Näytä Mobile Notice Näytä kaikki muistiinpanot Piilota kaikki muistiinpanot
Jakso 3-4 : Funktion määritelmä
nyt on siirryttävä tämän luvun toiseen aiheeseen. Ennen kuin teemme sen, tarvitsemme kuitenkin nopean määritelmän.
relaation määritelmä
relaatio on järjestettyjen parien joukko.
tämä vaikuttaa oudolta määritelmältä, mutta tarvitsemme sitä funktion määrittelyyn (joka on tämän osion pääaihe). Kuitenkin, ennen kuin me todella antaa määritelmän funktio katsotaanpa, jos voimme saada käsitellä, mitä suhde on.
muistele tämän luvun graafisessa osiossa esimerkkiä 1. Tässä esimerkissä muodostimme joukon järjestettyjä pareja, joita käytimme piirtääksemme kaavion \(y = {\left ({x – 1} \right)^2} – 4\). Tässä ovat tilatut parit, joita käytimme.
\
jokin seuraavista on tällöin relaatio, koska ne koostuvat järjestettyjen parien joukosta.
\
on tietenkin paljon enemmän suhteita, että voisimme muodostaa luettelon tilata paria edellä, mutta halusimme vain luetella muutamia mahdollisia suhteita antaa joitakin esimerkkejä. Huomaa myös, että voisimme myös saada muita tilata paria yhtälöstä ja lisätä ne johonkin suhteista edellä, jos halusimme.
nyt tässä vaiheessa varmaan kysyt, miksi välitämme suhteista ja se on hyvä kysymys. Jotkut Relaatiot ovat hyvin erikoisia ja niitä käytetään lähes kaikilla matematiikan tasoilla. Seuraava määritelmä kertoo, mitkä ovat nämä erityissuhteet.
Funktion määritelmä
funktio on relaatio, jolle jokainen arvo joukosta järjestettyjen parien ensimmäiset komponentit liittyy täsmälleen yhteen arvoon järjestetyn parin toisen komponentin joukosta.
Okei, se on suu täynnä. Katsotaan, mitä se tarkoittaa. Katsotaanpa katsomaan seuraava esimerkki, joka toivottavasti auttaa meitä selvittämään kaiken tämän.
näistä tilatuista pareista meillä on seuraavat ensimmäiset komponentit (eli ensimmäinen luku jokaisesta tilatusta parista) ja toiset komponentit (eli toinen luku jokaisesta tilatusta parista).
\
toisen komponentin joukolle huomaa, että ”-3” tapahtui kahdessa järjestetyssä parissa, mutta listasimme sen vain kerran.
nähdäksesi, miksi tämä relaatio on funktio, Valitse mikä tahansa arvo ensimmäisten komponenttien joukosta. Nyt, mene takaisin suhteessa ja löytää jokainen tilattu pari, jossa tämä numero on ensimmäinen komponentti ja luetella kaikki toinen osat näistä tilattu paria. Toisen komponentin luettelo koostuu täsmälleen yhdestä arvosta.
esimerkiksi valitaan ensimmäisten komponenttien joukosta 2. Relaatiosta näemme, että on täsmälleen yksi järjestetty pari, jossa 2 on ensimmäinen komponentti,\(\left( {2, – 3} \right)\). Tämän vuoksi luettelo toisista komponenteista (ts. luettelo arvoista joukosta toinen komponentti) liittyy 2 on täsmälleen yksi numero, -3.
huomaa, että emme välitä siitä, että -3 on toisen järjestetyn par: n toinen komponentti suhteessa. Se on täysin hyväksyttävää. Emme vain halua olla enempää kuin yksi tilattu pari 2 ensimmäisenä komponenttina.
katsoimme yhden arvon ensimmäisten komponenttien joukosta nopealle esimerkillemme tässä, mutta tulos on sama kaikille muille valinnoille. Riippumatta ensimmäisten komponenttien valinnasta siihen liittyy täsmälleen yksi toinen komponentti.
näin ollen tämä relaatio on funktio.
saadaksemme todella tuntumaa siihen, mitä funktion määritelmä kertoo, meidän pitäisi luultavasti myös tarkistaa esimerkki relaatiosta, joka ei ole funktio.
Älä murehdi, mistä tämä suhde tuli. Olemme vain korvanneet tämän esimerkin.
tässä on luettelo ensimmäisestä ja toisesta komponentista
\
ensimmäisten komponenttien joukosta valitaan 6. Nyt, jos menemme relaatioon, näemme, että on olemassa kaksi järjestettyä paria, joiden ensimmäinen komponentti on 6 : \(\left( {6,10} \right)\) ja \(\left( {6, – 4} \right)\). Luettelo kakkoskomponenteista, jotka liittyvät 6 : een, on sitten: 10, -4.
kakkoskomponenttien luettelossa, joka liittyy 6: een, on kaksi arvoa, joten tämä relaatio ei ole funktio.
huomaa, että jos olisimme valinneet ensimmäisten komponenttien joukosta -7 tai 0, on kuhunkin liittyvien kakkoskomponenttien luettelossa vain yksi numero. Ei sillä ole väliä. Se, että löysimme jopa yhden arvon joukon ensimmäisiä komponentteja, joissa on enemmän kuin yksi toinen komponentti, riittää sanomaan, että tämä suhde ei ole funktio.
viimeisenä kommenttina tästä esimerkistä huomatkaamme, että jos poistamme ensimmäisen ja / tai neljännen tilatun parin relaatiosta, meillä olisi funktio!
joten toivottavasti sinulla on edes tunne siitä, mitä funktion määritelmä kertoo.
nyt kun olemme pakottaneet teidät käymään läpi funktion varsinaisen määritelmän, annetaan funktiolle toinen ”toimiva” määritelmä, joka on paljon hyödyllisempi sille, mitä teemme täällä.
varsinainen määritelmä toimii suhteessa. Kuitenkin, kuten näimme kanssa neljä suhteita annoimme ennen määritelmän funktio ja suhde käytimme esimerkissä 1 saamme usein suhteet jostain yhtälö.
on tärkeää huomata, että kaikki suhteet eivät tule yhtälöistä! Suhde toisesta esimerkistä esimerkiksi oli vain joukko tilata paria kirjoitimme esimerkki ja ei tullut mitään yhtälöä. Tämä voi pitää paikkansa myös relaatioissa, jotka ovat funktioita. Niiden ei tarvitse tulla yhtälöistä.
kuitenkin sanottuaan, että funktiot, joita aiomme käyttää tällä kurssilla, tulevat kaikki yhtälöistä. Siksi, kirjoitetaanpa määritelmä funktio, joka tunnustaa tämän tosiasian.
ennen kuin annamme funktion ”toimivan” määritelmän, meidän on huomautettava, että tämä ei ole funktion varsinainen määritelmä, joka on annettu edellä. Tämä on yksinkertaisesti hyvä ”toimiva määritelmä” funktio, joka sitoo asioita erilaisia toimintoja, että tulemme työskentelemään tällä kurssilla.
Funktion
funktio on yhtälö, jolle mikä tahansa yhtälöön liitetty \(x\) tuottaa yhtälöstä tasan yhden \(y\).
siinä se on. Tämä on funktioiden määritelmä, jota aiomme käyttää, ja on luultavasti helpompi tulkita, mitä se tarkoittaa.
ennen kuin tarkastelemme tätä hieman tarkemmin, huomaamme, että käytimme määritelmässä lausetta ”\(x\), joka voidaan liittää”. Tämä tarkoittaa yleensä sitä, että kaikkia \(x\) n ei voida liittää yhtälö ja tämä on itse asiassa oikein. Tulemme takaisin ja keskustella tästä yksityiskohtaisemmin loppupuolella tämän osan, mutta tässä vaiheessa vain muistaa, että emme voi jakaa nollalla ja jos haluamme todellisia lukuja pois yhtälöstä emme voi ottaa neliöjuuri negatiivinen luku. Joten, nämä kaksi esimerkkiä on selvää, että emme aina voi kytkeä joka \(x\) mihinkään yhtälöön.
edelleen funktioita käsitellessämme oletamme aina, että sekä \(x\) että \(y\) ovat reaalilukuja. Toisin sanoen unohdamme hetkeksi, että tiedämme mitään kompleksiluvuista, kun käsittelemme tätä osaa.
okei, kun se on pois tieltä, palataan funktion määritelmään ja tarkastellaan joitakin esimerkkejä yhtälöistä, jotka ovat funktioita ja yhtälöt, jotka eivät ole funktioita.
- \(y = 5x + 1\)
- \(y = {x^2} + 1\)
- \({y^2} = x + 1\)
- \({x^2} + {y^2} = 4\)
Näytä kaikki ratkaisut Piilota kaikki ratkaisut
funktion ”toimiva” määritelmä on, että jos otamme kaikki mahdolliset arvot \(X\) ja kytke ne yhtälöön ja ratkaise \(y\) saamme täsmälleen yhden arvon jokaiselle \(x\) arvolle. Tässä vaiheessa peliä se voi olla melko vaikea todella näyttää, että yhtälö on funktio, joten me enimmäkseen puhua läpi sen. Toisaalta, se on usein melko helppo osoittaa, että yhtälö ei ole funktio.
a \(y = 5x + 1\) Näytä ratkaisu
joten meidän on osoitettava, että riippumatta siitä, mitä \(x\) liitämme yhtälöön ja ratkaisemme \(y\), saamme vain yhden arvon \(y\). Huomaa myös, että \(y\) arvo on todennäköisesti erilainen jokaiselle \(x\) arvolle, vaikka sen ei tarvitse olla.
aloitetaan kytkemällä joitakin arvoja \(x\) ja katsotaan mitä tapahtuu.
\
joten jokaiselle näistä arvoista \(x\) saimme yhden arvon \(y\) pois yhtälöstä. Tämä ei riitä väittämään, että tämä on funktio. Jotta virallisesti todistaa, että tämä on funktio meidän on osoitettava, että tämä toimii riippumatta siitä, mikä arvo \(x\) me kytke yhtälö.
yhtälöön ei tietenkään voida liittää kaikkia mahdollisia \(x\) – arvoja. Se ei ole fyysisesti mahdollista. Kuitenkin, mennään takaisin ja tarkastella niitä, jotka teimme kytke. Jokaiselle \(x\), kun kytkemme sisään, kerroimme ensin \(x\) 5: llä ja sitten lisättiin 1 Siihen. Nyt, jos kerromme luvun 5: llä, saamme kertolaskusta yhden arvon. Samoin, saamme vain yhden arvon, jos lisäämme 1 päälle numero. Siksi näyttää uskottavalta, että perustuen operaatioihin mukana kytkemällä \(x\) yhtälöön, että saamme vain yhden arvon \(y\) pois yhtälöstä.
siis tämä yhtälö on funktio.
b \(y = {x^2} + 1\) Näytä ratkaisu
jälleen, pistetäänpä pari arvoa \(x\) ja ratkaistaan \(y\) nähdäksesi mitä tapahtuu.
\
nyt mietitään vähän, mitä arvioinneilla tehtiin. Ensimmäinen, me neliöimme arvo \(x\), että olemme kytketty. Kun neliön numero on vain yksi mahdollinen arvo. Sitten lisätään 1 tähän, mutta jälleen, tämä tuottaa yhden arvon.
joten näyttää siltä, että tämäkin yhtälö on funktio.
huomaa, että on OK saada sama \(y\) arvo eri \(x\)’S: lle. esimerkiksi
\
emme vain voi saada yhtälöstä enempää kuin yhden \(y\) pois, kun kytkemme \(x\).
c \({y^2} = x + 1\) Näytä ratkaisu
kuten olemme tehneet kahden edellisen yhtälön kanssa, pistetäänpä pari arvoa \(x\), ratkaistaan \(y\) ja katsotaan, mitä saamme.
\
nyt, muista, että ratkaisemme \(y\) ja niin se tarkoittaa, että ensimmäisessä ja viimeisessä tapauksessa edellä saamme itse asiassa kaksi erilaista \(y\) arvoa ulos \(x\), joten tämä yhtälö ei ole funktio.
huomaa, että meillä voi olla arvoja \(x\), jotka tuottavat yhden \(y\), kuten olemme nähneet edellä, mutta sillä ei ole väliä. Jos yksikin arvo \(x\) tuottaa enemmän kuin yhden arvon \(y\) ratkaistaessa yhtälö ei ole funktio.
tämä todella tarkoittaa, että meidän ei tarvinnut mennä pidemmälle kuin ensimmäinen arviointi, koska se antoi useita arvoja \(y\).
d \({x^2} + {y^2} = 4\) Näytä ratkaisu
tässä tapauksessa käytämme edellisessä osassa opittua läksyä ja katsomme, löytyykö \(x\) arvo, joka ratkaisussa antaa enemmän kuin yhden \(y\) arvon. Koska meillä on Y2 ongelma tämän ei pitäisi olla liian vaikea tehdä, koska ratkaiseminen tarkoittaa lopulta käyttämällä neliöjuuri ominaisuus, joka antaa enemmän kuin yhden arvon \(y\).
\
siis tämä yhtälö ei ole funktio. Muistuttaa, että edellisestä osasta tämä on yhtälö ympyrän. Ympyrät eivät ole funktioita.
toivottavasti nämä esimerkit ovat antaneet sinulle paremman tuntuman siitä, mikä funktio todellisuudessa on.
nyt on siirryttävä johonkin, jota kutsutaan funktion notaatioksi. Funktion merkintää käytetään voimakkaasti useimmissa jäljellä olevissa luvuissa tällä kurssilla, joten on tärkeää ymmärtää se.
aloitetaan seuraavalla neliöyhtälöllä.
\
Voimme käyttää samanlaista prosessia kuin edellisissä esimerkeissä vakuuttaaksemme itsellemme, että tämä on funktio. Koska tämä on funktio, osoitamme sen seuraavasti,
\
joten korvasimme \(y\) notaatiolla \(f\left( x \right)\). Tämä luetaan ” f of \(x\)”. Huomaa, että ei ole mitään erityistä \(f\) käytimme täällä. Olisimme vain voineet helposti käyttää mitä tahansa seuraavista,
\
käyttämällämme kirjaimella ei ole väliä. Tärkeää on” \(\left( x \right)\) ” – osa. Suluissa olevan kirjaimen on vastattava tasa-arvomerkin oikealla puolella käytettyä muuttujaa.
on erittäin tärkeää huomata, että \(f\left( x \right)\) on oikeastaan vain todella hieno tapa kirjoittaa \(y\). Jos pidät, että mielessä saatat huomata, että tekemisissä funktion notaatio tulee hieman helpompaa.
tämäkään ei ole \(f\) kertolasku \(x\)! Tämä on yksi yleisempiä virheitä ihmiset tekevät, kun he ensin käsitellä toimintoja. Tämä on vain notaatio käytetään kuvaamaan toimintoja.
seuraavaksi on puhuttava funktioiden arvioinnista. Funktion arviointi ei oikeastaan ole mitään muuta kuin kysyä, mikä sen arvo on tietyille arvoille \(x\). Toinen tapa tarkastella sitä on, että kysymme, mikä \(y\) arvo annetulle \(x\) on.
arviointi on oikeastaan aika yksinkertaista. Otetaan funktio, jota tarkastelimme yllä
\
ja kysytään, Mikä sen arvo on \(x = 4\). Funktion notaation suhteen ”kysymme” tätä käyttäen merkintää \(F\left (4 \right)\). Joten, kun on jotain muuta kuin muuttuja sisällä suluissa olemme todella kysyä, mikä arvo funktio on, että tietty määrä.
nyt, kun sanomme funktion arvon, kysymme todella, mikä on yhtälön arvo kyseiselle \(x\) arvolle. Tässä on \(F\left (4 \right)\).
\
huomaa, että funktion arviointi tehdään täsmälleen samalla tavalla kuin yhtälöt. Kaikki mitä teemme on plug in varten \(x\) mitä on sisäpuolella suluissa vasemmalla. Tässä on toinen arviointi tähän tehtävään.
\
niin jälleen, mikä on sisäpuolella suluissa vasemmalla on kytketty \(x\) yhtälö oikealla. Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.
- \(f\left( 3 \right)\) ja \(g\left( 3 \right)\)
- \(f\left( { – 10} \right)\) ja \(g\left( { – 10} \right)\)
- \(F\left( 0 \right)\)
- \(f\left( t \right)\)
- \(f\left (t \right)\)
- \(f\left (t \right)\)
- \(f\left (t \right)\)
- \(f\left ({t + 1} \Right)\) ja \(f\left ({x + 1} \right)\)
- \(F\left ({{x^3}} \right)\)
- \ (g \ left ({{x^2} – 5} \ right)\)
Näytä kaikki ratkaisut Piilota kaikki ratkaisut
okei meillä on kaksi funktion arviointia täällä ja meillä on myös kaksi funktiota joten meidän täytyy päättää mikä funktio käyttää arviointeihin. Avain tässä on huomata kirjain, joka on edessä suluissa. \ (F\left(3 \right)\) käytämme funktiota \(f\left(x \right)\) ja \(g\left(3 \right)\) käytämme \(g\left (x \right)\). Toisin sanoen, meidän täytyy vain varmistaa, että muuttujat täsmäävät.
tässä ovat tämän osan arvioinnit.
\
b \(f\left( { – 10} \right)\) ja \(g\left( { – 10} \right)\) Näytä ratkaisu
Tämä on jokseenkin sama kuin edellinen osa yhtä poikkeusta lukuun ottamatta, jota käsittelemme saavuttaessamme tuon pisteen. Tässä ovat arviot.
\
varmista, että käsittelet negatiiviset merkit oikein täällä. Nyt toinen.
\
olemme nyt saavuttaneet eron. Muista, että kun aloimme puhua funktioiden määritelmästä, totesimme, että aiomme käsitellä vain todellisia lukuja. Toisin sanoen, me vain kytke todellisia lukuja ja haluamme vain todellisia numeroita takaisin vastauksiksi. Joten, koska saisimme tästä kompleksiluvun, emme voi liittää -10 tähän funktioon.
C \(f\left( 0 \right)\) Näytä ratkaisu
ei paljon tähän.
\
taas, älä unohda, että tämä ei ole kertolaskua! Jostain syystä opiskelijat haluavat ajatella tätä kertolaskuna ja saada vastauksen nollaan. Ole varovainen.
d \(f\left( t \right)\) Näytä ratkaisu
muut arvioinnit tulevat nyt olemaan hieman erilaisia. Kuten tämä osoittaa, meidän ei tarvitse olla vain numeroita suluissa. Arviointi toimii kuitenkin aivan samalla tavalla. We plug into the \(x\) ’ s On the right side of the equal sign whatever is in the suluissa. Tässä tapauksessa se tarkoittaa, että me plug in \(t\) kaikkien \(x\)’s.
tässä on tämä arvio.
\
huomaa, että tässä tapauksessa tämä on jokseenkin sama asia kuin alkuperäinen funktiomme, paitsi tällä kertaa käytämme \(t\) muuttujana.
e \(f\left( {t + 1} \right)\) ja \(f\left( {x + 1} \right)\) Näytä ratkaisu
nyt mennään hieman monimutkaisemmiksi, tai ainakin ne näyttävät monimutkaisemmilta. Asiat eivät ole niin huonosti kuin ne voivat näyttää kuitenkin. Arvioimme \(F\left ({T + 1} \right)\) ensin. Tämä toimii täsmälleen samalla tavalla kuin edellinen osa. Kaikki \(x\) n vasemmalla korvataan \(t + 1\). Korvaamisen jälkeen meillä on myös yksinkertaistamista tehtävänä.
\
ole varovainen sulkeiden kanssa tällaisissa arvioinneissa. Niiden kanssa on helppo sählätä.
nyt, Katsotaanpa \(f\left( {x + 1} \right)\). Lukuunottamatta \(x\) tämä on sama kuin \(F\left ({T + 1} \right)\), joten se toimii täsmälleen samalla tavalla.
\
älä innostu siitä, että käytimme \(x\)’s: iä uudelleen tässä arvioinnissa. Monissa paikoissa, joissa teemme tämän myöhemmissä osissa on \(x\) ’ S täällä ja niin sinun täytyy tottua näkemään, että.
f \(f\left( {{x^3}} \right)\) Näytä ratkaisu
taas, älä innostu \(x\)’S: stä tässä suluissa. Arvioi sitä kuin se olisi numero.
\
g \(g\left( {{x^2} – 5} \right)\) Näytä ratkaisu
vielä yksi arviointi ja tällä kertaa käytämme toista funktiota.
\
Funktion arviointia tehdään paljon myöhemmissä jaksoissa ja luvuissa, joten varmista, että pystyt siihen. Löydät useita myöhemmin osat hyvin vaikea ymmärtää ja / tai tehdä työtä, jos sinulla ei ole hyvä käsitys siitä, miten toiminnan arviointi toimii.
kun nyt puhutaan funktioiden arvioinnista, pitäisi puhua paloittain funktioista. Olemme itse asiassa jo nähneet esimerkin paloittain funktiosta, vaikka emme kutsuneet sitä funktioksi (tai paloittain funktioksi) tuolloin. Muista itseisarvon matemaattinen määritelmä.
\
Tämä on funktio ja jos käytämme funktion notaatiota, voimme kirjoittaa sen seuraavasti,
\
tämäkin on esimerkki paloittain tehtävästä. Pala palalta funktio ei ole mitään muuta kuin funktio, joka on jaettu osiin ja mikä pala käytät riippuu arvosta \(x\). Itseisarvoesimerkissä käytämme siis yläkappaletta, jos \(x\) on positiivinen tai nolla, ja alakappaletta, jos \(x\) on negatiivinen.
tarkastellaan monimutkaisemman paloittain tehtävän arviointia.
evaluate each of the following.
- \(g\left( { – 6} \right)\)
- \(g\left( { – 4} \right)\)
- \(g\left( 1 \right)\)
- \(g\left( {15} \right)\)
- \(g\left( {21} \right)\)
Näytä kaikki ratkaisut Piilota kaikki ratkaisut
ennen arviointien aloittamista tässä huomataan, että käytämme funktiolle ja muuttujalle eri kirjaimia kuin tähän pisteeseen asti käytetyt. Se ei muuta arviointia. Älä mene niin lukkoon nähdäksesi \(f\) funktion ja \(x\) muuttujan, että et voi tehdä mitään ongelmaa, jossa ei ole näitä kirjaimia.
nyt, tehdä jokainen näistä arvioinneista ensimmäinen asia, että meidän täytyy tehdä on määrittää, mikä epätasa-arvo numero täyttää, ja se täyttää vain yhden epäyhtälön. Kun me määrittää, mikä epäyhtälö numero täyttää käytämme yhtälö liittyy, että epäyhtälö.
niin, tehdäänpä muutama arvio.
a \(g\left( { – 6} \right)\) Näytä ratkaisu
tässä tapauksessa -6 täyttää ylimmän epäyhtälön, joten käytämme ylimmän yhtälön tähän arviointiin.
\
b \(g\left( { – 4} \right)\) Näytä ratkaisu
nyt täytyy olla hieman varovainen tämän kanssa, sillä -4 näkyy kahdessa epätasa-arvossa. Kuitenkin, se täyttää vain alkuun epäyhtälö ja niin käytämme jälleen alkuun funktio arviointia.
\
C \(g\left( 1 \right)\) Näytä ratkaisu
tässä tapauksessa luku, 1, Täyttää keskimmäisen epäyhtälön, joten käytämme arvioinnissa keskimmäistä yhtälöä. Tämä arviointi aiheuttaa usein ongelmia opiskelijoille huolimatta siitä, että se on itse asiassa yksi helpoimmista arvioinneista, joita koskaan teemme. Tiedämme, että arvioimme funktioita/yhtälöitä kytkemällä muuttujan numeron. Tässä tapauksessa muuttujia ei ole. Se ei ole ongelma. Koska muuttujia ei ole, se tarkoittaa vain sitä, että emme itse asiassa liitä mitään ja saamme seuraavan,
\
D \(g\left( {15} \right)\) Näytä ratkaisu
uudelleen, kuten toisen osan kanssa meidän täytyy olla hieman varovaisia tämän kanssa. Tässä tapauksessa numero täyttää keskellä epäyhtälö, koska se on yksi yhtäläinen merkki siinä. Sitten, kuten edellisessä osassa vain saa,
\
ei innostu siitä, että kaksi edellistä arviota olivat samanarvoisia. Näin tapahtuu silloin tällöin.
e \(g\left( {21} \right)\) Näytä ratkaisu
loppuarvioinnille tässä esimerkissä luku täyttää pohjan epäyhtälön, joten arvioinnille käytetään pohjayhtälöä.
\
paloittain funktioita ei synny kovin usein algebran luokassa, mutta niitä esiintyy useissa paikoissa myöhemmillä luokilla, joten on tärkeää ymmärtää ne, jos aiot siirtyä useampaan matematiikan luokkaan.
viimeisenä aiheena meidän on palattava ja kosketettava sitä, että emme voi aina liittää jokaista \(x\) jokaiseen funktioon. Puhuimme tästä lyhyesti, kun annoimme funktion määritelmän ja näimme esimerkin tästä, kun arvioimme funktioita. Meidän on nyt tarkasteltava tätä hieman yksityiskohtaisemmin.
Ensin pitää saada pari määritelmää pois alta.
Domain and Range
yhtälön domain on kaikkien \(x\)’S: n joukko, jonka voimme liittää yhtälöön ja saada takaisin reaaliluvun \(y\). The range of a equation is the set of all \(y\) ’ s that we can ever get out of the equation.
huomaa, että tarkoitimme käyttää yhtälöä yllä olevissa määritelmissä funktioiden sijaan. Nämä ovat oikeastaan yhtälöiden määritelmiä. Koska funktiot ovat kuitenkin myös yhtälöitä, Voimme käyttää määritelmiä myös funktioille.
yhtälön / funktion alueen määrittäminen voi olla aika vaikeaa tehdä monille funktioille, joten siihen ei oikein päästä. Olemme paljon enemmän kiinnostuneita täällä määritettäessä verkkotunnuksia tehtäviä. Vuodesta määritelmä verkkotunnus on joukko kaikki \(x\) ’ S, että voimme kytkeä funktio ja saada takaisin reaaliluku. Tässä vaiheessa, se tarkoittaa, että meidän täytyy välttää jako nolla ja ottaen neliöjuuret negatiivisia lukuja.
tehdään pari nopeaa esimerkkiä verkkotunnusten löytämisestä.
- \(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\)
- \(f\left( x \right) = \sqrt {5-3x} \)
- \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }} {{x^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle r\left (x \right) = \frac{{\sqrt {10x-5} }} {{x^2} – 16}}\)
Näytä kaikki ratkaisut Piilota kaikki ratkaisut
näiden funktioiden verkkotunnuksia ovat kaikki \(x\): n arvot, joille ei ole jakoa nollalla tai negatiivisen luvun neliöjuurta. Jos muistamme nämä kaksi ajatusta löytää verkkotunnuksia on melko helppoa.
a \(\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x – 10}}\) Näytä ratkaisu
joten tässä tapauksessa ei ole neliöjuuria, joten meidän ei tarvitse huolehtia negatiivisen luvun neliöjuuresta. On kuitenkin mahdollista, että meillä on jako nollavirheellä. Jos haluamme määrittää, meidän täytyy asettaa nimittäjä on nolla ja ratkaista.
\
joten saamme jaon nollalla, jos pisteytämme \(x = – 5\) tai \(x = 2\). Se tarkoittaa, että meidän täytyy välttää noita kahta numeroa. Kuitenkin kaikki muut arvot \(x\) toimii, koska ne eivät anna jakoa nolla. Domain on sitten,
\
b \(f\left( x \right) = \sqrt {5 – 3x} \) Näytä ratkaisu
tässä tapauksessa meillä ei ole jakoa nollaongelmilla, koska meillä ei ole murtolukuja. Meillä on neliöjuuri ongelma, joten meidän täytyy huolehtia ottaa neliöjuuri negatiivinen numerot.
Tämä toimii hieman eri tavalla kuin edellinen osa. Tässä osassa määritimme arvon(s) \(x\) välttää. Tässä tapauksessa se on yhtä helppo saada suoraan verkkotunnuksen. Välttääksemme negatiivisten lukujen neliöjuuret meidän tarvitsee vain vaatia, että
\
Tämä on melko yksinkertainen lineaarinen epäyhtälö, joka meidän pitäisi pystyä ratkaisemaan tässä vaiheessa.
\
tämän funktion arvoalue on tällöin
\
C \(\displaystyle h\left( x \right) = \frac{{\sqrt {7x + 8} }}{{{x^2} + 4}}\) Näytä ratkaisu
tässä tapauksessa meillä on murtoluku, mutta huomaa, että nimittäjä ei koskaan ole nolla millekään reaaliluvulle, koska x2 on taatusti positiivinen tai nolla ja lisäämällä 4 tähän saadaan nimittäjä on aina vähintään 4. Toisin sanoen nimittäjä ei koskaan ole nolla. Joten, kaikki mitä meidän tarvitsee tehdä sitten on huolehtia neliöjuuri Osoittaja.
tehdäksemme tämän me’LL vaatia,
\
nyt, voimme itse plug in mitään arvoa \(x\) osaksi nimittäjä, kuitenkin, koska meillä neliöjuuri, Osoittaja meidän täytyy varmistaa, että kaikki \(x\)’ s täyttävät epäyhtälö edellä välttää ongelmia. Siksi tämän funktion arvoalue on
\
d \(\displaystyle r\left( x \right) = \frac{{\sqrt {10x – 5} }}{{{x^2} – 16}}\) Näytä ratkaisu
tässä viimeisessä osassa meillä on sekä neliöjuuri että Jako nollalla huolehdittavana. Hoidetaan ensin neliöjuuri, koska tämä todennäköisesti asettaa suurimman rajoituksen arvoille \(x\). Pitääksemme neliöjuuren onnellisena(eli ilman negatiivisten lukujen neliöjuurta) meidän on vaadittava, että,
\
niin, ainakin meidän on vaadittava, että \(x \ge \frac{1}{2}\), jotta Vältämme neliöjuuren ongelmat.
nyt katsotaan, onko meillä mitään jakoa nollaongelmilla. Jälleen, voit tehdä tämän yksinkertaisesti asettaa nimittäjä on nolla ja ratkaista.
\
nyt huomaa, että \(x = – 4\) ei täytä neliöjuurelle tarvitsemaamme epäyhtälöä ja niin, että \(x\): n arvo on jo jätetty neliöjuuren ulkopuolelle. Toisaalta, \(x = 4\) ei täytä epäyhtälö. Tämä tarkoittaa, että on OK liittää \(x = 4\) osaksi neliöjuuri, kuitenkin, koska se antaisi jako nolla meidän täytyy välttää sitä.
tämän funktion arvoalue on tällöin,
\