- oppimistavoitteet
- Esimerkki 1. Tilavuuden laskeminen virtausnopeudesta: sydän pumppaa paljon verta elinaikanaan
- strategia
- ratkaisu
- Keskustelu
- Esimerkki 2. Nesteen nopeuden laskeminen: nopeus kasvaa, kun putki kapenee
- strategia
- ratkaisu (a)
- ratkaisu (b)
- Keskustelu
- esimerkki 3. Virtausnopeuden ja verisuonen halkaisijan laskeminen: haarautuminen sydän-ja verisuonijärjestelmässä
- strategia
- ratkaisu (a)
- liuos (b)
- Keskustelu
- Sektion Yhteenveto
- Conceptual Questions
- Problems &harjoitukset
- Sanasto
- valittuja ratkaisuja ongelmiin &harjoitukset
oppimistavoitteet
tämän osion loppuun mennessä voit:
- laskea virtausnopeuden.
- Määrittele tilavuusyksiköt.
- kuvaile puristumattomia nesteitä.
- selitä jatkuvuuden yhtälön seuraukset.
virtausnopeus Q on määritelty virtaamaksi, joka kulkee jonkin paikan ohi jonkin alueen läpi tietyn ajanjakson aikana, kuten kuvassa 1 esitetään. Symboleissa tämä voidaan kirjoittaa muodossa
missä v on tilavuus ja t kulunut aika. Virtausnopeuden SI-yksikkö on m3 / s, mutta useat muut Q: n yksiköt ovat yleisessä käytössä. Esimerkiksi lepäävän aikuisen sydän pumppaa verta 5,00 litraa minuutissa (L/min). Huomaa, että litra (L) on 1/1000 kuutiometriä tai 1000 kuutiosenttimetriä (10-3 m3 tai 103 cm3). Tässä tekstissä käytämme mitä tahansa metrisiä yksiköitä ovat sopivimmat tietyssä tilanteessa.
kuva 1. Virtausnopeus on fluidin tilavuus aikayksikköä kohti, joka virtaa pisteen ohi alueen a läpi. Tässä varjostettu fluidin sylinteri virtaa pisteen P ohi yhtenäisessä putkessa ajassa t .sylinterin tilavuus on Ad ja keskimääräinen nopeus on \overline{v}=d/t\\ siten, että virtausnopeus on Q=\text{Ad}/t=a\overline{v}\\.
Esimerkki 1. Tilavuuden laskeminen virtausnopeudesta: sydän pumppaa paljon verta elinaikanaan
kuinka monta kuutiometriä verta sydän pumppaa 75 vuoden elinaikana, olettaen keskimääräisen virtausnopeuden olevan 5,00 L/min?
strategia
aika ja virtausnopeus Q on annettu, joten tilavuus V voidaan laskea virtausnopeuden määritelmästä.
ratkaisu
solving Q = V/t tilavuudelle antaa
V = Qt.
tunnettujen arvojen korvaavat tuotokset
Keskustelu
tämä määrä on noin 200 000 tonnia verta. Vertailun vuoksi tämä arvo vastaa noin 200-kertaista vesimäärää 6-kaistaisessa 50 metrin kierrosaltaassa.
virtausnopeus ja-nopeus ovat toisiinsa liittyviä, mutta varsin erilaisia fysikaalisia suureita. Jotta ero tulisi selväksi, ajattele joen virtaamaa. Mitä suurempi veden nopeus, sitä suurempi on joen virtaama. Virtaama riippuu kuitenkin myös joen koosta. Nopea vuoristopuro kuljettaa paljon vähemmän vettä kuin esimerkiksi Amazonjoki Brasiliassa. Virtausnopeuden Q ja nopeuden \bar{v}\\ suhde on
missä A on poikkipinta-ala ja \bar{v}\\ on keskinopeus. Yhtälö vaikuttaa loogiselta. Suhde kertoo, että virtausnopeus on suoraan verrannollinen sekä keskinopeuden suuruuteen (jäljempänä nopeus) että joen, putken tai muun kanavan kokoon. Mitä suurempi kanava, sitä suurempi sen poikkipinta-ala. Kuva 1 havainnollistaa, miten tämä suhde saadaan aikaan. Varjostetun sylinterin tilavuus on
V = Ad,
, joka virtaa pisteen P ohi ajassa t. jakamalla tämän suhteen molemmat puolet T: llä saadaan
\frac{V}{t}=\frac{Ad}{t}\\.
huomaamme, että Q=V/t ja keskinopeus on \overline{v}=d / t\\. Näin yhtälöstä tulee Q=\overline{v}\\. Kuvassa 2 on incompressible fluid virtaa pitkin putkea, jonka säde pienenee. Koska neste on puristamatonta, saman määrän nestettä täytyy virrata putken minkä tahansa pisteen ohi tiettynä aikana virtauksen jatkuvuuden varmistamiseksi. Tässä tapauksessa, koska poikkipinta-ala putken pienenee, nopeus on välttämättä kasvaa. Tätä logiikkaa voidaan laajentaa niin, että virtausnopeuden on oltava sama kaikissa putken kohdissa. Erityisesti 1 ja 2 kohdassa
\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&a_{2}V_{2} \end{cases}\\
tätä kutsutaan jatkuvuuden yhtälöksi ja se pätee mille tahansa epätäydelliselle fluidille. Jatkuvuuden yhtälön seuraukset voidaan havaita, kun vesi virtaa letkusta kapeaan suihkusuuttimeen: se syntyy suurella nopeudella—se on suuttimen tarkoitus. Sitä vastoin kun joki tyhjenee tekojärven toiseen päähän, vesi hidastuu huomattavasti ja saattaa kiihdyttää jälleen vauhtiaan poistuessaan tekojärven toisesta päästä. Toisin sanoen nopeus kasvaa, kun poikkipinta-ala pienenee, ja nopeus pienenee, kun poikkipinta-ala kasvaa.
kuva 2. Kun putki kapenee, sama tilavuus vie suuremman pituuden. Jotta sama tilavuus läpäisisi pisteet 1 ja 2 tietyssä ajassa, nopeuden on oltava suurempi kohdassa 2. Prosessi on täysin käännettävissä. Jos neste virtaa vastakkaiseen suuntaan, sen nopeus pienenee putken levetessä. (Huomaa, että kahden sylinterin suhteellisia tilavuuksia ja vastaavia nopeusvektorin nuolia ei piirretä mittakaavaan.)
koska nesteet ovat olennaisesti epätäydellisiä, pätee jatkuvuuden yhtälö kaikille nesteille. Kaasut ovat kuitenkin puristettavissa, joten yhtälöä on sovellettava varoen kaasuihin, jos ne joutuvat puristumaan tai laajenemaan.
Esimerkki 2. Nesteen nopeuden laskeminen: nopeus kasvaa, kun putki kapenee
puutarhaletkuun kiinnitetään suutin, jonka säde on 0,250 cm. Virtausnopeus letkun ja suuttimen läpi on 0,500 L/s. laske veden nopeus (a) letkussa ja (b) suuttimessa.
strategia
Voimme käyttää virtausnopeuden ja nopeuden suhdetta löytääksemme molemmat nopeudet. Käytämme alaindeksi 1 letku ja 2 suutin.
ratkaisu (a)
ensin ratkaisemme Q = A\overline{v}\\ v1: lle ja huomaamme, että poikkipinta-ala on a = nr2, jolloin saadaan
korvaamalla tunnetut arvot ja tekemällä sopivia yksikkömuunnoksia saadaan
ratkaisu (b)
voisimme toistaa tämän laskelman löytääksemme nopeuden suuttimessa \bar{v}_{2}\\, mutta käytämme jatkuvuuden yhtälöä antaaksemme hieman erilaisen käsityksen. Käytetään yhtälöä, jonka mukaan
ratkaisemalla {\overline{v}}_{2}\\ ja korvaamalla nr2 poikkipinta-alalle tuotokset
korvaavat tunnetut arvot,
\overline{v}_{2}=\frac{\left(0.900\text{ cm}\right)^{2}}{\left(0.250\text{ cm}\right)^{2}}1,96\text{ m/s}=25,5 \text{ m/s}\\.
Keskustelu
1,96 m / s nopeus on suurin piirtein oikea nozzlettomasta letkusta nousevalle vedelle. Suutin tuottaa huomattavasti nopeamman virran pelkästään rajoittamalla virtauksen kapeampaan putkeen.
esimerkin viimeisen osan ratkaisu osoittaa, että nopeus on kääntäen verrannollinen putken säteen neliöön, mikä aiheuttaa suuria vaikutuksia, kun säde vaihtelee. Voimme puhaltaa kynttilän ulos melko kaukaa, esimerkiksi huulia pursottamalla, kun taas kynttilän puhaltaminen suu ammollaan on melko tehotonta. Monissa tilanteissa, mukaan lukien sydän-ja verisuonijärjestelmässä, tapahtuu virtauksen haarautumista. Veri pumpataan sydämestä valtimoihin, jotka jakautuvat pienempiin valtimoihin (arterioleihin), jotka haarautuvat hyvin hienoiksi verisuoniksi, joita kutsutaan kapillaareiksi. Tässä tilanteessa virtauksen jatkuvuus säilyy, mutta se on virtausnopeuksien summa kussakin haarassa missä tahansa putkea pitkin kulkevassa osassa. Jatkuvuuden yhtälöstä yleisemmässä muodossa tulee
{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2}{a}_{2}{\overline{v}}_{2}\\,
, jossa N1 ja n2 ovat kunkin putken varren oksien lukumäärä.
esimerkki 3. Virtausnopeuden ja verisuonen halkaisijan laskeminen: haarautuminen sydän-ja verisuonijärjestelmässä
aortta on tärkein verisuoni, jonka kautta veri lähtee sydämestä kiertämään kehoa. (A) Laske veren keskimääräinen nopeus aortassa, jos virtausnopeus on 5,0 L/min. Aortan säde on 10 mm. (B) veri virtaa myös pienempien verisuonten läpi, joita kutsutaan kapillaareiksi. Kun veren virtausnopeus aortassa on 5,0 L / min, veren nopeus hiussuonissa on noin 0,33 mm / s.koska kapillaarin keskimääräinen halkaisija on 8,0 µm, laske hiussuonien määrä verenkierrossa.
strategia
voimme laskea aortan virtausnopeuden Q=A\overline{v}\\ ja käyttää sitten jatkuvuuden yhtälön yleistä muotoa kapillaarien lukumäärän laskemiseen, koska kaikki muut muuttujat tunnetaan.
ratkaisu (a)
virtausnopeus saadaan Q=\overline{v}\\ tai \overline{v}=\frac{Q}{{\pi r}^{2}}\\ lieriömäiselle astialle. Tunnettujen arvojen korvaaminen (muunnetaan metrien ja sekuntien yksiköiksi) antaa
liuos (b)
käyttäen {n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2}{a}_{2}{\overline{v}}_{1}\\, määrittämällä alaindeksi 1 aortalle ja 2 kapillaareille ja ratkaisemalla N2 (kapillaarien lukumäärä) saadaan {n}_{2}=\frac{{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}}{{A}_{2}{\overline{V}}_{2}}\\. Muuntamalla kaikki suureet metrien ja sekuntien yksiköiksi ja korvaamalla ne yllä olevalla yhtälöllä saadaan
Keskustelu
huomaa, että hiussuonien virtausnopeus pienenee huomattavasti suhteessa aortan nopeuteen, koska hiussuonien poikkipinta-ala kasvaa merkittävästi. Tämän alhaisen nopeuden on määrä antaa riittävästi aikaa tehokkaaseen vaihtoon, vaikka on yhtä tärkeää, että virtaus ei pysähdy hyytymismahdollisuuden välttämiseksi. Näyttääkö tämä suuri määrä hiussuonia kehossa järkevältä? Aktiivisessa lihaksessa hiussuonia on noin 200 per mm3 eli noin 200 × 106 per 1 kg lihasta. 20 kg: n lihaksen osalta tämä on noin 4 × 109 hiussuonta.
Sektion Yhteenveto
- virtausnopeus Q määritellään tilavuudeksi V, joka virtaa ajankohdan t ohi, tai Q=\frac{V}{t}\\ missä V on tilavuus ja t on aika.
- tilavuuden SI-yksikkö on m3.
- toinen yleinen yksikkö on litra (L), joka on 10-3 m3.
- virtausnopeutta ja nopeutta suhteuttaa Q=A\overline{v}\\ missä A on virtauksen poikkipinta-ala ja\overline{v}\\ on sen keskinopeus.
- epätäydellisissä nesteissä virtausnopeus eri pisteissä on vakio. That is,
\begin{cases}Q_{1} && Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &&A_{2}v_{2}\\ n_{1}A_{1}\bar{v}_{1} && n_{2}A_{2}\bar{v}_{2}\end{cases}\\.
Conceptual Questions
1. What is the difference between flow rate and fluid velocity? How are they related?
2. Many figures in the text show streamlines. Selitä, miksi nesteen nopeus on suurin siellä, missä streamlines ovat lähimpänä toisiaan. (Vihje: tarkastellaan suhdetta nesteen nopeuden ja poikkipinta-ala, jonka läpi se virtaa.)
3. Tunnista jotkut aineet, jotka ovat puristamattomia ja jotkut, jotka eivät ole.
Problems &harjoitukset
1. Mikä on bensiinin keskivirtaama cm3/s nopeudella 100 km / h kulkevan auton moottoriin, jos se on keskimäärin 10,0 km / L?
2. Lepäävän aikuisen sydän pumppaa verta 5.00 L / min. (a) muuntaa tämän cm3/s . b )mikä on tämä nopeus m3 / s?
3. Veri pumpataan sydämestä nopeudella 5,0 L / min aorttaan (säde 1,0 cm). Määritä veren nopeus aortan läpi.
4. Veri virtaa valtimon läpi säteeltään 2 mm nopeudella 40 cm/S. määritä virtausnopeus ja valtimon läpi kulkeva tilavuus 30 s jaksolla.
5. Waikato-joen varrella sijaitseva Hukan putoukset on yksi Uuden-Seelannin suosituimmista luonnonnähtävyyksistä (KS.kuva 3). Keskimäärin joen virtaama on noin 300 000 L/s. rotkossa joki kapenee 20 m leveäksi ja keskimäärin 20 m syväksi. a) Mikä on joen keskinopeus rotkossa? b) mikä on putousten alajuoksulla olevan joen veden keskimääräinen nopeus, kun se levenee 60 metriin ja sen syvyys kasvaa keskimäärin 40 metriin?
kuva 3. Hukan putoukset Taupossa Uudessa-Seelannissa osoittavat virtaamaa. (luotto: RaviGogna, Flickr)
6. Suuri valtimo, jonka poikkipinta-ala on 1,00 cm2, haarautuu 18 pienemmäksi valtimoksi, joista jokaisen poikkipinta-ala on keskimäärin 0,400 cm2. Mikä tekijä vähentää veren keskimääräistä nopeutta, kun se kulkeutuu näihin oksiin?
7. a) veren kulkiessa jonkin elimen hiussuonen läpi hiussuonet yhtyvät muodostaen venuluksia (pieniä laskimoita). Jos veren nopeus kasvaa kertoimella 4,00 ja venulien kokonaispinta-ala on 10,0 cm2, mikä on näiden venulien kapillaarien kokonaispinta-ala? (b) kuinka monta hiussuonia on mukana, jos niiden keskimääräinen halkaisija on 10.0 µm?
8. Ihmisen verenkierrossa on noin 1 × 109 kapillaariastiaa. Kunkin astian halkaisija on noin 8 µm. Olettaen, että sydämen ulostulo on 5 L / min, määritetään kunkin kapillaariastian läpi kulkevan veren keskimääräinen virtausnopeus.
9. (a) arvioi aika, joka kuluisi täyttää yksityinen uima-allas, jonka kapasiteetti on 80000 L käyttäen puutarhaletkua, joka tuottaa 60 L/min. b) miten kauan täyttyminen kestäisi, jos siihen voisi ohjata kohtalaisen kokoisen, 5000 m3/s virtaavan joen?
10. Veren virtausnopeus 2,00 × 10-6-säteisen kapillaarin läpi on 3,80 × 109. a) Mikä on veren virtausnopeus? (Tämä pieni nopeus mahdollistaa aikaa diffuusio aineiden ja veren.) B) olettaen, että kaikki veri kehossa kulkee hiussuonien läpi, kuinka monta niitä täytyy olla, jotta kokonaisvirta olisi 90,0 cm3/s? (Saatu suuri määrä on yliarvioitu, mutta se on silti kohtuullinen.)
11. a) Mikä on nesteen nopeus paloletkussa, jonka halkaisija on 9,00 cm ja joka kuljettaa 80,0 litraa vettä sekunnissa? b) mikä on virtaama kuutiometreinä sekunnissa? c) olisiko vastauksesi erilainen, jos suolavesi korvaisi makean veden paloletkussa?
12. Pakotetun kaasulämmittimen tärkein sisäänottoilmakanava on halkaisijaltaan 0,300 m. Mikä on ilman keskimääräinen nopeus kanavassa, jos sen tilavuus vastaa talon sisätiloja 15 minuutin välein? Talon sisäpuolinen tilavuus vastaa suorakulmaista kiinteää 13,0 m leveä 20,0 m pitkä 2,75 m korkea.
13. Vesi liikkuu 2,00 m/s nopeudella letkussa, jonka sisähalkaisija on 1,60 cm. a) Mikä on virtausnopeus litroina sekunnissa? (b) nesteen nopeus tämän letkun suuttimessa on 15,0 m/s. Mikä on suuttimen sisähalkaisija?
14. Todista, että nopeus on incompressible fluid kautta constriction, kuten Venturi putki, kasvaa kertoimella, joka on yhtä suuri kuin neliön tekijä, jolla halkaisija pienenee. (Converse koskee virtausta ulos supistumisesta suuremman halkaisijan alueelle.)
15. Vesi tulee suoraan alas hanasta, jonka halkaisija on 1,80 cm nopeudella 0,500 m/s. (hanan rakenteen vuoksi nopeus ei vaihtele virran poikki.) (A) mikä on virtausnopeus cm3/s? b) mikä on virran halkaisija 0.200 m hanan alapuolella? Laiminlyödä mahdolliset vaikutukset, jotka johtuvat pintajännityksestä.
16. Kohtuuttomia tuloksia vuoristopuro on 10,0 metriä leveä ja keskimäärin 2,00 metriä syvä. Kevätjuoksun aikana virtaama purossa on 100 000 m3/s. a) Mikä on virran keskimääräinen nopeus näissä olosuhteissa? b) mikä on järjetöntä tässä nopeudessa? c) mikä perusteissa on kohtuutonta tai epäjohdonmukaista?
Sanasto
virtausnopeus: lyhennetty Q, se on tilavuus V, joka virtaa tietyn pisteen ohi ajan t aikana, tai Q = V/t litra: tilavuuden yksikkö, joka vastaa 10-3 m3
valittuja ratkaisuja ongelmiin &harjoitukset
1. 2, 78 cm3 / S
3. 27 cm / S
5. (a) 0,75 m/s (b) 0,13 m/S
7. (a) 40, 0 cm2 (b) 5, 09×107
9. a) 22 h b) 0.016 S
11. (a) 12,6 m/S (b) 0,0800 m3/s (c) Ei, tiheydestä riippumatta.
13. (a) 0, 402 L/S (b) 0, 584 cm
15. (a) 128 cm3 / s (b) 0, 890 cm