Una sequenza famosa e importante è la sequenza di Fibonacci, dal nome del matematico italiano noto come Leonardo Pisano, il cui soprannome era Fibonacci, e che visse dal 1170 al 1230. Questa sequenza è:
\
Questa sequenza è definita ricorsivamente. Ciò significa che ogni termine è definito dai termini precedenti.
e così via.
La sequenza di Fibonacci è definita da 
In altre parole, per ottenere il termine successivo nella sequenza, aggiungere i due termini precedenti.
\
La notazione che useremo per rappresentare la sequenza di Fibonacci è la seguente:
\
Esempio \(\PageIndex{1}\): Trovare i numeri di Fibonacci in modo ricorsivo
Trovare i numeri di Fibonacci 13, 14 e 15 utilizzando la definizione ricorsiva precedente per la sequenza di Fibonacci.
Per prima cosa, nota che ci sono già 12 numeri di Fibonacci sopra elencati, quindi per trovare i prossimi tre numeri di Fibonacci, aggiungiamo semplicemente i due termini precedenti per ottenere il termine successivo come afferma la definizione.
Pertanto, i numeri di Fibonacci 13, 14 e 15 sono rispettivamente 233, 377 e 610.
Calcolare i termini della sequenza di Fibonacci può essere noioso quando si utilizza la formula ricorsiva, specialmente quando si trovano termini con un n grande. Fortunatamente, un matematico di nome Leonhard Euler scoprì una formula per calcolare qualsiasi numero di Fibonacci. Questa formula fu persa per circa 100 anni e fu riscoperta da un altro matematico di nome Jacques Binet. La formula originale, nota come formula di Binet, è sotto.
Formula di Binet: L’ennesimo numero di Fibonacci è dato dalla seguente formula:
\}{\sqrt{5}}\]
La formula di Binet è un esempio di una sequenza esplicitamente definita. Ciò significa che i termini della sequenza non dipendono dai termini precedenti.
Una versione un po ‘ più user-friendly e semplificata della formula di Binet viene talvolta utilizzata al posto di quella sopra.
La formula semplificata di Binet: L’ennesimo numero di Fibonacci è dato dalla seguente formula:
Nota: Il simbolo
Esempio \(\PageIndex{2}\): Trovare
Trovare il valore di
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. Il numero di rami di alcuni alberi o il numero di petali di alcune margherite sono spesso di numeri di Fibonacci,
Figura \(\PageIndex{4}\): i Numeri di Fibonacci e Margherite
un. Daisy con 13 petali b. Daisy con 21 petali
un. 
(Margherite, n.d.)
i numeri di Fibonacci visualizzati anche nella spirale modelli di crescita, come il numero di spire su un cactus o di semi di girasole letti.
Figura \ (\PageIndex {5}\): Numeri di Fibonacci e crescita a spirale
a. Cactus con 13 spirali in senso orario b. Girasole con 34 spirali in senso orario e 55 spirali in senso antiorario
a. 
(Cactus, n.d.) (Girasole, n.d.)
Un altro fatto interessante sorge osservando i rapporti di Fibonacci consecutivi numeri.
Sembra che questi rapporti si stiano avvicinando a un numero. Il numero a cui questi rapporti si stanno avvicinando è un numero speciale chiamato Rapporto aureo che è indicato con 
Il rapporto aureo:
\
Il Rapporto aureo ha l’approssimazione decimale di \(\phi=1.6180339887\).
Il rapporto aureo è un numero speciale per una serie di motivi. È anche chiamata la proporzione divina e appare nell’arte e nell’architettura. Si è affermato da alcuni di essere il rapporto più piacevole per gli occhi. Per trovare questo rapporto, i greci tagliano una lunghezza in due parti e lasciano che il pezzo più piccolo sia uguale a un’unità. Il taglio più piacevole è quando il rapporto tra l’intera lunghezza 
Il Rapporto aureo è una soluzione all’equazione quadratica 
Ha funzionato!
Un’altra interessante relazione tra il Rapporto aureo e la sequenza di Fibonacci si verifica quando si assumono poteri di
E così via.
Si noti che i coefficienti di
Regola del potere aureo: \(\phi^{n}=f_{n} \phi+f_{n-1}\)
dove\(f_{n}\) è l’ennesimo numero di Fibonacci e \(\phi\) è il Rapporto aureo.
Esempio \(\PageIndex {5}\): Potenze del Rapporto aureo
Trova quanto segue usando la regola del potere aureo: a.
