- \(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\)
- \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \)
- \(\displaystyle p\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\)
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I domini per queste funzioni sono tutti i valori di \(x\) per cui non abbiamo una divisione per zero o la radice quadrata di un numero negativo. Se ricordiamo queste due idee trovare i domini sarà abbastanza facile.
a \(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\) Show Solution
Quindi, in questo caso non ci sono radici quadrate quindi non dobbiamo preoccuparci della radice quadrata di un numero negativo. C’è tuttavia la possibilità che avremo una divisione per errore zero. Per determinare se lo faremo dovremo impostare il denominatore uguale a zero e risolvere.
\
Quindi, otterremo la divisione per zero se inseriamo \(x = – 5\) o \(x = 2\). Ciò significa che dovremo evitare quei due numeri. Tuttavia, tutti gli altri valori di \(x\) funzioneranno poiché non danno divisione per zero. Il dominio è quindi,
\
b \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \) Show Solution
In questo caso non avremo problemi di divisione per zero poiché non abbiamo frazioni. Abbiamo una radice quadrata nel problema e quindi dovremo preoccuparci di prendere la radice quadrata di un numero negativo.
Questo funzionerà in modo leggermente diverso dalla parte precedente. In quella parte abbiamo determinato il / i valore / i di \ (x\) da evitare. In questo caso sarà altrettanto facile ottenere direttamente il dominio. Per evitare radici quadrate di numeri negativi, tutto ciò che dobbiamo fare è richiedere che
\
Questa è una disuguaglianza lineare abbastanza semplice che dovremmo essere in grado di risolvere a questo punto.
\
Il dominio di questa funzione è, quindi,
\
c \(\displaystyle p\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\) Vedi Soluzione
In questo caso abbiamo una frazione, ma si noti che il denominatore non potrà mai essere pari a zero per qualsiasi numero reale x2 è garantito per essere positivo o pari a zero, e l’aggiunta di 4 su questo significherà che il denominatore è sempre almeno 4. In altre parole, il denominatore non sarà mai zero. Quindi, tutto quello che dobbiamo fare è preoccuparci della radice quadrata nel numeratore.
Per fare ciò richiederemo,
\
Ora, possiamo effettivamente collegare qualsiasi valore di \(x\) al denominatore, tuttavia, poiché abbiamo la radice quadrata nel numeratore dovremo assicurarci che tutti \(x\) soddisfino la disuguaglianza sopra per evitare problemi. Pertanto, il dominio di questa funzione è
\
d \(\displaystyle R\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) Show Solution
In questa parte finale abbiamo sia una radice quadrata che una divisione per zero di cui preoccuparci. Prendiamo prima cura della radice quadrata poiché questo probabilmente metterà la restrizione più grande sui valori di \(x\). Quindi, per mantenere la radice quadrata felice(cioè nessuna radice quadrata di numeri negativi) dovremo richiedere che,
\
Quindi, almeno avremo bisogno di richiedere che \(x \ge \frac{1}{2}\) al fine di evitare problemi con la radice quadrata.
Ora, vediamo se abbiamo qualche divisione per zero problemi. Ancora una volta, per fare questo è sufficiente impostare il denominatore uguale a zero e risolvere.
\
Ora, si noti che \(x = – 4\) non soddisfa la disuguaglianza di cui abbiamo bisogno per la radice quadrata e quindi il valore di \(x\) è già stato escluso dalla radice quadrata. D’altra parte, \(x = 4\) soddisfa la disuguaglianza. Ciò significa che va bene collegare \(x = 4\) nella radice quadrata, tuttavia, poiché darebbe divisione per zero avremo bisogno di evitarlo.
Il dominio per questa funzione è quindi,
\