Kernel-toiminnot Koneoppimissovelluksiin-César Souza

viime vuosina Kernel-menetelmät ovat saaneet suurta huomiota erityisesti Tukivektorikoneiden suosion kasvun vuoksi. Ytimen funktioita voidaan käyttää monissa sovelluksissa, sillä ne tarjoavat yksinkertaisen sillan lineaarisuudesta epälineaarisuuteen algoritmeille, jotka voidaan ilmaista pistetuotteina. Tässä artikkelissa, listaamme muutamia ytimen toimintoja ja joitakin niiden ominaisuuksia.

tarkista kaikkien ytimen funktioiden lähdekoodi täältä.

monet näistä funktioista on sisällytetty Accord.NET, puitteet luoda koneoppimisen, tilastot, ja tietokoneen visio sovelluksia.

Sisällys

ytimen metodi

ytimen temppuilu

ytimen ominaisuudet

ikean ytimen valitseminen

ytimen funktiot

Lineaarinen ydin Polynomiydin

eksponentiaalinen ydin
Laplacian ydin
anova-ydin
hyperbolinen tangentti (sigmoid) ydin
rationaalinen Neliöydin
monikvadrinen ydin
Käänteinen monikvadrinen ydin
Kiertoydin
Palloydin
voimaydin
log-ydin
spline Ydin
B-Spline-ydin
Bessel-ydin
Cauchy-ydin
Chi-Neliöydin
histogrammin Leikkausydin
yleistetty t-Opiskelijaydin
Bayesilainen ydin

lähdekoodi Katso myös

ytimen menetelmät

ytimen menetelmät ovat joukko kaavojen analysointiin tai tunnistamiseen tarkoitettuja algoritmeja, joiden tunnetuin elementti on Tukivektorikone (SVM). Kuvioanalyysin yleinen tehtävä on löytää ja tutkia yleisiä relaatiotyyppejä (kuten klustereita, rankingeja, pääkomponentteja, korrelaatioita, luokituksia) yleisissä datatyypeissä (kuten sekvenssit, tekstidokumentit, pistejoukot, vektorit, kuvat, kaaviot jne.) (Wikipedia, 2010a).

ytimen menetelmien tärkein ominaisuus on kuitenkin niiden erillinen lähestymistapa tähän ongelmaan. Kernel-menetelmät kartoittavat datan korkeampiulotteisiksi avaruuksiksi siinä toivossa, että tässä korkeampiulotteisessa avaruudessa data voisi erottua helpommin tai jäsentyä paremmin. Tämän kartoituksen muodolle ei myöskään ole rajoituksia, jotka voisivat johtaa jopa äärettömiin avaruuksiin. Tätä kartoitustoimintoa ei kuitenkaan tarvitse laskea kernel-tempuksi kutsutun työkalun vuoksi.

ytimen temppu

ytimen temppu on erittäin mielenkiintoinen ja tehokas työkalu. Se on tehokas, koska se tarjoaa sillan lineaarisuudesta epälineaarisuuteen mille tahansa algoritmille, joka voi ilmaista pelkästään kahden vektorin välisten pistetuotteiden ehdoilla. Se tulee siitä, että jos ensin kartoitamme syöttötietomme korkeampiulotteiseen avaruuteen, tässä avaruudessa toimiva lineaarinen algoritmi käyttäytyy ei-lineaarisesti alkuperäisessä tuloavaruudessa.

nyt Kernelitemppu on todella mielenkiintoinen, koska tuota kartoitusta ei tarvitse koskaan laskea. Jos algoritmimme voidaan ilmaista vain sisätuotteena kahden vektorin välissä, meidän tarvitsee vain korvata tämä sisätuote sisätuotteella jostakin muusta sopivasta tilasta. Siinä piilee ”temppu”: missä pistetuotetta käytetään, se korvataan ytimen funktiolla. Ytimen funktio merkitsee piirteessä sisätuloa,ja sitä merkitään yleensä seuraavasti:

k(x,y) = <φ(x), φ(y)>

ytimen funktion avulla algoritmi voidaan sitten kuljettaa suuriulotteiseen avaruuteen ilman, että tähän avaruuteen on eksplisiittisesti merkitty syöttöpisteitä. Tämä on erittäin toivottavaa, sillä joskus korkeampiulotteinen ominaisavaruutemme voisi olla jopa äärettömyysulotteinen ja siten mahdoton laskea.

ytimen ominaisuuksien

ytimen funktioiden tulee olla jatkuvia, symmetrisiä, ja mieluiten niillä tulisi olla positiivinen (puoli) definiittinen Grammamatriisi. Ytimet, joiden sanotaan täyttävän Mercerin lauseen, ovat positiivisia puolimääräisiä, eli niiden ydinmatriiseilla on vain ei-negatiivisia Eigen-arvoja. Positiivisen definiittisen ytimen käyttö takaa, että optimointiongelma on kupera ja ratkaisu ainutlaatuinen.

kuitenkin myös monien ytimen funktioiden, jotka eivät ole ehdottoman positiivisia definiittejä, on osoitettu suoriutuvan erittäin hyvin käytännössä. Esimerkkinä voidaan mainita sigmoid-ydin, joka laajasta käytöstään huolimatta ei ole positiivinen puolimääräinen tietyille parametriensa arvoille. Boughorbel (2005) osoitti myös kokeellisesti, että ytimet, jotka ovat vain ehdollisesti positiivisia, voivat mahdollisesti päihittää useimmat klassiset ytimet joissakin sovelluksissa.

ytimet voidaan myös luokitella anisotrooppisiin stationaarisiin, isotrooppisiin stationaarisiin, kompaktisesti kannatettuihin, paikallisesti stationaarisiin, ei-stationaarisiin tai erotettavissa oleviin ei-stationaarisiin. Lisäksi ytimet voidaan myös merkitä scale-invariant tai scale-dependant, joka on mielenkiintoinen ominaisuus, koska scale-invariant ytimet ajaa koulutus prosessi invariant skaalaus tietoja.

Oikean ytimen valitseminen

sopivimman ytimen valitseminen riippuu suuresti käsillä olevasta ongelmasta – ja sen parametrien hienosäätö voi helposti muodostua työlääksi ja työlääksi tehtäväksi. Automaattinen ytimen valinta on mahdollista ja sitä käsitellään Tom Howleyn ja Michael Maddenin teoksissa.

ytimen valinta riippuu käsillä olevasta ongelmasta, koska se riippuu siitä, mitä yritämme mallintaa. Esimerkiksi polynomin ytimen avulla voidaan mallintaa ominaisuuden konjunktioita polynomin järjestykseen asti. Radial basis toiminnot mahdollistaa poimia piireissä (tai hyperspheres) – vuonna constrast kanssa Lineaarinen ydin, jonka avulla vain poimia linjat (tai hyperplanes).

motivaatio tietyn ytimen valinnan takana voi olla hyvin intuitiivinen ja suoraviivainen riippuen siitä, millaista tietoa odotamme saavamme datasta. KS.Manningin, Raghavanin ja Schütsen loppuhuomautukset johdantokappaleesta tiedonhakuun.

ytimen funktiot

alla on luettelo joistakin olemassa olevasta kirjallisuudesta saatavilla olevista ytimen funktioista. Kuten edellisissä artikkeleissa, jokainen LaTeX-merkintä alla oleviin kaavoihin on helposti saatavilla niiden vaihtoehtoisesta tekstistä html-tagista. En voi taata, että kaikki ne ovat täysin oikeita, joten käytä niitä omalla vastuullasi. Useimmilla niistä on linkkejä artikkeleihin, joissa niitä on alun perin käytetty tai ehdotettu.

1. Linear Kernel

Linear kernel documentation-linear kernel source code-how to create SVMs in. net with Accord.NET

Lineaarinen ydin on yksinkertaisin ytimen funktio. Sen antaa sisätulo <x,y> sekä valinnainen vakio C. lineaarista ydintä käyttävät ytimen algoritmit vastaavat usein muita kuin ytimiä, eli kpca lineaarisella ytimellä on sama kuin standardilla PCA.

$k(x, y) = x^T y + C$

2. Polynomiydin

Polynomiydin on ei-stationäärinen ydin. Polynomin ytimet soveltuvat hyvin ongelmiin, joissa kaikki harjoitustiedot normalisoidaan.

$k(x, y) = (alfa x^T y + c)^d$
säädettäviä parametreja ovat kulmakerroin alfa, vakiotermi c ja polynomiaste d.

3. Gaussin ydin

Gaussin ydin on esimerkki säteittäisestä perusfunktion ytimestä.

$k(x, y) = expleft(-frac{ lVert x-y rVert ^2}{2sigma^2}right)$

$k(x, y) = expleft(- gamma lVert x-y rVert ^2)$

säädettävä parametri Sigma on tärkeässä roolissa ytimen suorituskyvyssä, ja se tulee virittää huolellisesti käsillä olevan ongelman mukaan. Jos eksponentti yliarvioidaan, se käyttäytyy lähes lineaarisesti ja korkeampiulotteinen projektio alkaa menettää epälineaarista voimaansa. Toisaalta, jos aliarvioidaan, toiminto puuttuu säännönmukaistaminen ja päätöksen raja on erittäin herkkä melulle koulutustietojen.

4. Eksponentiaalinen ydin

eksponentiaalinen ydin on läheistä sukua Gaussin ytimelle, vain normin neliö jätetään pois. Se on myös säteittäinen perusfunktion ydin.

$k(x, y) = expleft(-frac{ lVert x-y rVert }{2sigma^2}right)$

5. Laplacian-ydin

Laplacen ydin vastaa täysin eksponentiaalista ydintä, paitsi että se on vähemmän herkkä Sigma-parametrin muutoksille. Koska se on ekvivalentti, se on myös säteittäinen perusfunktion ydin.

$k(x, y) = expleft(- frac{lVert x-y rVert }{sigma}right)$

on tärkeää huomata, että Gaussin ytimen Sigma-parametrista tehdyt havainnot pätevät myös Eksponentiaalisiin ja Laplasiaan ytimiin.

6. ANOVA-ydin

ANOVA-ydin on myös säteittäinen perusfunktioydin, kuten Gaussin ja Laplasian ytimet. Sen sanotaan menestyvän hyvin moniulotteisissa regressio-ongelmissa (Hofmann, 2008).

$k(x, y) = sum_{k=1}^n exp (-sigma (x^K - Y^K)^2)^d$

7. Hyperbolinen Tangenttiydin

hyperbolinen Tangenttiydin tunnetaan myös nimellä Sigmoidiydin ja monikerroksinen Perceptron (MLP) – ydin. Sigmoidin ydin tulee neuroverkkojen kentästä, jossa kaksisuuntaista sigmoidifunktiota käytetään usein keinotekoisten neuronien aktivointifunktiona.

$k(x, y) = tanh (alpha x^T y + c)$

on mielenkiintoista huomata, että sigmoidista ydinfunktiota käyttävä SVM-malli vastaa kaksikerroksista perceptronin neuroverkkoa. Tämä ydin oli varsin suosittu tukivektorikoneissa johtuen sen alkuperästä neuroverkkoteoriasta. Lisäksi, vaikka se on vain ehdollisesti positiivinen definiitti, sen on todettu suoriutuvan hyvin käytännössä.

sigmoidiytimessä on kaksi säädettävää parametria, kulmakerroin alfa ja leikkausvakio c. yhteinen arvo Alfalle on 1 / N, missä N on datamitta. Tarkempi tutkimus sigmoidin ytimistä löytyy Hsuan-Tien ja Chih-Jenin teoksista.

8. Rationaalinen Neliöydin

rationaalinen Neliöydin on vähemmän laskennallisesti intensiivinen kuin Gaussin ydin ja sitä voidaan käyttää vaihtoehtona, kun Gaussin käyttö käy liian kalliiksi.

$k(x, y) = 1 - frac{lVert x-y rVert^2}{lVert x-y rVert^2 + C}$

9. Multiquadric-ydintä

Multiquadric-ydintä voidaan käyttää samoissa tilanteissa kuin rationaalista Kvadraattista ydintä. Kuten Sigmoidiydin, se on myös esimerkki ei-positiivisesta definiittisestä ytimestä.

$k(x, y) = sqrt{lVert x-y rVert^2 + C^2}$

10. Käänteinen Monikvadrinen ydin

Käänteinen Monikvadrinen ydin. Gaussin ytimen tapaan se johtaa ydinmatriisiin, jonka arvo on täysi (Micchelli, 1986) ja muodostaa siten äärettömän ulottuvuuden ominaisavaruuden.

$k(x, y) = frac{1}{sqrt{lVert x-y rVert^2 + theta^2}}$

11. Kiertoydintä

kiertoydintä käytetään geostaattisissa sovelluksissa. Se on esimerkki isotrooppisesta stationaarisesta ytimestä ja on positiivinen definiitti R2: ssa.

$k(x, y) = frac{2}{pi} arccos ( - frac{ lVert x-y rVert}{sigma}) - frac{2}{pi} frac{ lVert x-y rVert}{sigma} sqrt{1 - left(frac{ lVert x-y rVert}{sigma} right)^2}$
$MBOX{if}~ lvert X-Y rvert Sigma MBOX{, zero otherwise}$

12. Pallomainen ydin

pallomainen ydin on samanlainen kuin pyöreä ydin, mutta on positiivinen definiitti R3: ssa.

$k(x, y) = 1 - frac{3}{2} frac{lVert x-y rVert}{sigma} + frac{1}{2} left( frac{ lVert x-y rVert}{sigma} right)^3$

$mbox{if}~ lVert x-y rvert Sigma MBOX{, Zero otherwise}$

13. Aaltoydin

Aaltoydin on myös symmetrinen positiivinen puolimääräinen (Huang, 2008).

$k(x, y) = frac{theta}{lVert x-y rVert right} sin frac{lVert x-y rVert }{theta}$

14. Virtaydin

Virtaydin tunnetaan myös nimellä (korjaamaton) kolmioydin. Se on esimerkki asteikko-invariantista ytimestä (Sahbi ja Fleuret, 2004) ja on myös vain ehdollisesti positiivinen definiitti.

$k(x,y) = - lVert x-y rVert ^d$

15. Log-ydin

Log-ydin vaikuttaa kuvien kannalta erityisen kiinnostavalta, mutta on vain ehdollisesti positiivinen definiitti.

$k(x,y) = - log (lVert x-y rVert ^d + 1)$

16. Spline-ydin

Spline-ydin annetaan kappalemaisena kuutiollisena polynomina, joka on johdettu Gunnin teoksista (1998).

$k(x, y) = 1 + xy + xy~min(x,y) - frac{x+y}{2}~min(x,y)^2+frac{1}{3}min(x,y)^3$

kuitenkin se, mitä se todellisuudessa tarkoittaa,on:

$k(x, y) = prod_{I=1}^d 1 + x_i y_i + x_i y_i min(x_i,y_i) - frac{x_i + y_i}{2} min(x_i,y_i)^2 + frac{min(x_i,y_i)^3}{3}$

with $X, Y in R^D$

17. B-Spline (Radial Basis-funktio) ydin

b-Spline-ydin määritellään aikavälille . Se saadaan rekursiivisella kaavalla:

$k(x,y) = B_{2p+1}(x-y)$

$mbox{missä~} p in N mbox{~with~} B_{i+1} := B_i otimes B_0.$

Bart Hamersin teoksessa sen antaa:

$k(x, y) = prod_{P=1}^d b_{2n+1}(x_p - y_p)$

vaihtoehtoisesti Bn voidaan laskea eksplisiittisellä lausekkeella (Fomel, 2000):

$b_n(x) = frac{1}{n!} sum_{k=0}^{n+1} binom{n+1}{k} (-1)^k (x + frac{n+1}{2} - k)^n_ +$

missä x + määritellään typistetyksi potenssifunktioksi:

$x^D_+ = begin{cases} x^d, mbox{if }x 0 0, MBOX{other} end{cases}$

18. Besselin ydin

Besselin ydin tunnetaan hyvin funktioavaruuksien teoriasta murtolukujen tasaisuudesta. Sen antaa:

$k(x, y) = frac{J_{v+1}( sigma lVert x-y rVert)}{ lVert x-y rVert ^ {-n(v+1)}}$

missä J on ensimmäisen lajin Besselin funktio. R-dokumentaation Kernlabissa Besselin ytimen sanotaan kuitenkin olevan:

$k(x,x') = - Bessel_{(nu+1)}^n (sigma |x - x'|^2)') = - Bessel_{(nu+1)}^n (sigma |x - x'|^2)$

19. Cauchyn ydin

Cauchyn ydin tulee Cauchyn jakaumasta (Basak, 2008). Se on pitkähäntäinen ydin ja sitä voidaan käyttää antamaan pitkän kantaman vaikutus ja herkkyys yli korkean ulottuvuuden tilaa.

$k(x, y) = frac{1}{1 + frac{lVert x-y rVert^2}{sigma^2}}$

20. Chi-Neliöydin

khi-Neliöydin tulee Chi-Neliöjakaumasta:

$k(x,y) = 1 - sum_{i=1}^n frac{(x_i-y_i)^2}{frac{1}{2}(x_i+y_i)}$

kuitenkin, kuten kommentoija Alexis Mignon totesi, Tämä ytimen versio on vain ehdollisesti positiivinen-definiitti (CPD). Tästä ytimestä on (Vedaldi and Zisserman, 2011) esitetty positiivis-definiittinen versio muodossa

$k(x,y) = \sum_{i=1}^n \frac{ 2 x_i y_i}{(x_i + y_i)}$

ja se soveltuu käytettäväksi muillakin menetelmillä kuin tukivektorikoneilla.

21. Histogrammin Leikkausydin

histogrammin Leikkausydin tunnetaan myös Min-ytimenä, ja se on osoittautunut käyttökelpoiseksi kuvien luokittelussa.

22. Yleistetty histogrammin leikkauspiste

yleistetty histogrammin Leikkausydin on rakennettu kuvan luokittelua varten histogrammin Leikkausydinydin pohjalta, mutta pätee paljon laajemmissa yhteyksissä (Boughorbel, 2005). Sen antaa:

$k(x,y) = sum_{i=1}^m min (|x_i|^alpha,|y_i/^beta)$

23. Yleistetty T-Opiskelijaydin

yleistetty t-Opiskelijaydin on osoittautunut Mercel-ytimeksi, jolloin sillä on positiivinen puolimääräinen Ydinmatriisi (Boughorbel, 2004). Sen antaa:

$k(x,y) = frac{1}{1 + lVert x-y rVert ^d}$

24. Bayesilainen ydin

Bayesilainen ydin voidaan antaa seuraavasti:

$k(x,y) = prod_{L=1}^n kappa_l (x_l,y_l)$

missä

$kappa_l(A,b) = sum_{C {0;1}} p(y=C Mid X_l=a) ~ p(y=c mid x_l=B)$

se kuitenkin todella riippuu siitä, onko ongelma mallinnettu. Lisätietoja, Katso työtä Alashwal, Deris ja Othman, jossa he käyttivät SVM Bayesian ytimet ennustamiseen proteiini-proteiini vuorovaikutusta.

25. Aaltoydin

Aaltoydin (Zhang et al, 2004) tulee Aaltoteoriasta ja annetaan seuraavasti:

$k(x,y) = prod_{I=1}^n h(frac{x_i-c_i}{a}) : h(frac{y_i-c_i}{a})$

missä A ja C ovat Wavelet dilation ja käännös kertoimia, vastaavasti (lomake on esitetty edellä on yksinkertaistus, katso alkuperäisen paperin lisätietoja). Käännösvariantti versio tästä ytimestä voidaan esittää seuraavasti:

$k(x,y) = prod_{I=1}^n h(frac{x_i-y_i}{a})$

missä molemmissa h(x) merkitsee äitiaaltofunktiota. Li Zhangin, Weida Zhoun ja Licheng Jiaon artikkelissa kirjoittajat ehdottavat mahdollista h(x):

$h(x) = cos(1,75 x)exp(-frac{x^2}{2})$

, jonka he myös todistavat hyväksyttäväksi ytimen funktioksi.

lähdekoodi

lähdekoodin uusin versio lähes kaikille yllä luetelluille ytimille on saatavilla Accord.NET puitteet. Jotkut ovat myös saatavilla jatko tämän artikkelin, Kernel tukea Vektorikoneita luokittelu ja regressio C#. Ne toimitetaan yhdessä kattavan ja yksinkertaisen toteutuksen SVMs (Support Vector Machines)C#. Kuitenkin, uusimmat lähteet, jotka voivat sisältää korjauksia ja muita parannuksia, lataa uusin versio saatavilla Accord.NET.

Katso myös

ytimen Tukivektorikoneet (kSVMs)
ytimen pääkomponenttianalyysi (PCA)
ytimen pääkomponenttianalyysi (KPCA)
Lineaarinen Diskriminanttianalyysi (LDA)
epälineaarinen Diskriminanttianalyysi ytimillä (kDa)

logistinen regressioanalyysi C#

Accord.NET Framework: Scientific Computing in. net
Haar-feature object detection in C# (The Viola-Jones Classifier)
Handriting Recognition using Kernel Discriminant Analysis
Handriting Recognition Revisited: Kernel Support Vector Machines
logistinen regressioanalyysi

on-Line Prediction Wiki Contributors. ”Kernel-Menetelmät.”On-Line Prediction Wiki. http://onlineprediction.net/?n=Main.KernelMethods (accessed 3.maaliskuuta 2010).
Genton, Marc G. ”Classes of YTHS for Machine Learning: a Statistics Perspective.”Journal of Machine Learning Research 2 (2001) 299-312.
Hofmann, T., B. Schölkopf ja A. J. Smola. ”Kernel methods in machine learning.”Ann. Statisti. Volume 36, Number 3 (2008), 1171-1220.
Gunn, S. R. (1998, Toukokuu). ”Tuki vektorikoneita luokitteluun ja regressioon.”Technical report, Faculty of Engineering, Science and Mathematics School of Electronics and Computer Science.
Karatzoglou, A., Smola, A., Hornik, K. ja Zeileis, A. ”Kernlab – an R package for kernel Learning.” (2004).
Karatzoglou, A., Smola, A., Hornik, K. and Zeileis, A. ”Kernlab-an S4 package for kernel methods in R.” J. Statistical Software, 11, 9 (2004).
Karatzoglou, A., Smola, A., Hornik, K. ja Zeileis, A. ” R: Kernel Functions.”Dokumentaatio paketille’ kernlab ’ Versio 0.9-5. http://rss.acs.unt.edu/Rdoc/library/kernlab/html/dots.html (julkaistu 3.maaliskuuta 2010).
Howley, T. and Madden, M. G. ”the genetic kernel support vector machine: Description and evaluation”. Tekoälyn Tarkastelu. Nide 24, Number 3 (2005), 379-395.
Shawkat Ali ja Kate A. Smith. ”Kernel Width Selection for SVM Classification: A Meta-Learning Approach.”International Journal of Data Warehousing & Mining, 1(4), 78-97, loka-joulukuu 2005.
Hsuan-Tien Lin ja Chih-Jen Lin. ”Tutkimus sigmoid-ytimistä SVM: lle ja ei-PSD-ytimien kouluttamisesta SMO-tyyppisillä menetelmillä.”Technical report, Department of Computer Science, National Taiwan University, 2003.
Boughorbel, S., Jean-Philippe Tarel ja Nozha Boujemaa. ”Project-Imedia: Object Recognition.”INRIA-INRIA Activity Reports-RalyX. http://ralyx.inria.fr/2004/Raweb/imedia/uid84.html (accessed 3.maaliskuuta 2010).
Huang, Lingkang. ”Muuttuva valinta Moniluokaisessa tukee Vektorikonetta ja sovelluksia genomitiedon analysoinnissa.”Väitöskirja, 2008.
Manning, Christopher D., Prabhakar Raghavan ja Hinrich Schütze. ”Epälineaariset SVMs.”Stanford NLP (Natural Language Processing) Group. http://nlp.stanford.edu/IR-book/html/htmledition/nonlinear-svms-1.html (julkaistu 3.maaliskuuta 2010).
Fomel, Sergei. ”Käänteinen B-spline interpolointi.”Stanford Exploration Project, 2000. http://sepwww.stanford.edu/public/docs/sep105/sergey2/paper_html/node5.html (accessed 3.maaliskuuta 2010).
Basak, Jayanta. ”Pienin neliö ydin kone laatikko rajoitteet.”International Conference on Pattern Recognition 2008 1 (2008): 1-4.
Alashwal, H., Safaai Deris ja Razib M. Othman. ”Bayesilainen ydin proteiinien ja proteiinien vuorovaikutusten ennustamiseen.”International Journal of Computational Intelligence 5, no. 2 (2009): 119-124.
Hichem Sahbi ja François Fleuret. ”Kernel methods and scale invariance using the triangle kernel”). INRIA Research Report, n-5143, maaliskuu 2004.
Sabri Boughorbel, Jean-Philippe Tarel ja Nozha Boujemaa. ”Generated histogram intersection kernel for image recognition”. Proceedings of the 2005 Conference on Image Processing, volume 3, s. 161-164, 2005.
Micchelli, Charles. Hajanaisten tietojen interpolointi: Etäisyysmatriisit ja ehdollisesti positiiviset määräiset funktiot. Constructive Approximation 2, no. 1 (1986): 11-22.
Wikipedia contributors, ”Kernel methods”, Wikipedia, the Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kernel_methods&oldid=340911970 (accessed 3.maaliskuuta 2010).
Wikipedia contributors, ”Kernel trick”, Wikipedia, the Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kernel_trick&oldid=269422477 (accessed 3.maaliskuuta 2010).
Weisstein, Eric W. ”Positive Semidefinite Matrix.”Mathworld-Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PositiveSemidefiniteMatrix.html
Hamers B.” Kernel Models for Large Scale Applications”, Ph. D. , Katholieke Universiteit Leuven, Belgia, 2004.
Li Zhang, Weida Zhou, Licheng Jiao. Wavelet Tuki Vektori Kone. IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics, Part B, 2004, 34(1): 34-39.
Vedaldi, A. and Zisserman, A. Efficient Additive ytimet via Explicit Feature Maps. IEEE Transactions on Pattern Recognition and Machine Intelligence, Vol. XX, ei. XX, kesäkuu, 2011.

lainaten tätä teosta

Jos haluat, mainitse tämä teos nimellä: Souza, César R. ”Kernel Functions for Machine Learning Applications.”17. 2010. Web. <http://crsouza.blogspot.com/2010/03/kernel-functions-for-machine-learning.html>.

Adam Faliq

César Souza

Sisällys